【数学】四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三第一次高考适应性考试试题（理）

【数学】四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三第一次高考适应性考试试题（理）

四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三第一次高考适应性考试数学试题（理）‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．在复平面内，复数z＝对应的点位于 ( )‎ A．第二象限 B．第一象限 C．第四象限 D．第三象限 ‎2．已知集合A＝{x|x（x﹣2）＜0}，B＝{y|y＝}，则A∩B＝ ( )‎ A．[1，2） B．（0，2） C．[0，2） D．[0，+∞）‎ ‎3．已知函数，则＝ ( )‎ A． B． C．﹣log32 D．log32‎ ‎4．α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则α∥β”是“m∥β”的 ( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升（注：一斗为十升）．问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S＝15（单位：升），则输入的k的值为 ‎ A．45 B．60 C．75 D．100‎ ‎6．已知函数f（x）＝（2x+2﹣x）ln|x|的图象大致为 ‎ A．B． C．D．‎ ‎7．为得到函数y＝cos（2x+）的图象，只需将y＝sin2x的图象 ‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 ‎ C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎8．《九章算术●衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中错误的是 ‎ A．甲付的税钱最多 B．乙、丙两人付的税钱超过甲 ‎ C．乙应出的税钱约为32 D．丙付的税钱最少 ‎9．若，则cos（30°﹣2α）＝ ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知f（x）是定义在R上的偶函数，在区间[0，+∞）上为增函数，且f（）＝0，则不等式f（logx）＞0的解集为 ( )‎ A．（，2） B．（ 2，+∞） ‎ C．（ 0，）∪（ 2，+∞） D．（，1 ）∪（ 2，+∞）‎ ‎11．已知函数f（x）＝x2+mx+2，x∈R，若方程f（x）+|x2﹣1|＝2在（0，2）上有两个不等实根，则实数m的取值范围是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），点P（x0，y0）是直线bx﹣ay+4a＝0上任意一点，若圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是 ‎ A．（1，2] B．（1，4] C．[2，+∞） D．[4，+∞）‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．的展开式的第2项为　 　．‎ ‎14．若实数x，y满足如果目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣1，则实数m＝　 　．‎ ‎15．奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），当0＜x≤1时，f（x）＝log2（4x+a），若，则a+f（a）＝　 　．‎ ‎16．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝1，BC＝CD＝BD＝，则四棱锥的外接球的表面积为　 　．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）为抗击“新冠肺炎”，全国各地“停课不停学”，各学校都开展了在线课堂，组织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业为了解学生的学习效率，某在线教育平台统计了部分高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图4所示的频率分布直方图．‎ ‎（I）如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间（完成各科作业及其他自主学习）为5小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到0.01）；‎ ‎（II）为了进一步了解学生的学习效率，平台随机选择100为高三备考学生进行一次测试，记选择得学生中每天完成数学作业的时间不超过45分钟的人数为X，以统计的频率作为概率，求X的期望．‎ ‎18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果A、B、C成等差数列且b＝．‎ ‎（I）当A＝时，求△ABC的面积S；‎ ‎（II）若△ABC的面积为S，求S的最大值．‎ ‎19．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，且AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M、N分别是CC1，BC的中点，点P在线段A1B1上，且．‎ ‎（I）求证：不论λ取何值，总有AM⊥PN．‎ ‎（II）当λ＝1时，求平面PMN与平面ABC所成二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎20．（12分）焦点在x轴上的椭圆C：经过点，椭圆C的离心率为．F1，F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意点．‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）若点M为OF2的中点（O为坐标原点），过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数λ，使得λ|OP|2＝|MA|•|MB|；若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（I）若f'（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）＝f'（x）﹣x﹣alnx的单调性；‎ ‎（II）若（e是自然对数的底数），求证：f（x）＞0．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为，定点M（6，0），点N是曲线C1上的动点，Q为MN的中点．‎ ‎（I）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎（II）已知直线l与x轴的交点为P，与曲线C2的交点为A，B，若AB的中点为D，求|PD|的长．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣3|‎ ‎（I）若a＝﹣1，解不等式；‎ ‎（II）若存在实数x，使得成立，试求a的取值范围．‎ 参考答案 ‎1-5:DBAAB 6-10:BABDC 11-12:CB ‎ ‎13．﹣x5． 14.5 15．2． 16．5π ‎17．解：（1）高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值的估计值为30×0.1+40×0.18+50×0.3+60×0.25+70×0.12+80×0.05＝52.6，‎ 完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例估计值为．‎ ‎（2）以统计的频率作为概率，每个高三备考学生每天完成数学作业的时间不超过45分钟的概率为0.28，‎ 所以X～B（100，0.28），得E（X）＝100×0.28＝28．‎ ‎18．解：△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，三内角A、B、C成等差数列，‎ 则：A+C＝2B，解得：B＝60°．‎ ‎（1）因为：＝⇒a＝．‎ ‎∴b2＝a2+c2﹣2accosB⇒3＝2+c2﹣2c×⇒c2﹣c﹣1＝0⇒c＝，（负值舍）；‎ ‎∴△ABC的面积S＝acsinB＝×××＝．‎ ‎（2）∵b2＝a2+c2﹣2accosB；‎ 即：3＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac＝ac，当且仅当a＝c时等号成立；‎ ‎∴S△ABC＝acsinB＝ac≤；即S的最大值为：．‎ ‎19．（1）证明：以A为坐标原点，分别以AB、AC、AA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A1（0，0，2），B1（2，0，2），M（0，2，1），N（1，1，0），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎∵，∴‎ ‎∴无论λ取何值，AM⊥PN；‎ ‎（2）解：λ＝1时，P（1，0，2）‎ ‎∴，‎ 而面ABC的法向量，设平面PMN的法向量为，‎ 则，可取．‎ 设α为平面PMN与平面ABC所成二面角．‎ ‎∴．‎ ‎∴平面PMN与平面ABC所成二面角的余弦值是．‎ ‎20．解：（1）由已知可得，，a2＝b2+c2，解得，b＝c＝2，‎ 所以椭圆C的标准方程为．‎ ‎（2）若直线的斜率不存在时，|OP|＝2，，所以；‎ 当斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0，‎ 所以．因为OP∥l，设直线OP的方程为y＝kx，‎ 联立直线OP与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2＝8，解得．‎ ‎∴，∴，‎ 同理，∴|MA|•|MB|＝（1+k2）|（x1﹣1）（x2﹣1）|，‎ 因为，‎ ‎∴，‎ 故，存在满足条件，综上可得，存在满足条件．‎ ‎21．解：（1）因为，所以，‎ ‎＝，‎ ‎（ⅰ）当﹣a≤0即a≥0时，所以x+a＞0，且方程g'（x）＝0在（0，+∞）上有一根，‎ 故g（x）在（0，1）上为增函数，（1，+∞）上为减函数，‎ ‎（ⅱ）当﹣a＞0即a＜0时，‎ 所以方程g'（x）＝0在（0，+∞）上有两个不同根或两相等根，‎ ‎（ⅰ）当a＝﹣1时，g（x）在（0，+∞）上是减函数；‎ ‎（ⅱ）当a＜﹣1时，由g'（x）＞0得1＜x＜﹣a，‎ 所以g（x）在（1，﹣a）上是增函数；在（0，1），（﹣a，+∞）上是减函数；‎ ‎（ⅲ）当﹣1＜a＜0时，由g'（x）＞0得﹣a＜x＜1，‎ 所以g（x）在（﹣a，1）是增函数；在（0，﹣a），（1，+∞）上是减函数；‎ ‎（2）证明：因为，令，则，‎ 因为，所以，‎ 即h（x）在（0，+∞）是增函数，‎ 下面证明h（x）在区间上有唯一零点x0，‎ 因为，h（2a）＝ln2a+1，‎ 又因为，所以，，‎ 由零点存在定理可知，h（x）在区间上有唯一零点x0，‎ 在区间（0，x0）上，h（x）＝f'（x）＜0，f'（x）是减函数，‎ 在区间（x0，+∞）上，h（x）＝f'（x）＞0，f'（x）是增函数，‎ 故当x＝x0时，f（x）取得最小值，‎ 因为，所以，‎ 所以＝，‎ 因为，所以f（x）＞0，所以，f（x）＞0．‎ ‎22．解：（1）∵曲线C1的方程为，‎ ‎∴4＝36，‎ ‎∴曲线C1的直角坐标方程为，‎ 设点N（x′，y′），Q（x，y），由中点坐标公式得，‎ 代入中，得到点Q的轨迹C2的直角坐标方程为x2+（y﹣）2＝3．‎ ‎（2）P点坐标为P（，0），设l的参数方程为，（t为参数），‎ 代入曲线C2的直角坐标方程，得：，‎ 设点A，B，D对应的参数分别为t1，t2，t3，‎ 则，∴|PD|＝|t3|＝||＝．‎ ‎23．解：（1）若a＝﹣1，则f（x）＝|x+1|﹣|x﹣3|，‎ 若x≥3，由f（x）≥2，‎ 得（x+1）﹣（x﹣3）≥2不等式显然成立，‎ 若﹣1≤x＜3，由f（x）≥2，‎ 得（x+1）+（x﹣3）≥2，解得x≥2．‎ 又﹣1≤x＜3，∴2≤x＜3．‎ 若x＜﹣1，由f（x）≥2，‎ 得﹣（x+1）+（x﹣3）≥2不等式不成立．‎ ‎∴不等式f（x）≥2的解集为{x|x≥2}．‎ 综上所述，不等式f（x）≥2的解集为{x|x≥2}；‎ ‎（2）不等式f（x）≤﹣即|x﹣a|﹣|x﹣3|≤﹣．‎ ‎|x﹣a|﹣|x﹣3|≥﹣|（x﹣a）﹣（x﹣3）|＝﹣|a﹣3|，‎ 若a＞3，等号成立当且仅当x≥3，‎ 若a＝3，等号成立当且仅当x∈R，‎ 若a＜3，等号成立当且仅当x≤3．‎ ‎∴﹣|a﹣3|≤﹣，即|a﹣3|≥，‎ 若a≥3，则（a﹣3）≥，解得a≥6．若a＜3，则﹣（a﹣3）≥，解得a≤2．‎ ‎∴a的取值范围是（﹣∞，2]∪[6，+∞）．综上所述，a的取值范围是（﹣∞，2]∪[6，+∞）．‎