2020年中考数学专题复习：图形中动点的运动培优

2020年中考数学专题复习：图形中动点的运动培优

图形中动点的运动[来源:zzst#~e@p^&.com]‎ 知识互联网 题型一：因动点产生的函数关系问题 思路导航 我们初二已经学过了三角形、四边形上动点产生的函数问题，初三已学习了新的图形——圆，出现了一些以圆为背景，因点的运动产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系.‎ 典题精练 ‎[www.*zz@&step.c~o^m]‎ 圆中点的运动产生函数图象问题[来&源~:*zzstep.co@m%]‎ ‎⑴ 如图，是的直径，为圆上一点．点从点出发，沿运动到 第 17 页 共 18 页 点，然后从点沿运动到点．假如点在整个运动过程中保持匀速，则下面各图中，能反映点与点的距离随时间变化的图象大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎⑵ 如图，点、、、为圆的四等分点，动点从圆心出发，沿线段线段的路线作匀速运动．设运动时间为秒，的度数为度，则下列图象中表示与的函数关系最恰当的是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎⑶ 如图，点是以为圆心，为直径的半圆上的动点，，设弦的长为， 的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ）‎ ‎⑷ 如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径(点C与点A不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E， G为半圆中点， 当点C在上运动时，设的长为，CF+DE= y，则下列图象中，能表示y与的函数关系的图象大致是 ‎（ ）‎ 第 17 页 共 18 页 O y x O O O x x x y y y A B C D[来源:zzstep%.@#co&*m]‎ ‎⑴ B．⑵ C．⑶ A．⑷ B．‎ ‎2. 因动点产生的面积问题 如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（）．解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，PQ∥BC．‎ ‎（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．‎ ‎（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，‎ ‎∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角．‎ 第 17 页 共 18 页 ‎（1）BP=2t，则AP=10-2t．[来源#*:中~教&%网]‎ ‎∵PQ∥BC，∴，即，解得t=，‎ ‎∴当t=s时，PQ∥BC．‎ ‎（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．‎ ‎∴PD∥BC，∴，即，解得PD=6-t．‎ S=×AQ×PD=×2t×(6-t)= -t2+6t=-(t-)2+，‎ ‎∴当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2．[www.z#&zste^p~.co@m]‎ ‎（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，‎ 则有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC•BC=24，∴此时S△AQP=12．‎ 由（2）可知，S△AQP=-t2+6t，‎ ‎∴-t2+6t=12，化简得：t2-5t+10=0，‎ ‎∵△=(-5)2-4×1×10=-15＜0，此方程无解，‎ ‎∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．‎ ‎（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．‎ 如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，[来源:中@%&#教网~]‎ ‎∴，即，‎ 解得：PD=6-t，AD=8-t，‎ ‎∴QD=AD-AQ=8-t-2t=8-t．‎ 在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，‎ 即（8﹣t）2+（6﹣t）2=（2t）2，‎ 化简得：13t2﹣90t+125=0，‎ 解得：t1=5，t2=，‎ ‎∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=．‎ 由（2）可知，S△AQP=-t2+6t 第 17 页 共 18 页 ‎∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（-t2+6t）=2×[-×()2+6×]=cm2．‎ 所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2．‎ 题型二：因动点产生的特殊图形问题 典题精练 ‎[来@#^源%:中*教网]‎ ‎1. 因动点产生的等腰三角形问题 如图，四边形为矩形，，动点从点出发以个单位/秒的速度沿向终点运动，动点从点出发以个单位/秒的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，运动结束．过点作交于点，连接．已知动点运动了秒．‎ ‎⑴ 请直接写出的长；（用含的代数式表示）‎ ‎⑵ 试求的面积与时间秒的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值；[来^&源:中教网@~%]‎ ‎⑶ 在这个运动过程中，能否为一个等腰三角形．若能，求出所有的对应值；若不能，请说明理由．‎ ‎⑴ ；‎ 第 17 页 共 18 页 ‎⑵ [中&国教育*%出@#版网]‎ 其中，[www.zz^s%~@tep#.com]‎ ‎∴当时，取得最大值．‎ ‎⑶ 由⑴可知：．‎ ‎①若，则，解得，‎ ‎②若，则过点作于，[www.^zz~*st@%ep.com]‎ 易得是矩形，，‎ 又，则，‎ ‎∴，解得（舍去）‎ ‎∴，‎ 另解：过点作.‎ ‎∴，∴‎ 又，∴，解得.[来@源~:中&#教网%]‎ ‎③若，则过点作于，[来@源:&zzste^p.com~#]‎ 易得是矩形，，且，‎ ‎∴，解得．‎ 综上所述，若可以成为等腰三角形，满足条件的的值可以为．‎ ‎2. 因动点产生的直角三角形问题[中国教育@出#版网&*%]‎ 如图，已知是线段上的两点，，‎ 第 17 页 共 18 页 ‎．以为中心顺时针旋转点，以为中心逆时针旋转点，使、两点重合成一点，构成，设．‎ ‎⑴求的取值范围；[www#.~z%zst@ep.^com]‎ ‎⑵若为直角三角形，求的值.‎ ‎⑴ 在中，∵，，．‎ ‎∴，解得．‎ ‎⑵ ①若为斜边，则，即，无解．‎ ‎②若为斜边，则，解得，满足．‎ ‎③若为斜边，则，解得，满足．‎ ‎∴或．‎ ‎3. 因动点产生的特殊四边形问题 如图，在矩形中，，，，，分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，CM=3xcm，．‎ ‎⑴当为何值时，以，为两边，以矩形的边（或）的一部分为第三边构成一个三角形；‎ ‎⑵当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形；‎ ‎⑶以，，，为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求的值；如果不能，请说明理由．‎ 第 17 页 共 18 页 ‎⑴当点与点重合或点与点重合时，‎ 以，为两边，以矩形的边（或）的一部分为第三边可能构成一个三角形．[来源:^zz&@s*tep.com%]‎ ‎①当点与点重合时，‎ 由得，（舍去）[中^国教育出版&#网~@]‎ 因为，[w~ww.zz#s^tep%@.com]‎ 此时点与点不重合．‎ 所以符合题意．‎ ‎②当点与点重合时，‎ 由得 此时，不符合题意．‎ 故点与点不能重合．‎ 所以所求的值为．[www.z%#z&ste*p@.com]‎ ‎⑵ 由⑴知，点只能在点的左侧，‎ ‎①当点在点的左侧时，‎ 由，‎ 解得．‎ 当时，四边形是平行四边形．‎ ‎②当点在点的右侧时，[来&源:*zzstep.c#~o%m]‎ 由，[来%源@:#&中教网*]‎ 解得．‎ 当时四边形是平行四边形．[来#源:z~zstep*.co&m%]‎ 第 17 页 共 18 页 所以当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．‎ ‎⑶ 过点，分别作的垂线，垂足分别为点，．‎ 由于，‎ 所以点一定在点的左侧．‎ 若以，，，为顶点的四边形是等腰梯形，‎ 则点一定在点的右侧，且，‎ 即．‎ 解得．‎ 由于当时， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，‎ 所以以，，，为顶点的四边形不能为等腰梯形．‎ 如图，在中，，，．动线段（端点从点开始）沿边以的速度向点运动，当端点到达点时运动停止．过点作交于点（当点与点重合时，与重合），连接，设运动的时间为秒()．‎ ‎⑴直接写出用含的代数式表示线段、的长；‎ ‎⑵在这个运动过程中，能否为等腰三角形？若能，请求出的值；若不能，请说明理由；‎ ‎⑶设、分别是、的中点，求整个运动过程中，所扫过的面积．[来@#源^:%中教*网]‎ ‎【解析】⑴，‎ ‎．‎ ‎⑵分三种情况讨论：[来^&%源:中教网@~]‎ 第 17 页 共 18 页 ‎①当时，‎ 有，‎ ‎∴点与点重合，‎ ‎∴．‎ ‎②当时，‎ ‎∴，‎ 解得：．‎ ‎③当时，‎ 有，‎ ‎∴．‎ ‎∴，即，‎ 解得：．[来源:中国教~^育出版&网*#]‎ 综上所述，当、或秒时，为等腰三角形．‎ ‎⑶设是的中点，连接，[来源*:中&~#^教网]‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 第 17 页 共 18 页 ‎∴，∴．[ww~w.@z^zstep.#c*om]‎ 又，∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴点沿直线运动，也随之平移．‎ 如图，设从位置运动到位置，则四边形是平行四边形．‎ ‎∵、分别是、的中点，∴，且．‎ 分别过点、作，垂足为，垂足为，延长交于点，则四边形是矩形，‎ 当时，，；‎ 当时，，．‎ ‎∴．[www.z%@^z~step.c*om]‎ ‎∴．‎ ‎∴整个运动过程中，所扫过的面积为．‎ 第 17 页 共 18 页 复习巩固 ‎[中国教育*^出版网~%&]‎ 题型一 因动点产生的函数关系问题 巩固练习 如图，直线与两坐标轴分别交于、两点，边长为2的正方形沿着轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形与△AOB重叠部分的面积为．则表示与的函数关系的图象大致是（ ）‎ D.‎ A B C D E F 题型二 因动点产生的特殊图形问题 巩固练习 如图，在矩形中，（是大于的常数），，为线段上的动点（不与、重合）．连结，作，与射线交于点，设，．‎ ‎⑴求关于的函数关系式；‎ ‎⑵若，求为何值时，的值最大，最大值是多少？‎ ‎⑶若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？‎ ‎⑴ 因为与都是的余角，所以．‎ 又因为，所以．‎ 第 17 页 共 18 页 因为，即．‎ 整理，得关于的函数关系为．‎ ‎⑵ 如图1，当时，．‎ 因此当时，取得最大值为2．‎ ‎⑶ 若，那么．整理，得．‎ 解得或．‎ 要使为等腰三角形，只存在的情况．‎ 因为，所以，即．‎ 将代入，得（如图2）；‎ 将代入，得（如图3）．‎ 如图，已知中，，，，P、Q分别是边AB.BC上的动点，且点P不与A.B重合，点Q不与B.C重合，当CQ的长取不同的值时，是否可能为直角三角形？若可能，请求出CQ的范围；若不能，说明理由．‎ 为直角三角形，可能有三种情况，但点P不与点A重合，所以么不可能为直角，因此有两种情况：‎ ‎⑴ 若为直角，如图，则CQ的范围为[来源:~中教&%*网^]‎ 第 17 页 共 18 页 ‎⑵ 若为直角，则点P在以CQ为直径的上，而点P在边AB上，就必须与边AB有公共点，即与边AB相切或相交，我们先从与边AB相切入手求出CQ的长：如图，连结OP，则，‎ 得．设，得，‎ 解得，∴‎ ‎∴若为直角，CQ的范围为．[来@源:z%zstep.&^co*m]‎ 从相等到不等求范围，要抓住变化中图形的特殊位置，而在直线与圆的位置关系中则以相切作为解题的突破口．‎ 已知：如图，在直角梯形中，，以为原点建立平面直角坐标系，三点的坐标分别为，点为线段的中点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿折线的路线移动，移动的时间为秒．‎ ‎⑴求直线的解析式；‎ ‎⑵若动点在线段上移动，当为何值时，四边形的面积是梯形面积的？‎ ‎⑶动点从点出发，沿折线的路线移动过程中，设的面积为，请直接写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；‎ ‎⑷当动点在线段上移动时，能否在线段上找到一点，使四边形为矩形？请求出此时动点的坐标；若不能，请说明理由．‎ A B D C O x y ‎（此图备用）‎ A B D C O P x y ‎[来~#源:中国教育出版^&%网]‎ ‎[来#%源:^~中教网&]‎ 第 17 页 共 18 页 ‎⑴ 直线的解析式为．‎ ‎⑵ 如图1，过点作轴，垂足为．‎ 在中，，，．‎ 所以．‎ 梯形的面积．‎ 解方程，解得．‎ 因此，当时，四边形的面积是梯形的面积的．‎ ‎⑶ 如图1，① 当在线段上时，，；‎ ‎② 如图2，当在线段上时，，；‎ ‎③ 如图3，当在线段上时，，．‎ ‎⑷ 四边形不可能成为矩形．说理如下：‎ 如图4，当时，作交轴于．[www.z#z&ste^p~.co@m]‎ 在中，，．‎ 在中，，．‎ 所以，因此四边形不是矩形．‎ 已知：如图①，在中，，，，点由出发沿 第 17 页 共 18 页 方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接．若设运动的时间为（）‎ A Q C P B 图①‎ A Q C P B 图②‎ 如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．[来源&@:中国教育~出版*^网]‎ ‎[来源:#z~zstep&.c%o*m]‎ 如图过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，‎ P ′‎ B A Q P C M N 若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．‎ ‎∵PM⊥AC于M，‎ ‎∴QM=CM．[来^@源%:中~教#网]‎ ‎∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．[中%^@国教&育出~版网]‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴， ∴，‎ ‎∴，解得：．[中国#教&%育出版^*网]‎ ‎∴当时，四边形PQP ′ C 是菱形．[来~%源#:中国教育出*版&网]‎ 此时，　，‎ 在Rt△PMC中，，‎ ‎∴菱形PQP ′ C边长为．‎ 第 17 页 共 18 页 ‎【测试1】如图：等边中，边长，点在线段上，点在射线上，点沿方向从点以每秒1个单位的速度向终点运动，点沿方向从点以每秒2个单位的速度运动，当点停止时点也停止运动，设运动时间为秒，若、、三点围成的图形的面积为来表示，则与的图象是（）‎ A B C[来源:zzs&#tep%@.*com]‎ ‎【解析】B[中&国教育#*~出^版网]‎ ‎[来~源:中国^%&教#育出版网]‎ ‎【测试2】 矩形中，点是线段上一动点，为的中点，的延长线交于．‎ ‎⑴ 求证：；[来源@:#%zzste~*p.com]‎ ‎⑵ 若厘米，厘米，从点出发，以1厘米/秒的速度向运动（不与重合）．设点运动时间为秒，请用表示的长；并求为何值时，四边形是菱形．‎ ‎【解析】 ⑴ 证明：∵四边形是矩形，[w^w#*w~.zzst@ep.com]‎ ‎∴，‎ ‎∴，又，，‎ ‎∴‎ ‎⑵ ‎ 第 17 页 共 18 页 ‎∵四边形是矩形，∴，‎ ‎∵，，∴，∴．‎ 当四边形是菱形时，，∴，又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，‎ 解得，即运动时间为秒时，四边形是菱形．‎ 第 17 页 共 18 页