陕西省2020届高三下学期第二次模拟文科数学试题 Word版含解析

陕西省2020届高三下学期第二次模拟文科数学试题 Word版含解析

‎2020年陕西省高考数学二模试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题）.‎ ‎1.已知集合，函数的定义域为集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合A，B，然后进行交集的运算即可.‎ ‎【详解】解：∵， ‎ ‎∴.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知i为虚数单位,复数Z,则其共轭复数的虚部为（ ）‎ A. 2 B. ﹣‎2 ‎C. 2i D. ﹣2i ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案.‎ ‎【详解】解：∵z,‎ ‎∴,‎ 则共轭复数的虚部为2.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.‎ ‎3.已知向量，，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 20 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由得，解得．‎ ‎∴，‎ ‎ ∴．选D．‎ ‎4.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，‎ 基本事件的总数为，‎ 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,‎ 所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎5.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：‎ 甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；‎ 乙预测说：我不会获奖，丙获奖 丙预测说：甲和丁中有一人获奖；‎ 丁预测说：乙的猜测是对的 - 20 -‎ 成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（）‎ A. 甲和丁 B. 乙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丙 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断 ‎【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁 答案选B ‎【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证 ‎6.设函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. 4 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用周期性得到及，再利用奇偶性得到的值从而得到要求的函数值的和．‎ ‎【详解】因为的周期为2，所以且，‎ 由为奇函数，则，，但，‎ - 20 -‎ 故，故，选A．‎ ‎【点睛】一般地，对于定义在的奇函数，如果其周期为，那么．另外，对于奇函数、周期函数的求值问题，应利用周期性将所求的值归结为给定区间上的求值问题．‎ ‎7.已知m,n,l是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若m⊂α,n⊂α,l⊂β,m∥l,n∥l,则α∥β B. 若m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,则α∥β C. 若m⊂α,m∩n＝A,l⊥m,l⊥n,l⊥β,则α∥β D. 若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥β ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 在A中,α与β相交或平行；在B中,α与β相交或平行；在C中,α与β相交或平行；在D中,由面面平行的判定定理得α∥β.‎ ‎【详解】解：由m,n,l是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,知：‎ 在A中,若m⊂α,n⊂α,l⊂β,m∥l,n∥l,则α与β相交或平行,故A错误；‎ 在B中,若m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,则α与β相交或平行,故B错误；‎ 在C中,若m⊂α,m∩n＝A,l⊥m,l⊥n,l⊥β,则α与β相交或平行,故C错误；‎ 在D中,若m∥n,m⊥α,n⊥β,则由面面平行的判定定理得α∥β,故D正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.‎ ‎8.已知函数f（x）cosωx﹣sinωx（ω＞0）的最小正周期为π,则该函数图象（ ）‎ A. 关于点（,0）对称 B. 关于直线x对称 C. 关于点（,0）对称 D. 关于直线x对称 ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ 由两角和的余弦函数公式可得f（x）＝2cos（ωx）,利用周期公式可求ω的值,进而根据余弦函数的图象和性质即可求解.‎ ‎【详解】解：f（x）cosωx﹣sinωx＝2cos（ωx）,‎ ‎∵f（x）的最小正周期为Tπ,‎ ‎∴ω＝2,‎ ‎∴f（x）＝2cos（2x）,‎ ‎∴f（）＝2cos0,可得函数关于点（,0）对称,故A正确,B错误,‎ f（）＝2cos,可得C错误,D错误.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两角和的余弦函数公式,周期公式,余弦函数的图象和性质,考查了函数思想,属于基础题.‎ ‎9.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0,4）到焦点F的距离|MF|x0,则p＝（ ）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 1 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线的定义可知,|MF|＝x0,与已知条件结合,得x0＝2p①；把点M的坐标代入抛物线方程可得42＝2p•x0②,结合①②即可解出p的值.‎ ‎【详解】解：由抛物线的定义可知,|MF|＝x0,‎ ‎∵|MF|x0,‎ ‎∴x0x0,即x0＝2p①,‎ ‎∵点M（x0,4）在抛物线y2＝2px上,‎ ‎∴42＝2p•x0②,‎ 由①②解得,p＝2或﹣2（舍负）,‎ 故选：A.‎ - 20 -‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义,考查学生的分析能力和运算能力,属于基础题.‎ ‎10.已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．‎ ‎【详解】详解：‎ ‎，‎ 将代入得，故选D．‎ ‎【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．‎ ‎11.已知，则（ ）‎ A. B. ‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知等式弦化切，求得， 分母用代替，弦化切后，将代入即可得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”‎ - 20 -‎ ‎：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ ‎12.已知双曲线的离心率为，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得.‎ ‎【详解】因为离心率为，所以①；因为点(4，1)在双曲线上，所以②；‎ 因为③；联立①②③可得，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线方程求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知x,y满足,则的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出平面区域,根据的几何意义求范围.‎ ‎【详解】解：不等式组对应的平面区域如图：‎ - 20 -‎ 的几何意义是过（4,1）和区域内的点的直线的斜率,所以最大值是过A（﹣3,﹣4）与（4,1）连接的直线斜率为,‎ 最小值是过B（3,2）与（4,1）连接的直线斜率为,‎ 所以的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了简单线性规划的问题解答,关键是正确画出平面区域以及明确目标函数的几何意义.属于基础题.‎ ‎14.某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子‎1500米比赛,现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如表的表格：‎ 根据表中数据,该中学应选_____参加比赛.‎ ‎【答案】乙 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,分析可得三人中乙的平均数最小且方差最小,由平均数、方差的统计意义分析可得答案.‎ ‎【详解】解：根据题意,由图中的表格：甲的平均数高于乙和丙的平均数,而甲乙的方差小于丙的方差,‎ - 20 -‎ 则三人中乙的平均数最小且方差最小,故应该选乙参加比赛；‎ 故答案为：乙 ‎【点睛】本题考查平均数、方差的统计意义,属于基础题.‎ ‎15.如图，在中,是边上一点，,，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用余弦定理求得，然后在中利用正弦定理可求得的值.‎ ‎【详解】由题意不妨取,则,且,‎ 由余弦定理，可得,,由正弦定理得，从而.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】此题主要考查解三角形中余弦定理、正弦定理方面等知识的综合应用，属于中档题.根据题目中的条件“”，可有多种方法假设，比如：设，则；或者取,则有，…，代入余弦定理、正弦定理进行运算，注意在取值时候要按照题目所给的比例合理进行，更要注意新引入参数的范围.‎ ‎16.如图,圆锥型容器内盛有水,水深,水面直径放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________‎ - 20 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过将图形转化为平面图形，然后利用放球前后体积等量关系求得球的体积.‎ ‎【详解】作出相关图形，显然,因此，因此放球前，球O与边相切于点M，故，则，所以，,所以放球后，而，而，解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆锥体积与球体积的相关计算，建立体积等量关系是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力，计算能力和分析能力.‎ 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.在等差数列{an}中,已知a1+a3＝12,a2+a4＝18,n∈N*.‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ - 20 -‎ ‎（2）求a3+a6+a9+…+a3n.‎ ‎【答案】（1）an＝3n,n∈N*（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意a1+a3＝12,a2+a4＝18,两式相减得d＝3,将d＝3代入一式可得a1,则通项公式可求.‎ ‎（2）因为数列{an}是等差数列,所以数列{a3n}也是等差数列,且首项a3＝9,公差d'＝9,则其前n项和可求.‎ ‎【详解】解：(1)因为{an}是等差数列,a1+a3＝12,a2+a4＝18,所以 解得d＝3,a1＝3.则an＝3+（n﹣1）×3＝3n,n∈N*.‎ ‎(2)a3,a6,a9,…,a3n构成首项为a3＝9,公差为9的等差数列.‎ 则.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,等差数列的前n项和公式,等差数列的定义等,考查分析解决问题的能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎18.如图,四边形ABCD是直角梯形,AB＝2CD＝2PD＝2,PC,且有PD⊥AD,AD⊥CD,AB∥CD.‎ ‎（1）证明：PD⊥平面ABCD；‎ ‎（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为,求四棱锥P﹣ABCD的表面积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出PD⊥CD,PD⊥AD,由此能证明PD⊥平面ABCD.‎ ‎（2）由PD⊥面ABCD,四棱锥P﹣ABCD的体积为,求出AD＝1,由PD⊥AB,AB⊥AD,得AB⊥平面PAD,AB⊥PA,PA,由此能求出四棱锥P﹣ABCD的表面积.‎ ‎【详解】解：（1）证明：在△PCD中,PD＝1,CD＝1,PC,‎ ‎∵12+12,‎ ‎∴∠PDC＝90°,即PD⊥CD,‎ 又PD⊥AD,AD∩CD＝D,∴PD⊥平面ABCD.‎ ‎（2）由（1）得PD⊥面ABCD,‎ VP﹣ABCD,‎ ‎∴AD＝1,‎ ‎∵PD⊥AB,AB⊥AD,PD∩AD＝D,‎ ‎∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥PA,∴PA,‎ 由题意得BC＝PC,PB,‎ ‎△PBC中,由余弦定理得cos∠PCB.‎ ‎∴∠PCB＝120°,‎ ‎∴S△PCB,‎ ‎,‎ S△PAD＝S△PCD,‎ ‎,‎ ‎∴四棱锥P﹣ABCD的表面积S.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查四棱锥的表面积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.‎ - 20 -‎ ‎19.将某产品投入甲、乙、丙、丁四个商场进行销售，五天后，统计了购买该产品的所有顾客的年龄情况以及甲商场这五天的销售情况如频率发布直方图所示：‎ 甲商场五天的销售情况 销售第天 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 第天的销量 ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎14‎ ‎（1）试计算购买该产品的顾客的平均年龄；‎ ‎（2）根据甲商场这五天的销售情况，求与的回归直线方程.‎ 参考公式：‎ 回归直线方程中，，.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据平均值公式计算平均值.‎ ‎（2）根据公式计算回归直线方程.‎ ‎【详解】（1）购买该产品的顾客的平均年龄为：‎ ‎ ‎ ‎（2） ‎ - 20 -‎ 回归方程为：‎ ‎【点睛】本题考查了平均值的计算，线性回归方程，意在考查学生的计算能力.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）函数，求的解的个数.‎ ‎【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增，（2）时，有1个解，当时，有2个解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出和，然后可得答案；‎ ‎（2）令，则，然后分和两种情况讨论，分别求出的单调性，然后结合的函数值即可得出答案.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 故，‎ 令，解得，令，解得，‎ 故函数在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎（2）令，则，‎ 若，则，在上单调递减，而，故有1个零点，‎ - 20 -‎ 若，可得时，，时，，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴，‎ 令，则，‎ 当时，，当时，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，而，‎ 故时，，有2个零点，‎ 当时，，有1个零点，‎ 综上，时，有1个解，‎ 当时，有2个解.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题.‎ ‎21.已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，为椭圆上的两个动点，直线，的斜率分别为，，当时，的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）是，定值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题设条件，列出方程组，结合，求得的值，即可求解.‎ ‎（2）设，，当直线的斜率存在时，设方程为，联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，及三角形的面积公式，求得三角形的面积；当直线 - 20 -‎ 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性和三角形的面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由椭圆四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为，‎ 可得，，即，解得，，‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，，‎ 当直线的斜率存在时，设方程为，‎ 由，消可得，，‎ 则，即，‎ 且，，‎ 所以 ‎.‎ 又由点到直线的距离，‎ 所以.‎ 又因为，‎ 所以，‎ - 20 -‎ 化简整理可得，满足，‎ 代入，‎ 当直线的斜率不存在时，由于，‎ 考虑到，关于轴对称，不妨设，，‎ 则点，的坐标分别为，，‎ 此时，‎ 综上可得，的面积为定值.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为，曲线C的参数方程是（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；‎ ‎（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ ‎（1）由得，然后可得直线l的直角坐标方程为：，消去中的可得曲线C的普通方程；‎ ‎（2）直线l参数方程为（t为参数），代入方程可得，然后可得，，然后利用求解即可.‎ ‎【详解】（1）由得 因为，所以直线的直角坐标方程为：.‎ 曲线C的参数方程是（为参数），消去参数，转换为普通方程为；‎ ‎（2）直线的参数方程为（为参数），‎ 代入方程可得，‎ 设其根为，则有，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程与普通方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型.‎ ‎23.已知函数 ‎（1）若，求不等式的解集.‎ - 20 -‎ ‎（2）对任意的，有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，然后分段解不等式即可.‎ ‎（2）由绝对值的三角不等式可得，对任意的，有，即，令，，利用，在同一坐标系中的图象求解即可.‎ ‎【详解】（1）当时，‎ 因为，所以或 所以，所以不等式的解集为：；‎ ‎（2）因为 所以，‎ 因为任意的，有，‎ 所以，即，‎ - 20 -‎ 设，，‎ ‎，在同一坐标系中的图象如下：‎ 所以，‎ 所以实数m的取值范围为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和利用绝对值的三角不等式求最值、考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题.‎ - 20 -‎