全国Ⅱ卷高考模拟试题数学理试题

全国Ⅱ卷高考模拟试题数学理试题

‎2015年全国Ⅱ卷高考模拟试题 数学（理）试题 注意事项:‎ ‎ 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。‎ ‎ 2. 回答第Ⅰ卷时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效。‎ ‎3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎4.考试结束后，将本试卷和答且卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面内，复数对应的点的坐标为 A． B． C． D．‎ ‎3．已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 ‎①；②；③；④．‎ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎4．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，且焦点到一条渐近线的距离大于，则 A． B． C． D．‎ ‎5．要从由名成员组成的小组中任意选派人去参加某次社会调查．若在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为，则的值为 A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎6. 某同学想求斐波那契数列（从第三项起每一项等 于前两项的和）的前项的和，他设计了一个程序框图，‎ 那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是 A．； ‎ B．； ‎ C．；‎ D．； ‎ ‎7．已知向量，，若向量满足与的夹角 为，，则 A．1 B． C．2 D．‎ ‎8．设是公差不为零的等差数列，满足，则该 数列的前项和等于 A． B． C． D．‎ ‎9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎10．如图是函数图像的一部分，对不同的，若 ，有，则 A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上是减函数 ‎11．过抛物线的焦点且斜率为的直线与交于、两点，以为 直径的圆与的准线有公共点，若点的纵坐标为，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数在的最小值为，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～第24题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分‎1,3,5‎ 。‎ ‎13．展开式中的常数项为 ．‎ ‎14．若不等式组表示的平面区域是面积为的三角形，则的值 ． ‎ ‎15．、、三点在同一球面上，，2，且球心O到平面的距离为，则此球的体积为 ．‎ ‎16．已知数列满足，是其前项和，若，且 ‎，则的最小值为 ．‎ 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 在中，角、、的对边分别为、、，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，，求、的值．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）设是棱的中点，，，‎ 求二面角的余弦值． ‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，‎ C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有16人．‎ ‎（Ⅰ）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；‎ ‎（Ⅱ）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，‎ ‎6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和X的分布列和数学期望．‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 已知椭圆E：的焦距为2，A是E的右顶点，P、Q是E上关于 原点对称的两点，且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）过E的右焦点作直线与E交于M、N两点，直线MA、NA与直线分别交于 C、D两点，设△ACD与△AMN的面积分别记为、，求的最小值．‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 设函数（e为自然对数的底），曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求、的值，并求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设，求证：．‎ 请考生在第22、23、24两题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O 于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于点H．‎ ‎（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；‎ ‎（Ⅱ）若，求△BDF外接圆的半径．‎ ‎（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴 重合．点A、B的极坐标分别为、（），曲线的参数方程为为参数 ‎（Ⅰ）若，求的面积；‎ ‎（Ⅱ）设为上任意一点，且点到直线的最小值距离为，求的值．‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎2015年全国Ⅱ卷高考模拟试题 数学（理）试题 二、填空题 ‎13．； 14．； 15．； 16．.‎ ‎16.解：由已知得：，，……，，‎ ‎，把以上各式相加得：，‎ 所以，即，所以 三、解答题 ‎17．（1）由正弦定理得…………………………………………2分 ‎…………………………………………………………………………………3分 所以……………………………………………………4分 因为，故………………………………………………………………5分 所以……………………………………………………………………………………6分 ‎（2）由，得…………………………………………………………7分 由条件，，‎ 所以由余弦定理得………………………9分 解得………………………………………………………………………12分 ‎18．（1）证明：因为平面平面，平面平面，‎ 所以平面………………………………………………………………………1分 又平面，所以……………………………………………………2分 又，所以PD⊥平面………………………………3分 而平面PCD，故平面PCD⊥平面……………………4分 ‎（2）如图，建立空间直角坐标系…………………………………5分 设，则，‎ ‎，， ，…………………6分 ‎，则得 ‎，……………………………………………………8分 设平面PEC的一个法向量，‎ 由得 ‎ 令，则……………………………………………………………………9分 ‎，，设平面PEC的一个法向量，‎ 由得，令，则……………………10分 设二面角的大小为，则…………11分 故二面角的余弦值为……………………………………………………12分 ‎19．（1）因为“铅球”科目中成绩等级为的考生有16人，‎ 所以该班有人……………………………………………………………………2分 所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为 ‎………………………………………………4分 ‎（2）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20 …………………6分 ‎，，‎ ‎，…………………………………………9分 所以的分布列为 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎ ‎ ‎……………………………………………10分 所以…………………………11分 所以的数学期望为……………………………………………………………………12分 ‎20．（1）设，则……………………………………1分 ‎，依题意有 又，所以解得 故的方程为……………………………………………………………………5分 ‎（2）设直线的方程为，代入的方程得 设，则…………………………6分 直线MA的方程为，把代入得 同理………………………………………………………………………………7分 所以…………………………………8分 所以 ‎……………………………………………………………9分 ‎，令，则，‎ 所以……………………………………………………………………10分 记，则……………………………………11分 所以在单调递增地，所以的最小值为 ‎ 故的最小值为…………………………………………………………………12分 选做题 ‎22．（1）因为为圆的一条直径，所以…………………………………2分 又，所以四点共圆…………………………………………………4分 ‎(2)因为AH与圆B相切于点F，‎ 由切割线定理得，代入解得AD=4………………………………………5分 所以…………………………………………………6分 又△AFB∽△ADH，所以………………………………………………………7分 由此得………………………………………………………………8分 连接BH，由（1）知，BH为△BDF外接圆的直径，……9分 故△BDF的外接圆半径为………………………………………………………………10分 ‎23．（1）…………………………………………………4分 ‎（2）依题意知圆心到直线的距离为3…………………………………………………5分 当直线斜率不存在时，直线的方程为，‎ 显然，符合题意，此时……………………………………………………………6分 当直线存在斜率时，设直线的方程为………………………………7分 则圆心到直线AB的距离………………………………………………………8分 依题意有，无解…………………………………………………………………9分 故…………………………………………………………………………………10分 ‎2‎ 故实数a的取值范围为……………………………………………………10分 法（2） 易知，只需且，解得．‎