全国Ⅱ卷高考模拟试题数学理试题

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全国Ⅱ卷高考模拟试题数学理试题

‎2015年全国Ⅱ卷高考模拟试题 数学(理)试题 注意事项:‎ ‎ 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。‎ ‎ 2. 回答第Ⅰ卷时.选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效。‎ ‎3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。‎ ‎4.考试结束后,将本试卷和答且卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每一小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 ‎ ‎1.已知集合,,则 A. B. C. D.‎ ‎2.在复平面内,复数对应的点的坐标为 A. B. C. D.‎ ‎3.已知函数是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是 ‎①;②;③;④.‎ A.①③ B.②③ C.①④ D.②④‎ ‎4.已知双曲线的两条渐近线的夹角为,且焦点到一条渐近线的距离大于,则 A. B. C. D.‎ ‎5.要从由名成员组成的小组中任意选派人去参加某次社会调查.若在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为,则的值为 A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎6. 某同学想求斐波那契数列(从第三项起每一项等 于前两项的和)的前项的和,他设计了一个程序框图,‎ 那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是 A.; ‎ B.; ‎ C.;‎ D.; ‎ ‎7.已知向量,,若向量满足与的夹角 为,,则 A.1 B. C.2 D.‎ ‎8.设是公差不为零的等差数列,满足,则该 数列的前项和等于 A. B. C. D.‎ ‎9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ ‎10.如图是函数图像的一部分,对不同的,若 ,有,则 A.在上是减函数 B.在上是减函数 C.在上是增函数 D.在上是减函数 ‎11.过抛物线的焦点且斜率为的直线与交于、两点,以为 直径的圆与的准线有公共点,若点的纵坐标为,则的值为 A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数在的最小值为,则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22~第24题为选考题,考生根据要求作答.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分‎1,3,5‎ 。‎ ‎13.展开式中的常数项为 .‎ ‎14.若不等式组表示的平面区域是面积为的三角形,则的值 . ‎ ‎15.、、三点在同一球面上,,2,且球心O到平面的距离为,则此球的体积为 .‎ ‎16.已知数列满足,是其前项和,若,且 ‎,则的最小值为 .‎ 三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ 在中,角、、的对边分别为、、,且.‎ ‎(Ⅰ)求角的大小;‎ ‎(Ⅱ)若,,求、的值.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 在四棱锥中,底面是矩形,平面平面,,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)设是棱的中点,,,‎ 求二面角的余弦值. ‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ 某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试,每个科目的成绩分为A,B,‎ C,D,E五个等级,分别对应5分,4分,3分,2分,1分,该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示,其中“铅球”科目的成绩为E的学生有16人.‎ ‎(Ⅰ)求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数;‎ ‎(Ⅱ)若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分,其中有2人10分,2人9分,‎ ‎6人8分.从这10人中随机抽取两人,求两人成绩之和X的分布列和数学期望.‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 已知椭圆E:的焦距为2,A是E的右顶点,P、Q是E上关于 原点对称的两点,且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为.‎ ‎(Ⅰ)求E的方程;‎ ‎(Ⅱ)过E的右焦点作直线与E交于M、N两点,直线MA、NA与直线分别交于 C、D两点,设△ACD与△AMN的面积分别记为、,求的最小值.‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 设函数(e为自然对数的底),曲线在点处的切线方程为.‎ ‎(Ⅰ)求、的值,并求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)设,求证:.‎ 请考生在第22、23、24两题中任选一题做答,并用2B铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分。‎ ‎(22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,已知AB为圆O的一条直径,以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点,交圆O 于E、F两点,过点D作垂直于AD的直线,交直线AF于点H.‎ ‎(Ⅰ)求证:B、D、H、F四点共圆;‎ ‎(Ⅱ)若,求△BDF外接圆的半径.‎ ‎(23)(本小题10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合,极轴与直角坐标系的轴的正半轴 重合.点A、B的极坐标分别为、(),曲线的参数方程为为参数 ‎(Ⅰ)若,求的面积;‎ ‎(Ⅱ)设为上任意一点,且点到直线的最小值距离为,求的值.‎ ‎(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,解不等式;‎ ‎(Ⅱ)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎2015年全国Ⅱ卷高考模拟试题 数学(理)试题 二、填空题 ‎13.; 14.; 15.; 16..‎ ‎16.解:由已知得:,,……,,‎ ‎,把以上各式相加得:,‎ 所以,即,所以 三、解答题 ‎17.(1)由正弦定理得…………………………………………2分 ‎…………………………………………………………………………………3分 所以……………………………………………………4分 因为,故………………………………………………………………5分 所以……………………………………………………………………………………6分 ‎(2)由,得…………………………………………………………7分 由条件,,‎ 所以由余弦定理得………………………9分 解得………………………………………………………………………12分 ‎18.(1)证明:因为平面平面,平面平面,‎ 所以平面………………………………………………………………………1分 又平面,所以……………………………………………………2分 又,所以PD⊥平面………………………………3分 而平面PCD,故平面PCD⊥平面……………………4分 ‎(2)如图,建立空间直角坐标系…………………………………5分 设,则,‎ ‎,, ,…………………6分 ‎,则得 ‎,……………………………………………………8分 设平面PEC的一个法向量,‎ 由得 ‎ 令,则……………………………………………………………………9分 ‎,,设平面PEC的一个法向量,‎ 由得,令,则……………………10分 设二面角的大小为,则…………11分 故二面角的余弦值为……………………………………………………12分 ‎19.(1)因为“铅球”科目中成绩等级为的考生有16人,‎ 所以该班有人……………………………………………………………………2分 所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为 ‎………………………………………………4分 ‎(2)设两人成绩之和为,则的值可以为16,17,18,19,20 …………………6分 ‎,,‎ ‎,…………………………………………9分 所以的分布列为 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎ ‎ ‎……………………………………………10分 所以…………………………11分 所以的数学期望为……………………………………………………………………12分 ‎20.(1)设,则……………………………………1分 ‎,依题意有 又,所以解得 故的方程为……………………………………………………………………5分 ‎(2)设直线的方程为,代入的方程得 设,则…………………………6分 直线MA的方程为,把代入得 同理………………………………………………………………………………7分 所以…………………………………8分 所以 ‎……………………………………………………………9分 ‎,令,则,‎ 所以……………………………………………………………………10分 记,则……………………………………11分 所以在单调递增地,所以的最小值为 ‎ 故的最小值为…………………………………………………………………12分 选做题 ‎22.(1)因为为圆的一条直径,所以…………………………………2分 又,所以四点共圆…………………………………………………4分 ‎(2)因为AH与圆B相切于点F,‎ 由切割线定理得,代入解得AD=4………………………………………5分 所以…………………………………………………6分 又△AFB∽△ADH,所以………………………………………………………7分 由此得………………………………………………………………8分 连接BH,由(1)知,BH为△BDF外接圆的直径,……9分 故△BDF的外接圆半径为………………………………………………………………10分 ‎23.(1)…………………………………………………4分 ‎(2)依题意知圆心到直线的距离为3…………………………………………………5分 当直线斜率不存在时,直线的方程为,‎ 显然,符合题意,此时……………………………………………………………6分 当直线存在斜率时,设直线的方程为………………………………7分 则圆心到直线AB的距离………………………………………………………8分 依题意有,无解…………………………………………………………………9分 故…………………………………………………………………………………10分 ‎2‎ 故实数a的取值范围为……………………………………………………10分 法(2) 易知,只需且,解得.‎
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