全国高考数学试卷理科含答案

全国高考数学试卷理科含答案

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)设复数Z满足 ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎（2）‎ ‎（A） (B) （C） (D) ‎ ‎（3）设命题 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）投篮测试中，每人投3次，至少2次命中才能通过测试，已知某同学每次投篮命中的概率为0.6，且各次投篮是否命中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ‎（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312‎ ‎（5）已知是双曲线C：上的一点，两个焦点，若，则的取值范围是 （A） ‎ （B） （C） （D）‎ ‎（6）《九章算术》是我国古代极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”，其意为：“在屋内角处堆放米（如图，米堆是一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的的体积和米堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出米堆的米约为 ‎（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛 ‎(7)设D为，，则 ‎（A） （B） ‎ ‎ (C) （D）‎ ‎(8)函数的部分图像如图所示，则的单调减区间为 ‎（A） ‎ ‎（B） （C） ‎ ‎ （D）‎ ‎（9）执行右边的程序框图，如果输入的t=0.01,则输出的n= ‎ ‎（A）5 （B）6 （C）7 （D）8‎ ‎（10）的展开式中，的系数为 （A）10 （B）20 （C）30（D）60‎ ‎(11)圆柱被一平面截去一部分后与半球（半径为r） 组成一个几何休，该几何体的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=‎ ‎（A）1 (B)2 ‎ ‎(C)4 (D)8‎ ‎(12)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是（ ）‎ ‎（A）[- -，1） (B) [- ，） (C) [，） (D) [，1）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）若函数 .‎ ‎（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 。‎ ‎（15）若，则的最大值为 。‎ ‎（16）在平面四边形ABCD中，，BC＝2，则AB的取值范围是 。‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）是数列的前n项和，已知，‎ ‎（Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设 求数列的前n项和.‎ ‎(18)(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是菱形， ，E，F是平面ABCD同一侧的两点，，， ‎ ‎(Ⅰ)证明：；‎ ‎(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成有的余弦值。‎ ‎（19）（本小题满分12分）某公司为确定下一年的投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y(单位：t)和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和对年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值，‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中 ‎（Ⅰ）根据散点图，判断哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归类型（给出判断即可，不必说明理由）；‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y与x的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）已知这种产品年利润z与x,y之间的关系为z=0.2y-x,根据（Ⅱ）的结果回答问题 ‎（i）年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值为多少？‎ ‎（ii）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？‎ 附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)…….. (un vn)，其回归线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：‎ ‎（20）（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：与直线交于M，N两点。‎ ‎（Ⅰ）当时，分别求C在M点和N点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）,使得当变动时，总有？说明理由。‎ ‎（21）（本小题满分12分）已知函数 ‎（Ⅰ）当为何值时，轴为曲线的切线；‎ ‎（Ⅱ）用表示中的最小值，设函数讨论函数零点的个数。‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB是圆为的直径，AC是圆O的切线，BC交圆O与点E，‎ ‎(Ⅰ)若D为AC的中点，证明：DE是圆O的切线；‎ ‎(Ⅱ)若,求的大小。‎ ‎(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线C1 ， ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为级轴建立极坐标系 ‎(Ⅰ)求的极坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)若直线，设，求的面积。‎ ‎(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数,。‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围。‎ 答案 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ （1） 设复数z满足=i，则|z|=‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=，故选D.‎ ‎（3）设命题P：nN，>，则P为 ‎ （A）nN, > （B） nN, ≤‎ ‎ （C）nN, ≤ （D） nN, =‎ ‎【答案】C ‎【解析】:，故选C.‎ ‎（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ‎ （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选A.‎ ‎（5）已知M（x0，y0）是双曲线C： 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是 ‎ （A）（-，） （B）（-，）‎ ‎（C）（，） （D）（，）‎ ‎【答案】A ‎（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 ‎ A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 ‎【答案】B ‎【解析】学科网 设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.‎ ‎（7）设D为ABC所在平面内一点=3，则 ‎（A）=+ (B)=‎ ‎（C）=+ (D)=[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题知=，故选A.‎ ‎[来源:学,科,网]‎ ‎(8)函数f(x)=的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为 ‎(A)（）,k (b)（）,k ‎(C)（）,k (D)（）,k ‎【答案】D ‎（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=‎ ‎（A）5 （B）6 （C）7 （D）8‎ ‎ ‎ ‎【答案】C （10） 的展开式中，y²的系数为 ‎（A）10 （B）20 （C）30（D）60‎ ‎【答案】A ‎【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 A.‎ （11） 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r=[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎（A）1（B）2（C）4（D）8‎ ‎【答案】B ‎【解析】学科网 由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16 + 20，解得r=2，故选B.‎ ‎12.设函数=,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得0，则的取值范围是（ ）‎ A.[-，1） B. [-，） C. [，） D. [，1）‎ ‎【答案】D 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 ‎（13）若函数f(x)=xln（x+）为偶函数，则a= ‎ ‎【答案】1[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【解析】由题知是奇函数，所以 ‎ =，解得=1.‎ ‎（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.‎ ‎（15）若x,y满足约束条件则的最大值为 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.‎ ‎ ‎