【数学】四川省泸州市泸县第四中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试试题（文）

【数学】四川省泸州市泸县第四中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试试题（文）

四川省泸州市泸县第四中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学试题（文）‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。‎ ‎1．已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在 ( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知集合，，则中元素的个数为 ( )‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎3．已知条件，条件直线与直线平行，则是的 ( )‎ A．充要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．函数的大致图象是 ‎ A．B．‎ C． D．‎ ‎5．已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ， 成等差数列，则公比 的值为 ( )‎ A． B． C． 或 D． 或 ‎ ‎6．若则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知类产品共两件，类产品共三件，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时，检测结束，则第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A．3a2 B．6a2 C．12a2 D．24a2‎ ‎9．过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，设点M（3，0）.若△MAB的面积为，则|AB|= ( )‎ A．2 B．4 C． D．8‎ ‎10．关于函数有下述四个结论：‎ ‎①是偶函数；②的最大值为；‎ ‎③在有个零点；④在区间单调递增.‎ 其中所有正确结论的编号是 ( )‎ A．①② B．①③ C．②④ D．①④‎ ‎11．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，，若成立，则的最小值是( ) ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为 ．‎ ‎14．已知实数，满足，则的最大值为______.‎ ‎15．已知，则满足的的取值范围为_______．‎ ‎16．函数的值域为_________．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）△的内角的对边分别为,且．‎ ‎(I)求角的大小 ‎（II）若,△的面积,求△的周长．‎ ‎18．（12分）．年，某省将实施新高考，年秋季入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各分，另外，考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物门科目中自选门参加考试（选 ‎），每科目满分分.为了应对新高考，某高中从高一年级名学生（其中男生人，女生人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查.‎ ‎（I）已知抽取的n名学生中含女生人，求n的值及抽取到的男生人数；‎ ‎（II）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下面表格是根据调查结果得到的列联表，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；‎ 选择“物理”‎ 选择“历史”‎ 总计 男生 ‎10‎ 女生 ‎30‎ 总计 ‎（III）在抽取到的名女生中，在（2）的条件下，按选择的科目进行分层抽样，抽出名女生，了解女生对“历史”的选课意向情况，在这名女生中再抽取人，求这人中选择“历史”的人数为人的概率.‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎19．(12分)如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，A1D与AD1交于点E，AA1＝AD＝2AB＝4.‎ ‎（I）证明：AE⊥平面ECD．‎ ‎（II）求点C1到平面AEC的距离.‎ ‎20．（12分）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点，且与圆相切．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（II）动点在抛物线的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设．求证点在定直线上，并求该定直线的方程．‎ ‎21．（12分）已知函数 ‎（Ⅰ）若讨论的单调性;‎ ‎（II）当时,若函数与的图象有且仅有一个交点,求的值(其中表示不超过的最大整数,如.‎ 参考数据:‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，圆的参数方程（为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴）中，直线的方程为.‎ ‎（Ⅰ）求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎（II）若圆心到直线的距离等于2，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（II）若对于，，有，，求证：．‎ 参考答案 ‎1．B 2．C 3．C 4．C 5．D 6．A 7．D 8．B 9．C 10．D ‎11．B 12．A ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．解：（I）∵，∴． ‎ ‎∴， ‎ ‎∴， ‎ ‎∴，∴，∴． ‎ ‎（II）依题意得：∴，‎ ‎∴，∴， ∴，‎ ‎∴的周长为．‎ ‎18．解：（1）由题意，根据分层抽样的方法，可得，解得，‎ 所以男生人数为：人.，男生人数为：55人；.‎ ‎（2）由（1）中得知；男生人数为55人，选择“历史”的有10人，因此选择“物理”的有人；男生人数为45人，选择“物理”的有30人，因此选择“历史”的有人，‎ 所以列联表为：‎ 选择“物理”‎ 选择“历史”‎ 总计 男生 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女生 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 总计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎.所以没有95%的把握认为选择科目与性别有关.‎ ‎（3）选择物理与选择历史的女生人数的比为2：1，所以按分层抽样有4人选择物理，设为a，b，c，d，2人选择历史，设为A，B，..从中选取3人，共有20种选法，可表示为abc，abd，acd，‎ bcd，abA，abB，acA，acB，adA，adB，bcA，bcB，bdA，bdB，cdA，cdB，aAB，bAB，cAB，dAB.‎ 其中有2人选择历史的有aAB，bAB，cAB，dAB4种，‎ 故这3人中有2人选择历史的概率为 ‎19.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，‎ ‎∵AA1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴AA1⊥CD，又AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AE，‎ ‎∵四边形ADD1A1是平行四边形，∴E是A1D的中点，‎ ‎∵AA1＝AD，∴AE⊥DE，又CD∩DE＝D，∴AE⊥平面ECD.‎ ‎（2）解：连接CD1，则点C1到平面AEC的距离即为点C1到平面ACD1的距离.‎ 在△ACD1中，AC＝2，AD1＝4，CD1＝2，‎ ‎∴CE⊥AD1，且CE2，∴S4，‎ 设C1到平面ACD1的距离为h，则V.‎ 又V，‎ ‎∴4h＝16，即h.∴点C1到平面AEC的距离为.‎ ‎20．解：（1）依题意设直线的方程为，‎ 由已知得：圆的圆心，半径，因为直线与圆相切，‎ 所以圆心到直线的距离，即，解得或（舍去）．‎ 所以；‎ ‎（2）依题意设，由（1）知抛物线方程为，‎ 所以，所以，设，则以为切点的切线的斜率为，‎ 所以切线的方程为．‎ 令，，即交轴于点坐标为，‎ 所以， ，‎ ‎，．设点坐标为，则，‎ 所以点在定直线上．‎ ‎21．解：（1）对于函数 ‎ 当时，则在单调递减；‎ 当时，令，则，解得 ‎ 在单调递减；‎ 令，解得，所以在单调递增．‎ ‎（2）且两函数有且仅有一个交点 ，则方程 即方程在只有一个根 令，则 令，则 在单调递减，在上单调递增，故 注意到在无零点，‎ 在仅有一个变号的零点 在 单调递减，在单调递增，注意到 根据题意为 的唯一零点即 消去，得：‎ 令，可知函数在上单调递增 ‎，‎ ‎22．解：（Ⅰ）消去参数，得到圆的普通方程为.‎ 由，得.所以直线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）依题意，圆心到直线的距离等于2，即，解得.‎ ‎23．（1）解：由得，‎ 则或或 解得，或，或，即，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2）证明：由，，‎ 所以.‎