安徽省六校教育研究会2020届高三第二次素质测试数学(文)试题 Word版含解析

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安徽省六校教育研究会2020届高三第二次素质测试数学(文)试题 Word版含解析

www.ks5u.com 安徽六校教育研究会 2020 届高三第二次素质测试 数学(文科)‎ 一、选择题:本大题共 12 个题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合或,集合,则集合中的元素个数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出,再求出元素个数即可.‎ ‎【详解】因为,所以中元素的个数为.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查集合的运算,属于简单题.‎ ‎2.已知复数满足:(为虚数单位),则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的乘法、除法运算求出,再根据共轭复数的概念即可求解.‎ 详解】由,则,‎ 所以.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念,属于基础题.‎ ‎3.已知命题,则为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题判断即可.‎ ‎【详解】因为全称命题的否定是特称命题,‎ 所以命题,,‎ ‎,.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查全称命题的否定,属于简单题.‎ ‎4.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标,国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015 年以前的年均脱贫率(脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比)为.2015年开始,全面实施“精准扶贫”政策后,扶贫效果明显提高,其中2019年度实施的扶贫项目,各项目参加户数占比(参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比)及该项目的脱贫率见下表:‎ 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 服务业 参加用户比 脱贫率 那么年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先算出2019年的年脱贫率,再与年以前的年均脱贫率相比即可.‎ ‎【详解】由图表得,2019年的年脱贫率为 ‎.‎ 所以年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的.‎ 故选:C - 26 -‎ ‎【点睛】本题主要考查数学期望的实际应用,同时考查了学生的分析问题能力,属于简单题.‎ ‎5.已知首项为正数的等比数列中,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据求出,再根据得到,再由计算即可.‎ ‎【详解】因为,,所以,即.‎ 因为,.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质,同时考查了等比中项,属于中档题.‎ ‎6.已知函数的定义域为,值域为,则的值可能为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先设,根据的图象和值域得到的范围,即可得到的范围,从而得到的最大值和最小值,再结合选项即可得到答案.‎ ‎【详解】令,的图象如下所示:‎ - 26 -‎ 因为值域为,‎ 所以的最大范围为,‎ 最小范围为.‎ 所以,,‎ ‎,.‎ 即的最大值为,最小值为.‎ 所以可能为.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查正弦函数的图象,同时开心了正弦函数的值域和定义域,属于中档题.‎ ‎7.已知双曲线的右焦点为为坐标原点,以为直径的圆与双 曲线的一条渐近线交于点及点,则双曲线的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ 根据双曲线方程求出渐近线方程:,再将点代入可得,连接,根据圆的性质可得,从而可求出,再由即可求解.‎ ‎【详解】由双曲线,‎ 则渐近线方程:,‎ ‎,‎ ‎ ‎ 连接,则,解得,‎ 所以,解得.‎ 故双曲线方程为.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,需掌握双曲线的渐近线求法,属于中档题.‎ ‎8.《易经》包含着很多哲理,在信息学、天文学中都有广泛的应用,《易经》的博大精深,对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田,图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为,阴阳太极图的半径为,则每块八卦田的面积约为( )‎ - 26 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先设,,根据余弦定理得到,再根据图形计算八卦田的面积即可.‎ ‎【详解】如图所示: ‎ 设,.‎ ‎,解得:.‎ 因为.‎ 所以每块八卦田的面积.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形,同时考查了正弦定理计算三角形面积,属于中档题.‎ ‎9.锐角中,角,所对的边分别为,若 - 26 -‎ ‎,,则角的大小为( )‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先化简得到,根据余弦定理得到,再利用正弦定理得到,即.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以.‎ 因为为锐角三角形,所以,即.‎ ‎,即.‎ 因为,即,解得:.‎ 因为为锐角三角形,所以.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,同时考查了三角函数的恒等变换,属于中档题.‎ ‎10.函数在上的大致图象是( )‎ A. B. ‎ - 26 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论的取值范围,然后对函数进行求导,利用导数的几何意义即可判断.‎ ‎【详解】当时,,则,‎ 所以函数在上单调递增,‎ 令,则,‎ 根据三角函数的性质,‎ 当时,,故切线的斜率变小,‎ 当时,,故切线的斜率变大,可排除A、B;‎ 当时,,则,‎ 所以函数上单调递增,‎ 令 ,,‎ 当时,,故切线的斜率变大,‎ 当时,,故切线的斜率变小,可排除C,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了识别函数的图像,考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义,属于中档题.‎ ‎11.若定义在上的增函数的图象关于点对称 ,且, 令,则下列结论不一定成立的是( )‎ A. B. ‎ - 26 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意得到函数为定义在上奇函数,B选项,计算即可判定B正确,C选项,计算,即C正确,D选项,计算,根据的单调性即可判断D正确.‎ ‎【详解】因为函数向左平移一个单位得到,‎ 函数的图象关于点对称,‎ 所以的图象关于点,即函数为定义在上奇函数.‎ B选项,,故B正确.‎ C选项,,‎ 故C正确.‎ D选项,,‎ 因为在上为增函数,所以,即.‎ 所以,故D正确.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查奇函数的性质,同时考查了函数图象的平移变换,属于中档题.‎ ‎12.如图,棱长为的正方体中,为线段的中点,分别为线段和 棱 上任意一点,则的最小值为( )‎ - 26 -‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先连接,过作,连接,过作.根据面面垂直的性质得到平面,即.再根据相似三角形得到,,即.再将转化为,求其最小值即可.‎ ‎【详解】连接,过作,连接,过作.‎ 因为平面平面,‎ 所以平面.‎ 因为平面,所以.‎ - 26 -‎ 所以.‎ 又因为,所以.‎ 即.‎ 因为,所以.‎ 在中,.‎ 因为,所以.‎ 即,.‎ 所以.‎ 即的最小值为 故选:C ‎【点睛】本题主要考查立体几何中的最短距离问题,同时考查了面面垂直的性质,属于难题.‎ 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.‎ ‎13.已知平面向量,满足,则向量的夹角为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先化简得到,再计算即可得到.‎ ‎【详解】,,解得.‎ 因为,所以.‎ 故答案为:‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题主要考查向量夹角的计算,同时考查了向量数量积的运算,属于简单题.‎ ‎14.已知函数,则使得的的取值范围为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意得到:,再根据的范围解不等式即可.‎ ‎【详解】由题知:,即.‎ 因为,所以.‎ 因为,‎ 所以,解得.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查三角不等式的解法,同时考查了正弦函数的图象,属于中档题.‎ ‎15.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ 首先将三视图还原得到直观图为直三棱柱,从而得到直三棱柱的外接球球心为上下底面外心连线的中点处,再计算外接球半径及表面积即可.‎ ‎【详解】由题知:三视图的直观图为直三棱柱,‎ 由图知:几何体外接球球心为上下底面外心连线的中点处.‎ 在中,如图所示:‎ 为中点,,所以.‎ ‎,,.‎ ‎,.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查三棱柱的外接球表面积,同时考查三视图的还原,属于中档题.‎ ‎16.已知点为直线上一点,是椭圆的两条切线,若恰好存在一点使得,则椭圆的离心率为__________.‎ ‎【答案】‎ - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先设,过点切线为,根据直线与椭圆相切,联立得到,因为,得到,即.从而得到到直线的距离为,利用点到距离的公式即可求出,再求离心率即可.‎ ‎【详解】设,过点切线为,由题知:‎ 联立,‎ 因为直线与椭圆相切,‎ 所以,‎ 整理得:.‎ 设切线,的斜率分别为,,‎ 因为,所以,即.‎ 所以点在以为圆心,为半径的圆上,‎ 即到直线的距离为.‎ ‎,解得.‎ 又因为,所以,.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查离心率的求法,同时考查了直线与椭圆的位置关系,属于难题.‎ 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求做答.‎ - 26 -‎ ‎17.已知数列前项和为 ,且 ‎(1)设,求证:数列为等差数列,并求出数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求 ‎【答案】(1)证明见解析,;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题知:①,当时,②,①②化简得:,即,又因为当时,,,所以是以首项为,公差为的等差数列.即,.‎ ‎(2)由(1)知,再利用分组求和的方法即可得到.‎ ‎【详解】(1)由题知:①,‎ 当时,②,‎ ‎①②得:.‎ 所以,‎ 即:.‎ 当时,,解得,则.‎ 所以是以首项为,公差为的等差数列.‎ ‎,即.‎ ‎(2).‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题第一问考查等差数列的证明,第二问考查数列求分组求和,属于中档题.‎ ‎18.受“非洲猪瘟”的影响,月份起,某地猪肉的单价随着每周供应量的不足而上涨,‎ - 26 -‎ ‎ 具体情形统计如下表所示:‎ 自受影响后第 周 猪肉单价(元/斤)‎ ‎(1)求猪肉单价关于的线性回归方程 ‎(2)当地有关部门已于月初购入进口猪肉,如果猪肉单价超过元/斤,则释放进口猪肉增加市场供应量以调控猪肉价格,试判断自受影响后第几周开始需要释放进口猪肉?‎ 参考数据:,参考公式:‎ ‎【答案】(1);(2)应从第周开始 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据图表中数据,利用最小二乘法公式计算,,即可得到回归直线方程.‎ ‎(2)分别计算当和时对应的值,比较即可得到结论.‎ ‎【详解】(1),.‎ ‎,.‎ 所以,.‎ 故.‎ ‎(2)当时,,当时,,‎ 所以应从第周开始释放进口猪肉.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题主要考查回归直线方程的求解和应用,同时考查了学生的计算能力,属于中档题.‎ ‎19.如图,四棱锥中,侧面为等腰直角三角形, 平面,.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求顶点到平面的距离.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先由已知得到,根据平面得到,再利用线面垂直的判定即可证明平面.‎ ‎(2)首先取的中点,连接,,根据,得到平面,设点到平面的距离为,再利用等体积转化即可求出.‎ ‎【详解】(1)因为为等腰直角三角形,所以.‎ 平面,平面,所以.‎ 平面.‎ ‎(2)‎ - 26 -‎ 取的中点,连接,.‎ 因为和均为等腰三角形,所以,.‎ 因平面,平面,所以.‎ 平面.‎ 在中,,所以.‎ 在中,,,所以.‎ 又因为,,,‎ 所以四边形为矩形,即,.‎ 在中,,,所以.‎ 因为在中,,,‎ 所以.‎ 设点到平面的距离为,‎ 因为,即,.‎ ‎【点睛】本题第一问考查线面垂直的证明,第二问考查点到面的距离,等体积法为解题的关键,属于中档题.‎ ‎20.已知函数,直线是曲线在处的切线经过点. ‎ - 26 -‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)若函数,试判断函数的零点个数并证明.‎ ‎【答案】(1);(2)一个,证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先求导,计算得到切点为,计算得到切线斜率,再利用点斜式即可写出切线方程,代入解即可.‎ ‎(2)求导得到,函数在上单调递增,根据计算,,即可得到函数在区间上存在唯一零点.‎ ‎【详解】(1).‎ 因为,所以切点为.‎ ‎.‎ 所以曲线在处的切线方程为.‎ 将代入,解得:.‎ ‎(2)‎ 所以函数在上单调递增,‎ - 26 -‎ 又,.‎ 所以函数在区间上存在唯一零点,‎ 即函数存在唯一零点.‎ ‎【点睛】本题第一问考查导数中的切线问题,第二问考查利用导数求函数零点个数问题,属于中档题.‎ ‎21.已知抛物线的焦点为,点,点为抛物线上的动点为坐标原点.‎ ‎(1)若的最小值为,求实数的值; ‎ ‎(2)若梯形内接于抛物线,,的交点恰为,且,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)或;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分别讨论和时的最小值,根据图形即可求出的值.‎ ‎(2)首先设,,,根据得到点在与中点连线上,从而得到点的坐标及.再设出直线的方程为,与抛物线方程联立,利用根系关系即可得到,解出的值即可得到直线的方程.‎ ‎【详解】(1)①当线段与抛物线没有公共点,即时,‎ - 26 -‎ 设抛物线的准线为,过点作的垂线,垂足为,‎ 过点作的垂线,垂足为,‎ 则,‎ 故.‎ ‎②当线段与抛物线有公共点,‎ 即时,.‎ 故或(舍去).‎ 综上.‎ ‎(2)‎ 设,,,‎ 则,.‎ 因为,所以,即.‎ 即线段与的中点纵坐标相同,故中点与中点连线平行于轴.‎ 由平面几何知识知:点在与中点连线上,‎ - 26 -‎ 故.于是,.‎ 设直线的方程为,‎ ‎.‎ ‎,.‎ 所以.‎ 解得:,‎ 故直线的方程为,即.‎ ‎【点睛】本题第一问考查根据抛物线的定义求最值问题,第二问考查根据直线与抛物线的弦长求直线方程,属于难题.‎ ‎22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,为实数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线交于,两点,线段的中点为. ‎ ‎(1)求线段长的最小值; ‎ ‎(2)求点的轨迹方程.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将曲线的方程化成直角坐标方程为,当时,线段取得最小值,利用几何法求弦长即可.‎ ‎(2)当点与点不重合时,设,由利用向量的数量积等于 - 26 -‎ 可求解,最后验证当点与点重合时也满足.‎ ‎【详解】解曲线的方程化成直角坐标方程为 即 圆心,半径,曲线为过定点的直线,‎ 易知在圆内,‎ 当时,‎ 线段长最小为 当点与点不重合时,‎ 设 ‎, ‎ 化简得 当点与点重合时,也满足上式,‎ 故点的轨迹方程为 ‎【点睛】本题考查了极坐标与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、列方程求动点的轨迹方程,属于基础题.‎ ‎23.已知非零实数满足. ‎ ‎(1)求证:; ‎ ‎(2)是否存在实数,使得恒成立?若存在,求出实数的取值范围; 若不存在,请说明理由 ‎【答案】(1)见解析(2)存在,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用作差法即可证出.‎ - 26 -‎ ‎(2)将不等式通分化简可得,讨论或,分离参数,利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 又 即 即 ‎①当时,即恒成立 ‎(当且仅当时取等号),故 ‎②当时恒成立 ‎(当且仅当时取等号),故 综上,‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想,属于基础题.‎ - 26 -‎ - 26 -‎
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