高考数学线性规划常见题型及解法

高考数学线性规划常见题型及解法

高考数学线性规划常见题型及解法 线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简单题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。现就常见题型及解决方法总结如下：‎ 一、求线性目标函数的最值；‎ 例题：(2012年广东文5)已知变量满足条件 ‎，则的最小值为 A.3 B‎.1 C.-5 D.-6‎ 解析:利用线性规划知识求解。可行域如图阴影所示，先画出直线，平移直线,当直线过点A时，的值最小，得 探究提高：本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力，数形结合思想及运算求解能力，难度适中。 ‎ 二、求目标函数的取值范围；‎ 例题：(2012山东文6)设变量满足约束条件则目标函数的取值范围是 ‎ ‎ ‎ 解析：作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直线，并向上、向下平移，由图可得，当直线过点C时，目标函数取得最大值，当直线过点A是，目标函数取得最小值，由;由 ‎，‎ 探究提高：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大（小）值，进一步确定取值范围 三、求约束条件中参数的取值；‎ 例题：(2012福建文10)若直线上存在点满足条件则实数的最大值为 （ ）‎ ‎ ‎ 解析：在同一直角坐标系中函数的图像及，所表示的平面区域图阴影部分所示。由图可知，当时，函数的图像上存在点满足约束条件，故的最大值为1.‎ 探究提高：本题是线性规划的综合应用，解决这类问题的关键是利用树形结合的思想方法，给目标函数赋予一定的几何意义。‎ 四、求线性规划问题的整点问题；‎ 例题：设等轴双曲线的两条渐近线与直线围城的三角形区域(包含边界)为，为内的一个动点，则目标函数的最小值___________.‎ 解析：等轴双曲线的渐近线为和.它们和 共同围城的三角形区域为，即图中阴影部分，由图像可知当直线经过点C时，Z最大，点C的坐标为( 2,2)，此时。‎ 探究提高：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。‎ 五、求可行域的面积；‎ 例题、不等式组表示的平面区域的面积为　　 （　）‎ ‎　　　A、4　B、‎1　‎C、5　D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B 探究提高：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。‎ 六、(2012年咸阳模拟)求非线性目标函数的最值；‎ 例题：实数，满足，（1）若，求的取值围；‎ ‎（2）若，求的最大值与最小值，并求的取值范围.‎ ‎ 解析：由，作出可行域如图中阴影 部分所示 (1)z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在)．而由，得得B(1,2)，‎ 则kOB＝＝2.∴zmax不存在，zmin＝2，‎ ‎∴z的取值范围是[2，＋∞)‎ ‎(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方．‎ 因此x2＋y2的范围最小为|OA|2(取不到)，最大为|OB|2.‎ ‎，得A(0,1)，∴|OA|2＝()2＝1，|OB|2＝()2＝5.‎ ‎∴z的最大值为5，没有最小值．故z的取值范围是(1,5]．‎ 探究提高：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。‎ 七、求线性规划的简单应用；‎ 例题：（2012.江西）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:‎ 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 ‎4吨 ‎1.2万元 ‎0.55万元 韭菜 ‎6吨 ‎0.9万元 ‎0.3万元 总利润为使一年的种植 (总利润=总销售收入-总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为 （ ）‎ A.50，0 B.30，‎20 C.20，30 D.0，50 ‎ 解析 ：设种植黄瓜亩，韭菜亩，则由题意可知，求目标函数的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示。当目标函数向右平移，移至点 处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜20亩时，种植总利润最大。 ‎ 探究提高：解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)解答 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎