广东高考数学理科卷带详解

广东高考数学理科卷带详解

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1.已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )‎ ‎ ‎ ‎ 第1题图 ‎ A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个 ‎【测量目标】集合的表示方法（描述法），集合的并集.‎ ‎【考查方式】给出2个集合，通过并集运算求出集合的元素共有几个.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】由得，则，有2个，选B.‎ ‎2.设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位， ( )‎ A. 8 B. ‎6 ‎‎ ‎‎ C. 4 D. 2‎ ‎【测量目标】复数的基本概念.‎ ‎【考查方式】给出相关信息，求解出满足最小正整数 ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】，则最小正整数为4，选C.‎ ‎3.若函数是函数且的反函数，其图象经过点则 （ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【测量目标】反函数.‎ ‎【考查方式】给出反函数的原函数的方程和其图象经过点，求解出反函数的方程.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】代入解得所以选B.‎ ‎4.已知等比数列满足且则当时， （ ）A. B. C. D. ‎ ‎【测量目标】已知递推关系求通项.‎ ‎【考查方式】给出相关信息，先求出通项，再利用对数函数化简，求解.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】由得（步骤1）‎ 则 选C.（步骤2） ‎ ‎5.给定下列四个命题：‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ 其中，为真命题的是 （ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④‎ ‎【测量目标】平行与垂直关系的综合问题.‎ ‎【考查方式】给出4个命题，通过直线与直线、面，面与面之间的位置关系判断其真假.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】显然 ①和③是假命题，故否定A,B,C,选D.‎ ‎6.一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大小分别为2和4，则的大小为 （ ） ‎ A. 6 B. ‎2 ‎‎ C. D. ‎ ‎【测量目标】余弦定理.‎ ‎【考查方式】给出物理学相关信息，通过余弦定理求解.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】所以，选D.‎ ‎7.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ( ) ‎ A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种 ‎【测量目标】排列组合及其应用..‎ ‎【考查方式】给出相关信息，考查了排列组合的公式.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法若小张、小赵都入选，则有选法共有选法36种，选A. ‎ ‎8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图所示）．那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是 （ ）‎ ‎ ‎ ‎ 第8题图 ‎ A.在时刻，甲车在乙车前面 ‎ B.时刻后，甲车在乙车后面 C.在时刻，两车的位置相同 D.时刻后，乙车在甲车前面 ‎【测量目标】函数图象的应用.‎ ‎【考查方式】给出相关图象，再求解.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】由图象可知，曲线比在与轴所围成图形面积大，则在时刻，甲车均在乙车前面，选A. ‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．‎ ‎（一）必做题（9 ~ 12题）‎ ‎9.随机抽取某产品件，测得其长度分别为则如图所示的程序框图输出的 ，表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）‎ 第9题图 ‎ ‎【测量目标】循环结构的程序框图.‎ ‎【考查方式】给出算法流程图，阅读框图，运行程序，得出结果.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】 平均数 ‎【试题解析】第一次当i=1时,‎ 第二次当i=2时,‎ 最后输出平均数.‎ ‎10.若平面向量满足平行于轴，则 . ‎ ‎【测量目标】向量的坐标运算.‎ ‎【考查方式】考查向量的基本概念及向量的坐标运算.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】或 ‎【试题解析】设，则，依题意，得 ‎ ，（步骤1）‎ 解得或，所以或.（步骤2）‎ ‎11.已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 ．‎ ‎【测量目标】椭圆的标准方程.‎ ‎【考查方式】给出相关信息，通过离心率公式，长短轴间的关系，求解出标准方程.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】则所求椭圆方程为 ‎12.已知离散型随机变量的分布列如右表．若则 ， ．‎ 第12题图 ‎ ‎【测量目标】离散型随机变量的分布列.‎ ‎【考查方式】给出离散型随机变量的分布列，通过公式求解.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】由题知 解得.‎ ‎（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）‎ ‎13．（坐标系与参数方程选做题）若直线（为参数）与直线（为参数）垂直，则 ．‎ ‎【测量目标】坐标系与参数方程.‎ ‎【考查方式】给出两条直线的参数方程，且两条直线垂直，求解.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】直线（为参数）化为普通方程是，‎ 该直线的斜率为，（步骤1）‎ ‎ 直线（为参数）化为普通方程是，‎ 该直线的斜率为，（步骤2）‎ 则由两直线垂直的充要条件，得，（步骤3）‎ ‎14．（不等式选讲选做题）不等式的实数解为 ．‎ ‎【测量目标】解一元二次不等式 ‎【考查方式】给出不等式方程，先求定义域，再把它换成整数不等式求解.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】{|且}‎ ‎【试题解析】‎ ‎ 解得且.所以原不等式的解集为{|且}.‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图，点是圆上的点，且， 则圆的面积等于 ．‎ 第15题图 ‎ ‎【测量目标】几何证明选讲.‎ ‎【考查方式】给出圆上线段长，角度大小，求解圆的面积.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】解法一：连结则（步骤1）‎ 所以为等腰直角三角形，又，（步骤2）‎ 所以，圆的半径，圆的面积等于（步骤3）‎ 解法二：设圆的半径为，在中，由正弦定理，‎ 得，解得，（步骤1）‎ 所以，圆的面积等于.（步骤2）‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分12分）‎ 已知向量与互相垂直，其中．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）若，求的值． ‎ ‎【测量目标】余弦定理.‎ ‎【考查方式】利用两向量垂直公式、诱导公式、余弦定理求解.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】（1）∵ 向量与互相垂直，‎ ‎∴ ，即①，（步骤1）‎ 又 ②‎ ‎① 代入②，整理，得，（步骤2）‎ 由，可知，‎ ‎∴，（步骤3）代入①得.‎ 故， .（步骤4）‎ ‎（2）（步骤5）‎ 则（步骤6）（步骤7）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：‎ ‎ 0~50‎ ‎ 51~100‎ ‎101~150‎ ‎151~200‎ ‎ 201~250‎ ‎ 251~300‎ ‎ >300‎ 级别 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 状况 ‎ 优 ‎ 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 ‎ xy67 ‎ ‎ xy68‎ ‎ ‎ ‎ xy69‎ ‎ ‎ ‎ xy70‎ xy71‎ 对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图所示. ‎ ‎（1）求直方图中的值； ‎ ‎（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；‎ ‎（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.‎ ‎（结果用分数表示．已知 ‎)‎ ‎ ‎ ‎ 第17题图 ‎ ‎【测量目标】频率分布直方图.‎ ‎【考查方式】给出直方图，阅读，从图中找到相关信息，利用公式定理求解.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】（1）因为，在频率分布直方图中，各个小矩形的面积之和等于1，‎ 依题意，得（步骤1）‎ 又 ‎ ‎ 所以 .（步骤2）‎ ‎（2）一年中空气质量为良的天数为 （天）；（步骤3）‎ 一年中空气质量为轻微污染的天数为 （天）；（步骤4）‎ ‎（3）由（2）可知，在一年之中空气质量为良或轻微污染的天数共有119+100=219（天）‎ ‎ 所以，在一年之中的任何一天空气质量为良或轻微污染的概率是，（步骤5）‎ ‎ 设一周中的空气质量为良或轻微污染的天数为ξ，则ξ~B（7，）‎ ‎ ，（k=0,1,2,…,7）（步骤6）‎ 设“该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染”为事件A，则 ‎=‎ ‎ ==.（步骤7）‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点分别是棱的中点．设点分别是点在平面 内的正投影．‎ ‎（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；‎ ‎（2）证明：直线平面；‎ ‎（3）求异面直线所成角的正弦值.‎ 第18题图 ‎ ‎【测量目标】锥的体积、空间直角坐标系.‎ ‎【考查方式】考查了锥的体积、线面垂直的判定、异面直线所成的角，建立空间直角坐标系求解 ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】（1）依题得所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ‎，（步骤1）‎ 又面，，∴.（步骤2）‎ ‎（2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得,，又因为，，，则，，，（步骤3）‎ ‎∴，，‎ 即，，（步骤4）‎ 又，∴平面.（步骤5）‎ 第18(2)题图 ‎ ‎（3），，‎ 则，（步骤6）‎ 设异面直线所成角为，则.（步骤7）‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ 已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．‎ ‎（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程； ‎ ‎（2）若曲线与有公共点，试求的最小值．‎ ‎【测量目标】直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线中的探索性问题.‎ ‎【考查方式】给出了抛物线方程与直线方程，利用公式、定理求解.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】曲线与直线的联立方程组,得,,（步骤1）‎ ‎ 又，所以点的坐标分别为（步骤2）‎ ‎ ∵点是线段的中点 ‎∴点的坐标为（步骤3）‎ ‎∵点是上的任一点，且点与点和点均不重合．‎ ‎∴ ，即，且（步骤4）‎ 设线段的中点为,‎ 则点M的轨迹的参数方程为（为参数，且）；‎ 消去整理，得，且 所以，线段的中点的轨迹方程是，；（步骤5）‎ ‎（２)曲线可化为，‎ 它是以为圆心，以为半径的圆，（步骤6）‎ 设直线与轴相交于点，则点的坐标为；‎ 自点做直线的垂线，交直线于点，‎ 在Rt△EAF中，，所以，‎ ‎∵ ， ‎ ‎ ∴当且圆与直线相切时，圆心必定在线段上，‎ 且切点必定在线段AE上，（步骤7）‎ 于是，此时的的值就是所求的最小值.‎ 当圆与直线相切时 ，‎ ‎ 解得，或者（舍去）‎ 所以，使曲线与平面区域有公共点的的最小值是．（步骤8）‎ 第19(2)题图 ‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知二次函数的导函数的图象与直线平行，且在处取得极小值．设．‎ ‎（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；‎ ‎（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点． ‎ ‎【测量目标】函数零点的应用.‎ ‎【考查方式】利用导数求函数的极值、两点间距离公式、函数零点的判断等求解.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】设二次函数的解析式为 ‎ 则它的导函数为，（步骤1）‎ ‎∵函数的图象与直线平行，‎ ‎∴ ，解得,‎ 所以，（步骤2）‎ ‎∵在处取得极小值 ‎∴，即，解得.‎ 所以，=（）（步骤3）‎ ‎（1）设点（，）为曲线上的任意一点 ‎ 则点到点的距离为（步骤4）‎ ‎ 由基本不等式定理可知，‎ ‎ 当且仅当时，等号成立，此时=（步骤5）‎ ‎ 又已知点到点的距离的最小值为，所以令 ‎ 两边平方整理， 得 ‎ 当时，，解得 ‎ 当时，，解得 ‎ 所以的值为或者；（步骤6）‎ ‎（2）函数令=（）‎ 令，即（），‎ 整理，得（），①（步骤7）‎ 函数存在零点，等价于方程①有非零实数根，‎ 由可知，方程①不可能有零根，‎ 当时，方程①变为，解得，方程①有唯一实数根，‎ ‎ 此时， 函数存在唯一的零点；（步骤8）‎ 当时，方程①根的判别式为，‎ ‎ 令=0，解得，‎ 方程①有两个相等的实数根，（步骤9）‎ ‎ 此时，函数存在唯一的零点；‎ 令，得,‎ 当时，解得，‎ 当时，解得，‎ 以上两种情况下，方程①都有两个不相等的实数根 ‎，‎ ‎ 此时， 函数存在两个零点 ‎，（步骤10）‎ 综上所述，函数存在零点的情况可概括为 当时，函数存在唯一的零点；‎ 当时，函数存在唯一的零点；‎ 当且，或者且时，函数存在两个零点 ‎，.（步骤11）‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知曲线,从点向曲线引斜率为的切线，切点为．‎ ‎（１）求数列的通项公式；‎ ‎（２）证明：‎ ‎【测量目标】数列的实际应用，间接证明.‎ ‎【考查方式】利用圆锥曲线性质求通项公式，放缩法等求解.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】曲线可化为，‎ ‎ 所以，它表示以为圆心，以为半径的圆，‎ ‎ 切线的方程为，‎ ‎ 联立，消去整理，得 ，①（步骤1）‎ ‎ ，‎ ‎ 令，解得， （步骤2）‎ ‎ 此时，方程①化为 ‎ 整理，得，解得，（步骤3）‎ ‎ 所以 ‎∴数列的通项公式为 数列的通项公式为.（步骤4）‎ ‎（２）证明：∵，‎ ‎ ‎ ‎ ==（步骤5）‎ ‎ ∵=，又因为 ‎ 令，则，‎ ‎ 要证明，只需证明当时，恒成立即可. （步骤6）‎ ‎ 设函数，‎ ‎ 则，（步骤7）‎ ‎ ∵在区间上为增函数，‎ ‎∴当时，，（步骤8）‎ ‎ ∴在区间上为单调递减函数，‎ ‎∴ 对于一切恒成立，（步骤9） ‎ ‎∴ ，即=‎ 综上，得（步骤10）‎