2020秋新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1

2020秋新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1

第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 　充分条件与必要条件 1.4.1 　充分条件与必要条件 [ 学习目标 ] 　 1. 通过对典型数学命题的梳理 , 理解充分条件的意义 , 理解判定定理与充分条件的关系 . 2. 通过对典型数学命题的梳理 , 理解必要条件的意义 , 理解性质定理与必要条件的关系 . 3. 能初步使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流 , 提升逻辑推理素养 . 一、充分条件与必要条件 [ 知识梳理 ] 1 . 命题及其相关概念 (1) 命题 : 一般地 , 把用语言、符号或式子表达的 , 可以 叫做 命题 . (2) 真命题 : 的 语句是真命题 . (3) 假命题 : 的 语句是假命题 . 判断真假的 陈述句 判断为真 判断为假 2 . 充分条件与必要条件的概念 若 p , 则 q 为真命题 　　　 ↓ 　　　 p ⇒ q 　　　 ↓ p 是 q 的 , q 是 p 的 . 充分条件 必要条件 提示 : 不唯一 , 如 x >1, x >6 都是 x >0 的充分条件 ; x >0, x >1 都是 x >6 的必要条件 . 提示 : 如果 q 不成立 , 那么 p 一定不成立 . 如 x >1 是 x >6 的必要条件 , 若 x ≤1, 则 x >6 一定不会成立 . 提示 : p ⇒ q 说明命题 “ 若 p , 则 q ” 为真 , 即如果 p 成立 , 那么 q 一定成立 , 如果 “ 若 p , 则 q ” 为假 , 那么应记作 “ p ⇏ q ” . [ 基础测试 ] 判断 . ( 正确的画“√” , 错误的画“ × ” ) (1) “ x >0 ”是“ x >1 ”的充分条件 . ( 　　 ) ( 2) 若 x 2 =36, 则 x =6 . ( 　　 ) ( 3) “ x >1 ”是“ x >0 ”的充分条件 . ( 　　 ) ( 4) 若 x ≠ 0, 则 xy ≠ 0 . ( 　　 ) 答案 : × 答案 : × 答案 : √ 答案 : × 解析 : 由“ A ={0} ”可推出“ A ∩ {0,1}={0} ” , 由“ A ∩ {0,1}={0} ”不能推出“ A ={0} ” . 故“ A ∩ {0,1}={0} ”是“ A ={0} ”的必要不充分条件 必要不充分 解 : (1) 由 a <1 不一定能得到 >1( 如 a =-1); 但当 >1 时 , 有 0< a <1, 从而一定能推出 a <1, 所以 p 是 q 的必要不充分条件 . (2) 解不等式 x ( x +1)>0 可得 x >0 或 x <-1, 所以由 “ x >0” 能推出 “ x >0 或 x <-1”; 由 “ x >0 或 x <-1” 不能推出 “ x >0”, 所以 p 是 q 的充分不必要条件 . 解析 : p :-2≤ x ≤10, q :1- m ≤ x ≤1+ m ( m >0) . 设 p 对应的不等式的解集为 A , q 对应的不等式的解集为 B. 因为 p 是 q 的充分不必要条件 , 所以 A ⫋ B. 所以 或 解得 m ≥9, 即实数 m 的取值范围是 m ≥9 . m ≥9 解析 : p : x 2 + x -6=0, 即 x =2 或 x =-3 . q : ax +1=0, 当 a =0 时 , 方程无解 ; 当 a ≠0 时 , x =- . 由题意 , 知 p ⇒ /q , 且 q ⇒ p , 故 a =0 舍去 ; 当 a ≠0 时 , 应有 - =2 或 - =-3, 解得 a =- 或 a = . 综上可知 , a =- 或 a = . - 或 解析 : 设 q , p 对应的不等式的解集为集合 A , B , 则 A = { x |2< x <3}, B ={ x | a -4< x < a +4} . 因为 q 是 p 的充分不必要条件 , 所以 A ⫋ B , 即 或 解得 -1≤ a ≤6 . -1≤ a ≤6