2015高考数学(理)(基本不等式及其应用)一轮复习学案

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2015高考数学(理)(基本不等式及其应用)一轮复习学案

学案 36 基本不等式及其应用 导学目标: 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问 题. 自主梳理 1.基本不等式 ab≤a+b 2 (1)基本不等式成立的条件:____________. (2)等号成立的条件:当且仅当________时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥________ (a,b∈R). (2)b a +a b ≥____(a,b 同号). (3)ab≤ a+b 2 2 (a,b∈R). (4) a+b 2 2____a2+b2 2 . 3.算术平均数与几何平均数 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为________,几何平均数为________,基本不等式 可叙述为:________________________________________________. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当________时,x+y 有最____值是________(简记: 积定和最小). (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当________时,xy 有最____值是__________(简记: 和定积最大). 自我检测 1.“a>b>0”是“ab0 , x x2+3x+1 ≤a 恒 成 立 , 则 a 的 取 值 范 围 为 ________________. 探究点一 利用基本不等式求最值 例 1 (1)已知 x>0,y>0,且1 x +9 y =1,求 x+y 的最小值; (2)已知 x<5 4 ,求函数 y=4x-2+ 1 4x-5 的最大值; (3)若 x,y∈(0,+∞)且 2x+8y-xy=0,求 x+y 的最小值. 变式迁移 1 (2011·重庆)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y=1 a +4 b 的最小值是( ) A.7 2 B.4 C.9 2 D.5 探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用 例 2 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:(1+1 a)(1+1 b)≥9. 变式迁移 2 已知 x>0,y>0,z>0. 求证: y x +z x x y +z y x z +y z ≥8. 探究点三 基本不等式的实际应用 例 3 (2011·镇江模拟)某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至 少 10 层,每层 2 000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平 均建筑费用为 560+48x(单位:元). (1)写出楼房平均综合费用 y 关于建造层数 x 的函数关系式; (2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用 建筑总面积) 变式迁移 3 (2011·广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在 2012 年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量 x 万件与年促销费 t 万元之间满足 3-x 与 t+1 成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销 量只能是 1 万件,已知 2012 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元,每生产 1 万件化妆品需再投入 32 万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150% 与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完. (1)将 2012 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数. (2)该企业 2012 年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? (注:利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用) 1.a2+b2≥2ab 对 a、b∈R 都成立;a+b 2 ≥ ab成立的条件是 a,b∈R+;b a +a b ≥2 成立 的条件是 ab>0,即 a,b 同号. 2.利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件,并且和为定值时, 积有最大值,积为定值时,和有最小值. 3.使用基本不等式求最值时,若等号不成立,应改用单调性法.一般地函数 y=ax+b x , 当 a>0,b<0 时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数;当 a<0,b>0 时,函数在(- ∞,0),(0,+∞)上是减函数;当 a>0,b>0 时函数在 - b a ,0 , 0, b a 上是减 函数,在 -∞,- b a , b a ,+∞ 上是增函数;当 a<0,b<0 时,可作如下变形: y=- -ax+ -b x 来解决最值问题. (满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则1 a +1 b 的最小值为( ) A.8 B.4 C.1 D.1 4 2.(2011·鞍山月考)已知不等式(x+y) 1 x +a y ≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 3.已知 a>0,b>0,则1 a +1 b +2 ab的最小值是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.5 4.一批货物随 17 列货车从 A 市以 a km/h 的速度匀速直达 B 市,已知两地铁路线长 400 km,为了安全,两列车之间的距离不得小于 a 20 2 km,那么这批货物全部运到 B 市,最快 需要( ) A.6 h B.8 h C.10 h D.12 h 5.(2011·宁波月考)设 x,y 满足约束条件 3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0,y≥0 ,若目标函数 z=ax+by (a>0, b>0)的最大值为 12,则2 a +3 b 的最小值为( ) A.25 6 B.8 3 C.11 3 D.4 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2010·浙江)若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是________. 7.(2011·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)=2 x 的图象 交于 P,Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________. 8.已知 f(x)=32x -(k+1)3x +2,当 x∈R 时,f(x)恒为正值,则 k 的取值范围为 __________________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(1)已知 00). (1)在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最大?最大车流量为多少? (2)为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围 内? 11.(14 分)某加工厂需定期购买原材料,已知每千克原材料的价格为 1.5 元,每次购买 原材料需支付运费 600 元,每千克原材料每天的保管费用为 0.03 元,该厂每天需要消耗原 材料 400 千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有 400 千克不需要保管). (1)设该厂每 x 天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用 y1 关于 x 的函数关系式; (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y 最小,并求出这个最 小值. 学案 36 基本不等式及其应用 自主梳理 1.(1)a>0,b>0 (2)a=b 2.(1)2ab (2)2 (4)≤ 3.a+b 2 ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4.(1)x=y 小 2 p (2)x=y 大 p2 4 自我检测 1.A 2.A 3.C 4.大 -2 2-1 5.[1 5 ,+∞) 课堂活动区 例 1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化,使用基本不等式求 最值时,给定的形式不一定能直接适合基本不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑 和或积为定值的形式),构造出基本不等式的形式再进行求解.基本不等式成立的条件是“一 正、二定、三相等”,“三相等”就是必须验证等号成立的条件. 解 (1)∵x>0,y>0,1 x +9 y =1, ∴x+y=(x+y) 1 x +9 y =y x +9x y +10≥6+10=16. 当且仅当y x =9x y 时,上式等号成立,又1 x +9 y =1, ∴x=4,y=12 时,(x+y)min=16. (2)∵x<5 4 ,∴5-4x>0. y=4x-2+ 1 4x-5 =- 5-4x+ 1 5-4x +3 ≤-2 5-4x· 1 5-4x +3=1, 当且仅当 5-4x= 1 5-4x , 即 x=1 时,上式等号成立,故当 x=1 时,ymax=1. (3)由 2x+8y-xy=0,得 2x+8y=xy, ∴2 y +8 x =1. ∴x+y=(x+y) 8 x +2 y =10+8y x +2x y =10+2 4y x +x y ≥10+2×2× 4y x ·x y =18, 当且仅当4y x =x y ,即 x=2y 时取等号. 又 2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6. ∴当 x=12,y=6 时,x+y 取最小值 18. 变式迁移 1 C [∵a+b=2,∴a+b 2 =1. ∴1 a +4 b =(1 a +4 b)(a+b 2 )=5 2 +(2a b + b 2a)≥5 2 +2 2a b · b 2a =9 2(当且仅当2a b = b 2a ,即 b=2a 时, “=”成立),故 y=1 a +4 b 的最小值为9 2.] 例 2 解题导引 “1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到,也会给解决问题提供简捷 的方法. 在不等式证明时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转化是否 有误的一种方法. 证明 方法一 因为 a>0,b>0,a+b=1, 所以 1+1 a =1+a+b a =2+b a. 同理 1+1 b =2+a b. 所以(1+1 a)(1+1 b)=(2+b a)(2+a b) =5+2(b a +a b)≥5+4=9. 所以(1+1 a)(1+1 b)≥9(当且仅当 a=b=1 2 时等号成立). 方法二 (1+1 a)(1+1 b)=1+1 a +1 b + 1 ab =1+a+b ab + 1 ab =1+ 2 ab , 因为 a,b 为正数,a+b=1, 所以 ab≤(a+b 2 )2=1 4 ,于是 1 ab ≥4, 2 ab ≥8, 因此(1+1 a)(1+1 b)≥1+8=9(当且仅当 a=b=1 2 时等号成立). 变式迁移 2 证明 ∵x>0,y>0,z>0, ∴y x +z x ≥2 yz x >0, x y +z y ≥2 xz y >0, x z +y z ≥2 xy z >0. ∴ y x +z x x y +z y x z +y z ≥8 yz· xz· xy xyz =8. 当且仅当 x=y=z 时等号成立. 所以(y x +z x)(x y +z y)(x z +y z)≥8. 例 3 解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为: 由题设写 出函数 → 变形 转化 → 利用基本 不等式 → 求得 最值 → 结论 2.在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点:(1)先理解题意,设变量,一 般把要求最值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数最值问 题;(3)在定义域内求函数最值;(4)正确写出答案. 解 (1)依题意得 y=(560+48x)+2 160×10 000 2 000x =560+48x+10 800 x (x≥10,x∈N*). (2)∵x>0,∴48x+10 800 x ≥2 48×10 800=1 440, 当且仅当 48x=10 800 x ,即 x=15 时取到“=”, 此时,平均综合费用的最小值为 560+1 440=2 000(元). 答 当该楼房建造 15 层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为 2 000 元. 变式迁移 3 解 (1)由题意可设 3-x= k t+1 , 将 t=0,x=1 代入,得 k=2.∴x=3- 2 t+1 . 当年生产 x 万件时, ∵年生产成本=年生产费用+固定费用, ∴年生产成本为 32x+3=32 3- 2 t+1 +3. 当销售 x(万件)时,年销售收入为 150% 32 3- 2 t+1 +3 +1 2t. 由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费, 得年利润 y=-t2+98t+35 2t+1 (t≥0). (2)y=-t2+98t+35 2t+1 =50- t+1 2 + 32 t+1 ≤50-2 t+1 2 × 32 t+1 =50-2 16=42(万元), 当且仅当t+1 2 = 32 t+1 ,即 t=7 时,ymax=42, ∴当促销费投入 7 万元时,企业的年利润最大. 课后练习区 1.B [因为 3a·3b=3,所以 a+b=1, 1 a +1 b =(a+b) 1 a +1 b =2+b a +a b ≥2+2 b a·a b =4,当且仅当b a =a b 即 a=b=1 2 时,“=”成立.] 2.B [不等式(x+y) 1 x +a y ≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则 1+a+y x +ax y ≥a+2 a+ 1≥9, ∴ a≥2 或 a≤-4(舍去). ∴正实数 a 的最小值为 4.] 3.C [因为1 a +1 b +2 ab≥2 1 ab +2 ab =2 1 ab + ab ≥4,当且仅当1 a =1 b 且 1 ab = ab, 即 a=b=1 时,取“=”号.] 4.B [第一列货车到达 B 市的时间为400 a h,由于两列货车的间距不得小于 a 20 2 km, 所以第 17 列货车到达时间为400 a +16· a 20 2 a =400 a +16a 400 ≥8,当且仅当400 a =16a 400 ,即 a=100 km/h 时成立,所以最快需要 8 h.] 5.A 6.18 解析 由 x>0,y>0,2x+y+6=xy,得 xy≥2 2xy+6(当且仅当 2x=y 时,取“=”), 即( xy)2-2 2 xy-6≥0, ∴( xy-3 2)·( xy+ 2)≥0. 又∵ xy>0,∴ xy≥3 2,即 xy≥18. 故 xy 的最小值为 18. 7.4 解析 过原点的直线与 f(x)=2 x 交于 P、Q 两点,则直线的斜率 k>0,设直线方程为 y= kx,由 y=kx, y=2 x , 得 x= 2 k , y= 2k 或 x=- 2 k , y=- 2k, ∴P( 2 k , 2k),Q(- 2 k ,- 2k)或 P(- 2 k ,- 2k),Q( 2 k , 2k). ∴|PQ|=  2 k + 2 k 2+ 2k+ 2k2 =2 2 k+1 k ≥4. 8.(-∞,2 2-1) 解析 由 f(x)>0 得 32x-(k+1)·3x+2>0,解得 k+1<3x+2 3x ,而 3x+2 3x ≥2 2,∴k+1<2 2, k<2 2-1. 9.解 (1)∵0
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