广东省佛山市南海区2020届高三下学期3月综合能力测试数学（文）试题 Word版含解析

广东省佛山市南海区2020届高三下学期3月综合能力测试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 南海区2020届高三年级综合能力测试 文科数学 本试卷4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷的规定位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.‎ ‎2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置.上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.‎ ‎4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集为，集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的交集与补集的定义求解即可．‎ ‎【详解】解：∵，集合，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集与补集运算，属于基础题．‎ ‎2.复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ）‎ - 23 -‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,则,可得,即可得到,进而找到对应的点所在象限.‎ ‎【详解】设,则,‎ ‎,‎ 所以复数在复平面内所对应的点为,在第二象限.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.‎ ‎3.下列函数中，既是偶函数又在区间上是减函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数和减函数的定义对选项一一判断即可得出答案．‎ ‎【详解】解：A，是偶函数，但在上是增函数，故A错；‎ B，是偶函数，在上是减函数，故B对；‎ C，是偶函数，但在上是增函数，故C错；‎ D，偶函数，但在上是增函数，故D错；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查偶函数与减函数的定义及判断，属于基础题．‎ ‎4.抛物线的准线与轴交点为，过点与抛物线相切的直线方程为（ ）‎ - 23 -‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出点的坐标，设切点坐标为，利用导数求切线方程．‎ ‎【详解】解：由题意，抛物线的准线为，则，‎ 由得，求导得，‎ 设切点坐标为，则，解得，‎ ‎∴切线斜率为，‎ ‎∴切线方程为，即或，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查过点的曲线的切线方程，属于基础题．‎ ‎5.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ - 23 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断的奇偶性,即可排除B,C；再由,即可排除D.‎ ‎【详解】由题,显然定义域为,设,则,所以函数是奇函数,其图象关于原点对称,排除B,C；且当时,,排除D,‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查图象的识别,考查函数奇偶性的应用,属于基础题.‎ ‎6.已知数列的前项和（，），则“”是“数列为等比数列”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得：，结合等比数列定义即可得到结果 ‎【详解】解：∵，‎ 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（）﹣（）＝，‎ ‎∴ ‎ 又，‎ ‎∴当n≥2时，数列为等比数列，‎ 要使数列为等比数列，则 ‎ 即 ，∴；‎ - 23 -‎ 反之，显然，又，‎ ‎∴数列等比数列，‎ ‎∴“”是“数列为等比数列”的充要条件 故选C ‎【点睛】本小题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断、等比数列等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．‎ ‎7.音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数构成乐音的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项.‎ ‎【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波,‎ 由,可知若,则必有,‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.‎ ‎8.把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．给出以下四个命题 ‎①的一个周期为；②的值域为；‎ - 23 -‎ ‎③的一条对称轴是；④的一个对称中心是 其中正确的命题个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据降幂公式化简函数，再得到函数的解析式，再根据三角函数的性质判断各命题．‎ ‎【详解】解：由题意得，则，‎ ‎∴函数的最小正周期，则它的周期为，①对；‎ ‎∵，∴的值域为，②对；‎ 由得函数的对称轴是，③对；‎ 由得函数的对称中心是，④对；‎ ‎∴正确的命题有4个，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．‎ ‎9.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）‎ - 23 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解.‎ ‎【详解】由题,窗花的面积为,其中小正方形的面积为,‎ 所以所求概率,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.‎ ‎10.已知三棱锥且平面，其外接球体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.‎ ‎【详解】由题,因为,所以,‎ 设,则由,可得,解得,‎ 可将三棱锥还原成如图所示的长方体,‎ - 23 -‎ 则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,‎ 所以外接球的体积.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.‎ ‎11.若的解集非空且最多有3个正整数根，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，令，利用导数研究其单调性与最值，由此可得出结论．‎ ‎【详解】解：由得，‎ 令，则，‎ 由得，‎ - 23 -‎ ‎∴函数在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴函数在处取得极小值，‎ 又，‎ ‎∵的解集非空且最多有3个正整数根，‎ ‎∴，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎12.已知双曲线的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得；由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解.‎ ‎【详解】,所以离心率,‎ 又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有,‎ 而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即,‎ - 23 -‎ 所以,所以双曲线的离心率的取值范围是.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.已知向量，，且满足，则__________.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，代入坐标进行计算即可．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴，‎ 又，，‎ ‎∴，即，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，属于基础题．‎ ‎14.在中，，，，则__________.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据内角和求出，再利用正弦定理求解即可．‎ - 23 -‎ ‎【详解】解：∵，∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 由正弦定理得，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题．‎ ‎15.在棱长为1的正方体中，点是底面内的动点，，则动点的轨迹的面积为__________，动线段的轨迹所形成几何体的体积是__________.‎ ‎ ‎ ‎【答案】 (1). (2). ；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得点的轨迹是以为圆心，1为半径的个圆和圆的内部，再根据扇形的面积公式以及圆锥的体积公式求解即可．‎ ‎【详解】解：∵，∴，‎ 即点的轨迹是以为圆心，1为半径的个圆和圆的内部，‎ - 23 -‎ ‎∴的轨迹的面积为，‎ 的轨迹所形成几何体为个圆锥，其体积为，‎ 故答案为：；．‎ ‎【点睛】本题主要考查扇形的面积公式与圆锥的体积公式，属于基础题．‎ ‎16.点在曲线：上，过作轴垂线，设与曲线交于点，若，且点的纵坐标始终为0，则称点为曲线上的“水平黄金点”，则曲线上的“水平黄金点”的个数为__________.‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，得，得，令，利用导数得单调性与最值，从而得出结论．‎ ‎【详解】解：设，则直线的方程为，由题意得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 令，则，‎ 由得，‎ ‎∴函数在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴函数在处取得最小值，且，‎ ‎∴函数有两个零点，则曲线上的“水平黄金点”的个数为2，‎ - 23 -‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的的单调性与最值，属于难题．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题（60分）‎ ‎17.已知数列满足，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用累加法可求得答案；‎ ‎（2）由（1）可知，利用放缩，再根据裂项相消法即可得出证明．‎ ‎【详解】（1）解：因为，‎ 所以 因为，‎ 所以；‎ ‎（2）证明：由（1）可知.‎ 因为，‎ 所以．‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，属于中档题．‎ ‎18.在四棱锥中，，，，，平面平面.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）在棱上是否存在点，使平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）不存在；详见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）取中点为，连接，可得，再由平面平面可得，则，由此可得结论；‎ ‎（2）任取上一点，连接，过作直线平行于交于，连接，则，假设平面，可得与已知矛盾，由此得出结论．‎ ‎【详解】（1）证：取中点为，连接，‎ ‎ ‎ - 23 -‎ 因为，所以，‎ 因为平面平面且相交于，‎ 所以平面，所以，‎ 因为，所以，‎ 因为在平面内，所以，‎ 所以；‎ ‎（2）不存在.理由如下：‎ 任取上一点，连接，‎ 过作直线平行于交于，连接，则.‎ 假设平面，‎ 所以，‎ 因为，所以四边形为平行四边形.‎ 所以与已知矛盾.‎ 所以棱上不存在点，使平面．‎ ‎【点睛】本题主要考查面面垂直的判定与性质，考查线面平行的判定与性质，属于中档题．‎ ‎19.为了调查“双11”消费活动情况，某校统计小组分别走访了、两个小区各20户家庭，他们当日的消费额按，，，，，，分组，分别用频率分布直方图与茎叶图统计如下（单位：元）：‎ - 23 -‎ ‎（1）分别计算两个小区这20户家庭当日消费额在的频率，并补全频率分布直方图；‎ ‎（2）分别从两个小区随机选取1户家庭，求这两户家庭当日消费额在的户数为1时的概率（频率当作概率使用）；‎ ‎（3）运用所学统计知识分析比较两个小区的当日网购消费水平.‎ ‎【答案】（1）频率为；作图见解析（2）（3）A小区当日网购的平均消费水平比B小区高，且消费水平的分化程度比B小区小 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用频率之和为1以及频率的计算公式即可求得答案；‎ - 23 -‎ ‎（2）由题意可知，当日消费额均在的概率分别为，，再根据条件概率的计算公式求解即可；‎ ‎（3）利用平均消费水平比较即可．‎ ‎【详解】解：（1）A小区这20户家庭当日消费额在的频率为，‎ B小区这20户家庭当日消费额在的频率为，‎ 补全频率分布直方图如下 ‎（2）由题意可知，分别从两个小区随机选取1户家庭，‎ 当日消费额均在的概率分别为，，‎ 分别从两个小区随机选取1户家庭，这两户家庭当日消费额均在的户数为为事件，则；‎ ‎（3）A小区当日网购的平均消费水平比B小区高，且消费水平的分化程度比B小区小．‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图与茎叶图的应用，属于基础题．‎ ‎20.已知椭圆经过点，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）经过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，点与点关于坐标原点对称．连接．求证：存在实数，使得成立．‎ - 23 -‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由点可得,由,根据即可求解；‎ ‎（2）设直线的方程为,联立可得,设,由韦达定理可得,再根据直线的斜率公式求得；由点B与点Q关于原点对称,可设,可求得,则,即可求证.‎ ‎【详解】解:（1）由题意可知,,‎ 又,得,‎ 所以椭圆的方程为 ‎（2）证明:设直线的方程为，‎ 联立,可得,‎ 设,‎ 则有,‎ 因为,‎ 所以,‎ 又因为点B与点Q关于原点对称,所以,即,‎ - 23 -‎ 则有,由点在椭圆上,得,所以,‎ 所以,即，‎ 所以存在实数,使成立 ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线的斜率公式的应用,考查运算能力.‎ ‎21.已知 ‎（1）当时，判断函数的单调性；‎ ‎（2）记，若存在实数，使直线与函数的图象交于不同的两点，求证：.‎ ‎【答案】（1）在递增（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，利用二阶导可得，由此可得答案；‎ ‎（2）由题意得存在且使，即，结合条件得，令，利用导数可得，由此得，从而求得答案．‎ ‎【详解】（1）解：当时，，‎ ‎∴，‎ - 23 -‎ 所以在递增，‎ 所以，‎ 所以在递增；‎ ‎（2）证：，‎ 存在实数，使直线与函数的图象交于不同的两点，‎ 即存在且使，‎ 由可得：，‎ 因为，‎ 由（1）可知，可得：，‎ 所以，‎ 令，则，‎ 所以在上单调递增，所以，‎ 所以，‎ 则，‎ 所以，‎ 可得，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与能成立问题，考查转化与化归思想，属于难题．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ - 23 -‎ ‎22.已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）点是曲线上的一点，试判断点与曲线的位置关系．‎ ‎【答案】（1）（2）点在曲线外．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先消参化曲线的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程；‎ ‎（2）由点是曲线上的一点,利用的范围判断的范围,即可判断位置关系.‎ ‎【详解】（1）由曲线的参数方程为可得曲线的普通方程为,则曲线的极坐标方程为,即 ‎（2）由题,点是曲线上的一点,‎ 因为,所以,即,‎ 所以点在曲线外.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查点与圆的位置关系.‎ ‎23.已知，且．‎ ‎（1）请给出的一组值，使得成立；‎ ‎（2）证明不等式恒成立．‎ ‎【答案】（1）（答案不唯一）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ ‎（1）找到一组符合条件的值即可；‎ ‎（2）由可得,整理可得,两边同除可得,再由可得,两边同时加可得,即可得证.‎ ‎【详解】解析:（1）（答案不唯一）‎ ‎（2）证明:由题意可知,,因为,所以.‎ 所以,即.‎ 因为,所以,‎ 因为,所以,‎ 所以.‎ ‎【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.‎ - 23 -‎ - 23 -‎