全国中考数学压轴题精选精析最全

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‎2009年全国中考数学压轴题精选精析（四）‎ ‎37.（09年黑龙江牡丹江）28．（本小题满分8分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且 ‎ （1）求的值．‎ ‎ （2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？‎ x y A D B O C ‎28题图 ‎ （3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（09年黑龙江牡丹江28题解析）解：（1）解得 ‎ ‎ ‎ 1分 在中，由勾股定理有 ‎ 1分 ‎（2）∵点在轴上，‎ ‎ 1分 由已知可知D（6，4）‎ 设当时有 解得 ‎ 1分 同理时， 1分 在中，‎ 在中，‎ ‎ 1分 ‎（3）满足条件的点有四个 ‎ 4分 说明：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，可参照本评分标准酌情给分.‎ ‎38.（09年黑龙江齐齐哈尔）28．（本小题满分10分）‎ 直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．‎ ‎（1）直接写出两点的坐标；‎ ‎（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；‎ x A O Q P B y ‎（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．‎ ‎（09年黑龙江齐齐哈尔28题解析）（1）A（8，0）B（0，6） 1分 ‎（2）‎ 点由到的时间是（秒）‎ 点的速度是（单位/秒） 1分 当在线段上运动（或0）时，‎ ‎ 1分 当在线段上运动（或）时，,‎ 如图，作于点，由，得， 1分 ‎ 1分 ‎（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）‎ ‎（3） 1分 ‎ 3分 注：本卷中各题，若有其它正确的解法，可酌情给分．‎ ‎39.（09年黑龙江绥化）28．(本小题满分lO分)‎ ‎（09年黑龙江绥化28题解析）‎ ‎40.（09年湖北鄂州）27．如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO ‎(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由 ‎(2)令，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由 ‎(3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝，Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.‎ ‎ (4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。‎ ‎（09年湖北鄂州27题解析）（1）EO＞EC，理由如下：‎ 由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC， 故EO＞EC …2分 ‎（2）m为定值 ‎∵S四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)‎ S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO ‎∴ ……………………………………………………4分 ‎（3）∵CO=1， ∴EF=EO=‎ ‎∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°，‎ ‎∴‎ ‎∴△EFQ为等边三角形， …………………………………………5分 作QI⊥EO于I，EI=，IQ=‎ ‎∴IO= ∴Q点坐标为 ……………………………………6分 ‎∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)， Q ，m=1‎ ‎∴可求得，c=1‎ ‎∴抛物线解析式为 ……………………………………7分 ‎（4）由（3），‎ 当时，＜AB ‎∴P点坐标为 …………………8分 ‎∴BP=AO 方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：‎ ‎①时，∴K点坐标为或 ‎②时， ∴K点坐标为或…………10分 故直线KP与y轴交点T的坐标为 ‎ …………………………………………12分 方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°‎ ‎①当∠RTP=30°时，‎ ‎②当∠RTP=60°时，‎ ‎∴ ……………………………12分 ‎41.（09年湖北恩施州）24.如图，在中，∠°，, 的面积为，点为边上的任意一点(不与、重合)，过点作∥，交于点．设以为折线将△翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为y.‎ ‎（1）．用x表示∆ADE的面积;‎ ‎（2）．求出﹤≤时y与x的函数关系式；‎ ‎（3）．求出﹤﹤时y与x的函数关系式；‎ ‎（4）．当取何值时，的值最大？最大值是多少？‎ ‎（09年湖北恩施州24题解析）解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ‎ ‎ ∴△ADE∽△ABC ∴‎ 即 3分 ‎(2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5‎ ‎∴当0﹤ 时 6分 ‎（3）﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形 ‎∵S△A'DE=S△ADE=‎ ‎ ∴DE边上的高AH=AH'=‎ 由已知求得AF=5‎ ‎∴A'F=AA'-AF=x-5‎ 由△A'MN∽△A'DE知 ‎∴ 9分 ‎（4）在函数中 ‎∵0﹤x≤5‎ ‎∴当x=5时y最大为： 10分 ‎ 在函数中 当时y最大为： 11分 ‎∵﹤‎ ‎∴当时，y最大为： 12分 ‎42.（09年湖北黄冈）20．(满分14分)如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与x轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)‎ ‎(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;‎ ‎(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;‎ ‎(3)当0＜t＜时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;‎ ‎(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程．‎ ‎（09年湖北黄冈20题解析）解：（1），令得，‎ ‎∴或∴；………………………1′‎ 在中，令得即；………………2′‎ 由于BC∥OA，故点C的纵坐标为－10，由得或 即且易求出顶点坐标为……………………………………3′‎ 于是，，顶点坐标为。…………………4′‎ ‎（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA。故只要QC=PA即可，而故得；……………………7′‎ ‎（3）设点P运动秒，则，，说明P在线段OA上，且不与点OA、重合，‎ 由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故 ‎∴∴…………………9′‎ 又点Q到直线PF的距离，∴，‎ 于是△PQF的面积总为90。…………………………10′‎ ‎（4）由上知，，。构造直角三角形后易得 ‎，‎ ① 若FP=PQ，即，故，‎ ‎∵∴∴……………………11′‎ ② 若QP=QF，即，无的满足条件；……………12′‎ ① 若PQ=PF，即，得，∴或都不满足，故无的满足方程；………………………13′‎ 综上所述：当时，△PQR是等腰三角形。…………………………14′‎ ‎43.（09年湖北黄石）25．（本小题满分10分）‎ 正方形在如图所示的平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴的负半轴上，交轴正半轴于交轴负半轴于，，抛物线过三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；（3分）‎ ‎（2）是抛物线上间的一点，过点作平行于轴的直线交边于，交所在直线于，若，则判断四边形的形状；（3分）‎ ‎（3）在射线上是否存在动点，在射线上是否存在动点，使得且，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．（4分）‎ ‎（第25题图）‎ O y x B E A D C F ‎（09年湖北黄石25题解析）解：（1）依条件有，．‎ O y x B E A D C F N M Q 由知．‎ ‎∴由得．‎ ‎∴．‎ 将的坐标代入抛物线方程，‎ 得．‎ ‎∴抛物线的解析式为． 3分 ‎（2）设，，．‎ ‎∴‎ 设，则 ‎∴，（舍去）‎ 此时点与点重合，，，，‎ 则为等腰梯形． 3分 ‎（3）在射线上存在一点，在射线上存在一点．‎ 使得，且成立，证明如下：‎ 当点如图①所示位置时，不妨设，过点作，，，垂足分别为．‎ H N A D C B M P ‎③‎ 若．由得：‎ B A D M C Q H P ‎②‎ N B A N D M C Q H P ‎①‎ ‎，‎ ‎．‎ 又 ‎． 2分 当点在如图②所示位置时，‎ 过点作，，‎ 垂足分别为．‎ 同理可证．‎ ‎．‎ 又，‎ ‎，‎ ‎． 1分 当在如图③所示位置时，过点作，垂足为，延长线，垂足为．‎ 同理可证．‎ ‎． 1分 注意：分三种情况讨论，作图正确并给出一种情况证明正确的，同理可证出其他两种情况的给予4分；若只给出一种正确证明，其他两种情况未作出说明，可给2分，若用四点共圆知识证明且证明过程正确的也没有讨论三种情况的．只给2分．‎ ‎44.（09年湖北荆门）25．(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．‎ ‎(1)若m为常数，求抛物线的解析式；‎ ‎(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？‎ ‎(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ 第25题图 ‎（09年湖北荆门25题解析）解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－‎4a．…………2分 ‎∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，‎ ‎∴C(m，－2)代入得a＝．∴解析式为：y＝(x－m)2－2．…………………………5分 ‎(亦可求C点，设顶点式)‎ ‎(2)∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y＝(x－m)2－2顶点在坐标原点．………………………………………7分 ‎(3)由(1)得D(0，m2－2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．‎ ‎∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．……………………………………………9分 ‎∴m2－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)．‎ 当m＋2＜0时，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；‎ 当m＋2＝0时，即m＝－2时，B、O、D三点重合(不合题意，舍)‎ 综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．……………………………12分 ‎45.（09年湖北十堰）25．（12分）如图①， 已知抛物线（a≠0）与轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．‎ ‎(1) 求抛物线的解析式；‎ ‎(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．‎ ‎（09年湖北十堰25题解析）解: (1)由题知: ……………………………………1 分 ‎ ‎ 解得: ……………………………………………………………2分 ‎ ‎∴ 所求抛物线解析式为: ……………………………3分 ‎ ‎ ‎(2) 存在符合条件的点P, 其坐标为P (－1, )或P(－1,－ )‎ 或P (－1, 6) 或P (－1, )………………………………………………………7分 ‎(3)解法①：‎ 过点E 作EF⊥x 轴于点F , 设E ( a ,-‎-2a＋3 )( －3< a < 0 ) ‎ ‎∴EF=-‎-2a＋3，BF=a＋3，OF=－a ………………………………………………8 分 ‎∴S四边形BOCE = BF·EF + (OC +EF)·OF ‎ ‎=( a＋3 )·(－－‎2a＋3) + (－－‎2a＋6)·（－a）……………………………9 分 ‎=………………………………………………………………………10 分 ‎=－+ ‎ ‎∴ 当a =－时，S四边形BOCE 最大, 且最大值为 ．……………………………11 分 ‎ 此时，点E 坐标为 (－，)……………………………………………………12分 解法②：‎ 过点E 作EF⊥x 轴于点F， 设E ( x , y ) ( －3< x < 0 ) …………………………8分 则S四边形BOCE = (3 + y )·(－x) + ( 3 + x )·y ………………………………………9分 ‎ = ( y－x)= ( ) …………………………………10 分 ‎ = － + ‎ ‎∴ 当x =－时，S四边形BOCE 最大，且最大值为 ． …………………………11分 此时，点E 坐标为 (－，) ……………………………………………………12分 说明:（1）抛物线解析式用其它形式表示，只要正确不扣分.‎ ‎（2）直接应用公式法求抛物线顶点坐标或最大值不扣分．‎ ‎（3）其它解法请参照评分说明给分. ‎ ‎46.（09年湖北武汉）25．（本题满分12分）‎ 如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；‎ y x O A B C ‎（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．‎ ‎（09年湖北武汉25题解析）解：（1）抛物线经过，两点，‎ 解得 抛物线的解析式为．‎ y x O A B C D E ‎（2）点在抛物线上，，‎ 即，或．‎ 点在第一象限，点的坐标为．‎ 由（1）知．‎ 设点关于直线的对称点为点．‎ ‎，，且，‎ ‎，‎ 点在轴上，且．‎ y x O A B C D E P F ‎，．‎ 即点关于直线对称的点的坐标为（0，1）．‎ ‎（3）方法一：作于，于．‎ 由（1）有：，‎ ‎．‎ ‎，且．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，，，‎ y x O A B C D P Q G H ‎．‎ 设，则，，‎ ‎．‎ 点在抛物线上，‎ ‎，‎ ‎（舍去）或，．‎ 方法二：过点作的垂线交直线于点，过点作轴于．过点作于．‎ ‎．‎ ‎，‎ 又，．‎ ‎，，．‎ 由（2）知，．‎ ‎，直线的解析式为．‎ 解方程组得 点的坐标为．‎ ‎47.（09年湖北襄樊）26．（本小题满分13分）‎ 如图13，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．‎ ‎ （1）求证：梯形是等腰梯形；‎ ‎ （2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式；‎ ‎ （3）在（2）中：①当动点、运动到何处时，以点、和点、、、‎ 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；‎ ‎②当取最小值时，判断的形状，并说明理由．‎ A D C B P M Q ‎60°‎ 图13‎ ‎（09年湖北襄樊26题解析）（1）证明：∵是等边三角形 ‎∴ 1分 ‎∵是中点 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴ 2分 ‎∴‎ ‎∴梯形是等腰梯形． 3分 ‎（2）解：在等边中，‎ ‎∴‎ ‎∴ 4分 ‎∴ ∴ 5分 ‎∵ ∴ 6分 ‎∴ ∴ 7分 ‎（3）解：①当时，则有 则四边形和四边形均为平行四边形 ‎∴ 8分 当时，则有 则四边形和四边形均为平行四边形 ‎∴ 9分 ‎∴当或时，以P、M和A、B、C、 D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形．‎ 此时平行四边形有4个． 10分 ‎②为直角三角形 11分 ‎∵‎ ‎∴当取最小值时， 12分 ‎∴是的中点，而 ‎∴∴ 13分 ‎48.（09年湖北孝感）25．（本题满分12分）‎ 如图，点P是双曲线上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y= （0＜k2＜|k1|）于E、F两点．‎ ‎（1）图1中，四边形PEOF的面积S1= ▲ (用含k1、k2的式子表示)；（3分）‎ ‎（2）图2中，设P点坐标为（－4，3）．‎ ‎①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；（4分）‎ ‎②记，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5分）‎ ‎（09年湖北孝感25题解析）解：（1）； … ………………………3分 ‎（2）①EF∥AB． ……………………………………4分 证明：如图，由题意可得A（–4，0），B（0，3），， ．‎ ‎∴PA=3，PE=，PB=4，PF=．‎ ‎∴，‎ ‎∴． ………………………… 6分 ‎ 又∵∠APB=∠EPF．‎ ‎∴△APB ∽△EPF，∴∠PAB=∠PEF．‎ ‎∴EF∥AB． …………………………… 7分 ‎②S2没有最小值，理由如下：‎ 过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q．‎ 由上知M（0，），N（，0），Q（，）． ……………… 8分 而S△EFQ= S△PEF，‎ ‎∴S2＝S△PEF－S△OEF＝S△EFQ－S△OEF＝S△EOM＋S△FON＋S矩形OMQN ‎＝‎ ‎＝‎ ‎=． ………………………… 10分 当时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12． …………… 11分 ‎∴0＜S2＜24，s2没有最小值． …………………………… 12分 说明：1．证明AB∥EF时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过A、B两点和经过E、F两点的直线解析式，利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF；方法二：利用＝来证明AB∥EF；方法三：连接AF、BE，利用S△AEF＝S△BFE得到点A、点B到直线EF的距离相等，再由A、B两点在直线EF同侧可得到AB∥EF．‎ ‎2．求S2的值时，还可进行如下变形：‎ S2＝ S△PEF－S△OEF＝S△PEF－（S四边形PEOF－S△PEF）＝2 S△PEF－S四边形PEOF，再利用第（1）题中的结论．‎ 注意：1．按照评分标准分步评分，不得随意变更给分点；‎ ‎2．第19题至第25题的其它解法，只要思路清晰，解法正确，都应按步骤给予相应分数．‎