【数学】河北省衡水市武邑中学2018-2019学年高一下学期6月月考试题 （解析版）

【数学】河北省衡水市武邑中学2018-2019学年高一下学期6月月考试题 （解析版）

河北省衡水市武邑中学2018-2019学年高一下学期6月月考数学试题 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分．‎ ‎2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．‎ ‎3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应的位置，在试卷和草稿纸上作答无效．‎ 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．‎ ‎1.设全集，集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意或，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎2.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由诱导公式得即，‎ 由可得.‎ 故选：D.‎ ‎3.在等差数列中，，，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为， ‎ 所以，即，‎ 设等差数列的公差为，‎ 又，所以，故，‎ 所以 故选B．‎ ‎4.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为函数， ‎ 所以函数不是偶函数，图像不关于y轴对称，故排除A、B选项；‎ 又因为 ，而选项C在是递增的，故排除C 故选D ‎5.在锐角中，内角、、，所对的边长分别为、、，若向量，，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，‎ ‎,‎ 由，，，‎ 由为锐角三角形可得，‎ ‎，.‎ 故选：D.‎ ‎6.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，则等于 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，‎ 在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，‎ 由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos120°=2800，‎ 所以BC=20．‎ 由正弦定理得sin∠ACB=•sin∠BAC=．‎ 由∠BAC=120°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB=．‎ 故cosθ=cos（∠ACB+30°）=cos∠ACBcos30°﹣sin∠ACBsin30°=．‎ 故选B．‎ ‎7.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则=（　　）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】在等差数列中，由，得 ‎,故选A.‎ ‎8.（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 本题正确选项：B ‎9.已知函数，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 的最大值为1 B. 的最小正周期为 C. 的图像关于直线对称 D. 的图像关于点对称 ‎【答案】C ‎【解析】函数= ‎ sin（2x）+1‎ 对于A：根据f（x）＝sin（2x）+1可知最大值为2；则A不对；‎ 对于B：f（x）＝sin（2x）+1，T＝π则B不对；‎ 对于C：令2x=，故图像关于直线对称则C正确；‎ 对于D：令2x=，故的图像关于点对称则D不对．故选C．‎ ‎10.在中，，，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时，（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，‎ ‎，，以A为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，‎ 则，设，‎ 则 ‎，‎ 所以当x=2，y=1时取最小值，‎ 此时故选B ‎11.若数列满足且，则满足不等式的最大正整数为（ ）‎ A. 20 B. ‎19 ‎C. 21 D. 22‎ ‎【答案】A ‎【解析】,‎ 当时，，‎ ‎，‎ 当时，，，‎ 又 ，，解得，‎ 又 ，故所求的最大值为.故答案为：A.‎ ‎12.函数的单调减区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由可得，‎ 即，由题设可知当时，‎ 函数单调递增，函数单调递减；当时，函数单调递减，函数单调递增，故应选答案B．‎ 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：将答案填在答题卡上的相应位置．‎ ‎13.已知向量，满足，，则______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题意，‎ 由可得即，则.故答案为：1.‎ ‎14.各项均不为零的等差数列中，若，则______．‎ ‎【答案】310‎ ‎【解析】为等差数列，，‎ 又 ，，‎ 由可得， ‎ 由等差数列的性质易知，，.‎ 故答案为：310.‎ ‎15.已知a=(2,－1), b=(,3).若a与b的夹角为钝角,则的取值范围是 ‎ ‎【答案】且 ‎【解析】，而与的夹角为钝角，故且，将=(2,－1),=(,3).代入得且 ‎16.在中，内角所对的边分别为为的面积，，且成等差数列，则的大小为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中， 成等差数列，可得，即，‎ ‎，即为，‎ 即有，由余弦定理可得，‎ 即有，，‎ 由为三角形的内角，可得，故答案为．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知，，．‎ ‎（1）求与的夹角；‎ ‎（2）若，，求得面积．‎ 解：（1）∵，∴．‎ 又，，∴，∴．‎ ‎∴．又，∴．‎ ‎（2）∵与的夹角，∴．‎ 又，．∴．‎ ‎18.在中，内角所对的边分别为.已知，，.‎ ‎（Ⅰ）求和的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ 解：（Ⅰ） 解：在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.‎ 由正弦定理,得.‎ 所以，的值为，的值为.‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，‎ ‎.故.‎ ‎19.已知函数在上的零点为等差数列的首项，且数列的公差．‎ ‎（1）求数列的等差数列；‎ ‎（2）记，数列的前项和为．若恒成立，求得取值范围．‎ 解：（1）因为．‎ 由题意有．‎ 由于，则，所以是以为首项，1为公差的等差数列．‎ 所以．‎ ‎（2）因为，所以．‎ 所以．‎ ‎．‎ 因为恒成立，所以恒成立，从而恒成立．‎ 因为,所以，所以的取值范围为．‎ ‎20.在中，角A，B，C对边分别为，，，且是与的等差中项. ‎ ‎（1）求角A； ‎ ‎（2）若，且的外接圆半径为1，求的面积.‎ 解：（1）因为是与的等差中项.‎ 所以.‎ 由正弦定理得，‎ 从而可得，‎ 又为三角形的内角，所以，于是，‎ 又为三角形内角，因此.‎ ‎（2）设的外接圆半径为，则，‎ ‎，‎ 由余弦定理得，即，所以.‎ 所以的面积为.‎ ‎21.的内角的对边分别是.已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若边上的中线的长为，求面积的最大值．‎ 解：(1)因为,‎ 所以由正弦定理得，, ‎ 因为,‎ 代入得, ‎ 所以, ‎ 即,所以.‎ 因为,所以, ‎ 又因为为三角形内角，所以.‎ ‎（2）因为为边上的中线,‎ 所以, ‎ 设,则.由正弦定理得，‎ ‎=，,‎ 则 ‎ ‎ , ‎ 因为,所以当时，面积的最大值为, ‎ 所以面积的最大值为.‎ ‎22.如图，在三棱柱中，侧面是菱形，，是棱的中点，，在线段上，且.‎ ‎（1）证明：面；‎ ‎（2）若，面面，求二面角的余弦值．‎ 解：（1）连接交于点，连接．‎ 因为，所以，又因为，所以，所以，‎ 又面，面，所以面.‎ ‎（2）过作于，因为，所以是线段的中点．‎ 因为面面，面面，所以面．连接，‎ 因为是等边三角形，是线段的中点，所以.‎ 如图以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标，‎ 不妨设，则，，，，，‎ 由，得，的中点，，.‎ 设面的一个法向量为，则，即，‎ 得方程的一组解为，即.‎ 面的一个法向量为，则，‎ 所以二面角的余弦值为.‎