解读中考中考数学复习专题01实数的有关概念及运算

解读中考中考数学复习专题01实数的有关概念及运算

专题01 实数的有关概念及运算 ‎☞解读考点 知　识　点 名师点晴 实数的分类 ‎1.有理数 会根据有限小数和无限循环小数判定一个数是有理数 ‎2.无理数 会识别无理数，并在数轴上表示一个无理数 实数的有关概念 ‎1.相反数、倒数、绝对值 会求一个实数的相反数、倒数和绝对值 ‎2.科学计数法、近似数 掌握用科学计数法表示一个较大的数和较小的数 ‎3.实数的非负性 利用实数的非负性解决一些实际问题 实数的运算和大小比较 ‎1.实数的估算 求一个无理数的范围 ‎2.实数的大小比较 理解实数的大小比较的方法 ‎3.实数的运算 掌握实数的混合运算 ‎☞2年中考 ‎【2015年题组】‎ ‎1．（2015南京）估计介于（　　）‎ A．0.4与0.5之间 B．0.5与0.6之间 C．0.6与0.7之间 D．0.7与0.8之间 ‎【答案】C．‎ 考点：估算无理数的大小．‎ ‎2．（2015常州）已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（　　）‎ A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b ‎【答案】A．‎ 考点：实数大小比较．‎ ‎3．（2015泰州）下列4个数：，，，，其中无理数是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：π是无理数，故选C．‎ 考点：1．无理数；2．零指数幂．‎ ‎4．（2015资阳）如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数﹣2、1、2、3，则表示数的点P应落在线段（　　）‎ A．AO上 B．OB上 C．BC上 D．CD上 ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵2＜＜3，∴0＜＜1，故表示数的点P应落在线段OB上．故选B．‎ 考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴．‎ ‎5．（2015广元）当时，、、的大小顺序是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵，令，那么，，∴．故选C．‎ 考点：实数大小比较．‎ ‎6．（2015绵阳）若，则=（　　）‎ A．﹣1 B．‎1 C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴，解得：，则．故选A．‎ 考点：1．解二元一次方程组；2．非负数的性质．‎ ‎7．（2015武汉）在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是（　　）‎ A．﹣3 B．‎0 C．5 D．3‎ ‎【答案】A．‎ 考点：实数大小比较．‎ ‎8．（2015荆门）64的立方根是（　　）‎ A．4 B．±‎4 C．8 D．±8‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵4的立方等于64，∴64的立方根等于4．故选A．‎ 考点：立方根．‎ ‎9．（2015北京市）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（　　）‎ A．a B．b C．c D．d ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据图示，可得：3＜|a|＜4，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，2＜|d|＜3，所以这四个数中，绝对值最大的是a．故选A．‎ 考点：实数大小比较．‎ ‎10．（2015河北省）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（　　）‎ A．段① B．段② C．段③ D．段④‎ ‎【答案】C．‎ 考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴．‎ ‎11．（2015六盘水）如图，表示的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（　　）‎ A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵6.25＜7＜9，∴2.5＜＜3，则表示的点在数轴上表示时，所在C和D两个字母之间．故选A．‎ 考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴．‎ ‎12．（2015通辽）实数tan45°，，0，，，，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（　　）‎ A．4 B．‎2 C．1 D．3‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：在实数tan45°，，0，，，，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数有：，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），共3个，故选D．‎ 考点：无理数．‎ ‎13．（2015淄博）已知是二元一次方程组的解，则的平方根为（　　）‎ A．±2 B． C． D．2‎ ‎【答案】A．‎ 考点：1．二元一次方程组的解；2．平方根；3．综合题．‎ ‎14．（2015成都）比较大小：____（填“＞”、“＜”或“＝”）．‎ ‎【答案】＜．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：为黄金数，约等于0.618，，显然前者小于后者．或者作差法：，所以，前者小于后者．故答案为：＜．‎ 考点：1．实数大小比较；2．估算无理数的大小．‎ ‎15．（2015资阳）已知：，则的值为 ．‎ ‎【答案】12．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴，，解得，，，可得，则==12，故答案为：12．‎ 考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：偶次方．‎ ‎16．（2015自贡）若两个连续整数x、y满足，则x+y的值是 ．‎ ‎【答案】7．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵2＜＜3，∴3＜＜4，∴x=3，y=4，∴x+y=7，故答案为：7．‎ 考点：估算无理数的大小．‎ ‎17．（2015巴中）计算：．‎ ‎【答案】4．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值进行计算即可．‎ 试题解析：原式==1+3=4．‎ 考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．‎ ‎18．（2015龙岩）计算：．‎ ‎【答案】0．‎ 考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．特殊角的三角函数值．‎ ‎19．（2015临沂）计算：．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先根据平方差公式展开后，再根据完全平方公式展开后合并即可．‎ 试题解析：解：原式=[][]=‎ ‎．‎ 考点：实数的运算．‎ ‎【2014年题组】‎ ‎1．（2014年福建福州中考）地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学计数法表示为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B．‎ 考点：科学计数法．‎ ‎2．（2014年福建三明中考）的相反数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A．‎ 试题分析：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0. 因此，的相反数是. 故选A．‎ 考点：相反数．‎ ‎3．（2014年黑龙江大庆中考）下列式子中成立的是（ ）‎ A. ﹣|﹣5|＞4 B. ﹣3＜|﹣3| C. ﹣|﹣4|=4 D. |﹣5.5|＜5‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先对每一个选项应用绝对值的性质化简，再进行比较即可：‎ A．﹣|﹣5|=﹣5＜4，故A选项错误；‎ B．|﹣3|=3＞﹣3，故B选项正确；‎ C．﹣|﹣4|=﹣4≠4，故C选项错误；‎ D．|﹣5.5|=5.5＞5，故D选项错误．‎ 故选B．‎ 考点：1．绝对值；2．有理数的大小比较．‎ ‎4．（2014年湖北宜昌中考）如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（ ）‎ A. m+n＜0 B. m＜n C. m||n|＞0 D. 2+m＜2+n ‎【答案】D．‎ 考点：1．数轴；2．不等式的性质．‎ ‎5．（2014年贵州黔南中考）计算的值等于（ ）‎ A. B. ‎0 C. 1 D. 5‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：针对有理数的乘方，零指数幂，绝对值3个考点分1．别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果：
；2．故选A．‎ 考点：实数的运算．‎ ‎6．（2014年黑龙江大庆中考）若，则的值为 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴．∴．‎ 考点：1．实数的非负性；2．负整数指数幂．‎ ‎7．（2014年吉林省中考）若a＜＜b，且a，b为连续正整数，则b2﹣a2= ．‎ ‎【答案】7．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵32＜13＜42，∴3＜＜4，即a=3，b=4．∴b2﹣a2=42﹣32=7．‎ 考点：无理数的估算．‎ ‎8．（2014年新疆区兵团中考）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3．，按此规定，=_____________‎ ‎【答案】2．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵9＜13＜16，∴3＜＜4．‎ ‎∴2＜＜3，∴=2．‎ 考点：1．新定义；2．无理数的估算．‎ ‎9．（2014年甘肃兰州中考）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是 ．‎ ‎【答案】．‎ 考点：1．有理数的运算；2．阅读理解型问题．‎ ‎10．（2014年内蒙古赤峰中考）计算：‎ ‎【答案】-3．‎ ‎【解析】‎ 试题分析： ．‎ 考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．‎ ‎☞考点归纳 归纳 1：实数及其分类 基础知识归纳： ‎ 基本方法归纳：判断一个数是不是有理数，关键是看它是不是有限小数或无限循环小数；判断一个数是不是无理数，关键在于看它是不是无限不循环小数．‎ 注意问题归纳：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：‎ ‎（1）开方开不尽的数，如等；‎ ‎（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；‎ ‎（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；‎ ‎【例1】在实数中，其中无理数的个数是（ ）‎ A.2 B‎.3 ‎ C.4 D.5‎ ‎【答案】A．‎ 考点：无理数．‎ 归纳 2：实数的有关概念 基础知识归纳： ‎ ‎1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称 ‎2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0；正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．‎ ‎3、倒数 如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1．‎ 基本方法归纳：如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立；零的绝对值是它本身，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0‎ 注意问题归纳：零没有倒数；一个非零的数的绝对值一定是正数 ‎【例2】若实数x，y满足，则= ．‎ ‎【答案】．‎ 考点：非负数．‎ 归纳 3：实数的大小比较 基础知识归纳：‎ 正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．‎ 基本方法归纳：（1）求差比较：设a、b是实数，‎ ‎（2）求商比较法：设a、b是两正实数，‎ ‎（3）平方法：设a、b是两负实数，则．‎ 注意问题归纳：实数的大小比较，一般要将其进行化简，并合理选择方法来进行比较．‎ ‎【例3】用“＜”号，将、、、连接起来______‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先根据有理数的乘方法则依次计算出各个数的值，再根据有理数的大小比较法则比较．‎ ‎∵，，，‎ ‎∴．‎ 考点：实数的大小比较．‎ 归纳 4：科学计数法与近似数 基础知识归纳：‎ 根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ 基本方法归纳：利用科学计数法表示一个数，在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）‎ 注意问题归纳：利用科学计数法表示数和转化为原数时，要注意数位的变化．‎ ‎【例4】据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约为1.5亿元，一年的经济损失约为54750000000元，用科学记数法表示这个数为 A．5.475×1011 B．5.475×‎1010 ‎C．0.5475×1011 D．5475×108‎ ‎【答案】B．‎ 考点：科学计数法．‎ 归纳 5：实数的混合运算 基础知识归纳：实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算.同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行 基本方法归纳：实数的混合运算经常涉及到零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、二次根式等内容，要熟练掌握这些知识．‎ 注意问题归纳：实数的混合运算经常以选择、填空和解答的形式出现，是中考是热点，也是比较容易出错的地方，在解答此类问题时要注意基本性质和运算的顺序．‎ ‎【例5】计算：‎ ‎【答案】1．‎ ‎【解析】针对负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式化简4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果：‎ 考点：实数的运算．‎ ‎☞1年模拟 ‎1．（2015届山东省日照市中考一模）的算术平方根是（ ）‎ A．2 B．±‎2 C． D．±‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】试题分析：∵=2，而2的算术平方根是，∴的算术平方根是，故选C．‎ 考点：算术平方根．‎ ‎2．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）在实数π、、、tan60°‎ 中，无理数的个数为（ ）‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵tan60°=，∴在实数π、、、tan60°中，无理数有：，和tan60°．故选C．‎ 考点：1．无理数；2．特殊角三角函数值．‎ ‎3．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）的算术平方根是（ ）‎ A．- B． C．± D．‎ ‎【答案】B．‎ 考点：算术平方根．‎ ‎4．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）下列计算结果是负数的是（ ）‎ A．3-2 B．3×（-2） C．3-2 D．‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：A：3-2=1，计算结果是正数，据此判断即可．‎ B：3×（-2）=-6，计算结果是负数，据此判断即可．‎ C：3-2=，计算结果是正数，据此判断即可．‎ D：是一个正数，据此判断即可．‎ 试题解析：∵3-2=1，计算结果是正数，∴选项A不正确；‎ ‎∵3×（-2）=-6，计算结果是负数，∴选项B正确；‎ ‎∵3-2=，计算结果是正数，∴选项C不正确；‎ ‎∵是一个正数，∴选项D不正确．故选B．‎ 考点：实数的运算．‎ ‎5．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）面积为‎10m2‎的正方形地毯，它的边长介于（ ）‎ A．‎2m与‎3m之间 B．‎3m与‎4m之间 C．‎4m与‎5m之间 D．‎5m与‎6m之间 ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：正方形的边长为，∵＜＜，∴3＜＜4，∴其边长在‎3m与‎4m之间．故选B．‎ 考点：估算无理数的大小．‎ ‎6．（2015届河北省中考模拟二）下列无理数中，不是介于-3与2之间的是（ ）‎ A．- B． C．- D．‎ ‎【答案】B．‎ 考点：估算无理数的大小．‎ ‎7．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）实数5的相反数是（ ）．‎ A． B．- C．﹣5 D．5‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，∴5的相反数是﹣5．故选C．‎ 考点：实数的性质．‎ ‎8．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）下列四个数中，值最小的数是（ ）．‎ A．tan45° B． C．π D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：tan45°=1，根据实数比较大小的方法，可得，1＜＜＜π，所以tan45°＜＜＜π，因此四个数中，值最小的数是tan45°．故选A．‎ 考点：1．实数大小比较；2．特殊角的三角函数值．‎ ‎9．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）已知直角三角形两边x、y的长满足|x2-4|+=0，则第三边长为 ．‎ ‎【答案】、或．‎ 考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．算术平方根；3．勾股定理；4．分类讨论．‎ ‎10．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）计算：2-1+2cos30°-tan60°-（π+）0= ．‎ ‎【答案】-．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：原式==-．故答案为：-．‎ 考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．‎ ‎11．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）的算术平方根为 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵=2，2的算术平方根是，∴的算术平方根为．故答案为：．‎ 考点：算术平方根．‎ ‎12．（2015届北京市平谷区中考二模）计算：．‎ ‎【答案】-3．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：分别进行负整数次幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、零指数幂，然后按照实数的运算法则计算即可．‎ 试题解析：原式===．‎ 考点：实数的运算．‎ ‎13．（2015届安徽省安庆市中考二模）计算：﹣32+．‎ ‎【答案】-9．‎ 考点：1．实数的运算；2．特殊角的三角函数值．‎ ‎14．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）计算：（-）-1+（π-）0-3tan30°+|-|‎ ‎【答案】-1．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．‎ 试题解析：原式=-2+1-3×+=-1．‎ 考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．‎ ‎15．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）计算：‎ ‎﹣2sin30°﹣（﹣）﹣2+（﹣π）0﹣+（﹣1）2012．‎ ‎【答案】-6．‎ 考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．‎ ‎ ‎