青岛市中考数学试题及答案解析

青岛市中考数学试题及答案解析

青岛市二〇一五年初中学生学业考试数学试题（中考真题）‎ 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） ‎ ‎1．的相反数是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．2‎ ‎2．某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000 000 001s，把0.000 000 001s用科学计数法可以表示为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．‎ ‎4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，‎ 则BC=（ ）．‎ A． B．‎2 ‎C．3 D．‎ 5． 小刚参加射击比赛，成绩统计如下表 成绩（环）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 次数 ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎ 关于他的射击成绩，下列说法正确的是（ ）．‎ A．极差是2环 B．中位数是8环 C．众数是9环 D．平均数是9环 ‎6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（ ）‎ A．30° B．35° C．45° D．60°‎ 7． 如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，若 ‎ EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）．‎ ‎ A．4 B． C． D．28 ‎ ‎ ‎ ‎8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，的取值范围是（ ）．‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）‎ ‎9．计算：‎ ‎10．如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，那么 点A的对应点A＇的坐标是＿＿＿＿＿＿＿．‎ 11． 把一个长、宽、高分别为‎3cm、‎2cm、‎1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S（）与高之间的函数关系是为_________________________‎ ‎12．如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为（1,1）、（-1,1），‎ ‎ 把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得到正方形A＇Ｂ＇Ｃ＇Ｄ＇则正方形ABCD与正方形A＇Ｂ＇Ｃ＇Ｄ＇ 重叠部分形成的正八边形的边长为_____________________°．‎ 13． 如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E=30°，则∠F= ．‎ ‎14．如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方体搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭的几何体拼成一个大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要 个小正方体，王亮所搭几何体表面积为________________.‎ 三、作图题（本题满分4分）‎ 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．‎ ‎15．已知：线段，直线外一点A．‎ 求作：Rt△ABC，使直角边为AC（AC⊥，垂足为C）斜边AB＝c．‎ 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）‎ ‎16．（本小题满分8分，每题4分）‎ ‎（1）化简：；　　　‎ ‎（2）关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求的取值范围 ‎17．（本小题满分6分）‎ 某小学为了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如下：‎ ‎（1）补全条形统计图；‎ ‎（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；‎ ‎（3）若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？‎ ‎18．（本小题满分6分）‎ 小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1~4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字。若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜。这个游戏对双方公平吗？请说明理由。‎ ‎19．（本小题满分6分）‎ 小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°‎ 和35°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为‎100m。请求出热气球离地面的高度。‎ ‎（结果保留整数，参考数据：， ，‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分8分）‎ 某厂制作甲、乙两种环保包装盒。已知同样用‎6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料。‎ （1） 求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？‎ （2） 如果制作甲、乙两种包装盒3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度与甲盒数量之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料。‎ ‎21．（本小题满分8分）‎ 已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE；垂足为E．‎ ‎（1）求证：△ABD≌△CAE；‎ ‎（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？‎ 请证明你的结论．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是‎12m，宽是‎4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为‎3m，到地面OA的距离为m。 ‎ ‎ （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；‎ ‎（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为‎6m，宽为‎4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？‎ ‎（3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过‎8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 问题提出：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？‎ 问题探究：不妨假设能搭成种不同的等腰三角形，为探究之间的关系，我们可以从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论．‎ 探究一：‎ （1） 用3根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？‎ ‎ 此时，显然能搭成一种等腰三角形。所以，当时，‎ （2） 用4根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？‎ ‎ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形 ‎ 所以，当时，‎ （3） 用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？‎ ‎ 若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形 ‎ 若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形 ‎ 所以，当时，‎ （4） 用6根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？‎ ‎ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形 ‎ 若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形 ‎ 所以，当时，‎ 综上所述，可得表①‎ ‎ ‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ 探究二：‎ （1） 用7根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？‎ ‎ （仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表②中）‎ （2） 分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？‎ ‎ （只需把结果填在表②中）‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，……‎ 解决问题：用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？‎ ‎ （设分别等于、、、，其中是整数，把结果填在表③中）‎ 问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？‎ ‎ （要求写出解答过程）‎ ‎ 其中面积最大的等腰三角形每个腰用了__________________根木棒。（只填结果）‎ ‎24．（本小题满分12分） ‎ 已知：如图①，在□ABCD中，AB＝‎3cm，BC＝‎5cm．AC⊥AB。△ACD沿AC的方向匀速平移得到 ‎△PNM，速度为‎1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为‎1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止运动．如图②，设运动时间为t(s)（0＜t＜4）．解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，PQ∥MN？‎ ‎（2）设△QMC的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？若存在，求出t的值；‎ ‎ 若不存在，请说明理由．‎ ‎（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案及解析 一、选择 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A D B C B A C D 二、填空 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎（2,3）‎ ‎40°‎ ‎19, 48‎ 三、作图 四、解答题 ‎16、（1）原式=‎ ‎ （2）由题知，解得，答：的取值范围是 17、 ‎（1） （2） ‎ ‎ （3）‎ ‎18、解：‎ ‎ 第二次 第一次 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎ 共有16种等可能结果，其中大于5的有共有6种。‎ ‎ ，因为，所以不公平。‎ ‎19，解：如图，作AD⊥CB延长线于点D ‎ 由题知：∠ACD=35°、∠ABD=45°‎ ‎ 在Rt△ACD中，∠ACD=35°‎ ‎ 所以 ‎ 在Rt△ABD中，∠ABD=45°‎ ‎ 所以 ‎ 由题 ‎ 所以 ‎ 解得m 答：热气球到地面的距离约为‎233米 ‎20，解：（1）设制作每个乙盒用米材料，则制作甲盒用（1+20%）米材料 ‎ 由题可得： 解得（米）‎ ‎ 经检验是原方程的解，所以 ‎ 答：制作每个甲盒用‎0.6米材料；制作每个乙盒用‎0.5米材料 ‎ （2）由题 ∴‎ ‎ ‎ ‎ ∵，∴，∴当时，‎ ‎21:，（1）证明：∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ‎ 又因为AD是BC边上的中线 ‎ 所以AD⊥BC，即∠ADB=90°‎ ‎ 因为AE∥BC 所以∠EAC=∠ACB ‎ 所以∠B=∠EAC ‎ ∵CE⊥AE ∴∠CEA=90° ‎ ‎ ∴∠CEA=∠ADB ‎ 又AB=AC ∴△ABD≌△CAE（AAS）‎ （2） AB∥DE且AB=DE。 ‎ ‎ 由（1）△ABD≌△CAE可得AE=BD，‎ ‎ 又AE∥BD，所以四边形ABDE是平行四边形 ‎ 所以AB∥DE且AB=DE ‎22，解：（1）由题知点在抛物线上 ‎ 所以，解得，所以 ‎ 所以，当时，‎ ‎ 答：，拱顶D到地面OA的距离为‎10米 ‎ （2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））‎ ‎ 当时，，所以可以通过 ‎ （3）令，即，可得，解得 ‎ 答：两排灯的水平距离最小是 ‎23，解：探究二 ‎ （1）若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形 ‎ 若分为2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形 ‎ 若分为3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形 ‎ 所以，当时，‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎ ‎ 问题应用：∵2016=4×504 所以k=504，则可以搭成k-1=503个不同的等腰三角形； 672‎ ‎24，解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：‎ ‎ 由平移性质可得MN∥AB 因为PQ∥MN，所以PQ∥AB，所以，即，解得 ‎（2）作PD⊥BC于点D，AE⊥BC于点E 由可得 则由勾股定理易求 因为PD⊥BC，AE⊥BC 所以AE∥PD，所以△CPD∽△CAE 所以，即（备注，粗略通读题，用得着的计算一并先算出）‎ 求得：，‎ 因为PM∥BC，所以M到BC的距离 所以，△QCM是面积 （2） 因为PM∥BC，所以 ‎ 若S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4，则S△QMC∶S△ABC＝1∶5‎ ‎ 即：，整理得：，解得 ‎ 答：当t=2时，S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4‎ ‎（4）若，则∠MDQ=∠PDQ=90°‎ ‎ 因为MP∥BC，所以∠MPQ=∠PQD，‎ ‎ 所以△MQP∽△PDQ，所以，所以 ‎ 即：，由，所以DQ = CD-CQ ‎ 故，整理得 ‎ 解得 ‎ 答：当时，。‎ 新课 标第 一 网 ‎