【数学】2020届一轮复习人教版（理）第三章第三节 三角函数的图象与性质作业
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级 基础夯实练
1．(2018·河北枣强中学二模)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为减函数的是( )
A．y＝sin 2x B．y＝2|cos x|
C．y＝cos D．y＝tan(－x)
解析：选D.A选项，函数在上单调递减，在上单调递增，故排除A；B选项，函数在上单调递增，故排除B；C选项，函数的周期是4π，故排除C.故选D.
2．(2018·银川二模)函数y＝－2cos2＋1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的非奇非偶函数
解析：选A.因为y＝－2cos2＋1
＝－＋1＝sin 2x.y＝sin 2x是最小正周期为π的奇函数．故选A.
3．(2018·北京东城质检)若函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点
对称，则|φ|的最小值为( )
A. B．
C. D．
解析：选A.由题意得3cos＝3cos(＋φ＋2π)＝3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z.
取k＝0，得|φ|的最小值为.
4．(2018·兰州模拟)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是( )
A．a
0，m>0，若函数f(x)＝msin cos 在区间上单调递增，则ω的取值范围是( )
A. B．
C. D．[1，＋∞)
解析：选B.f(x)＝msin cos ＝msin ωx，若函数在区间上单调递增，则＝≥＋＝，即ω∈.
7．(2018·江南十校联考)已知函数f(x)＝cos－cos 2x，其中x∈R，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x＝；③函数f(x)图象的一个对称中心为；④函数f(x)的递增区间为
，k∈Z.则正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.由已知得，f(x)＝cos－cos 2x＝cos 2xcos －sin 2xsin －cos 2x＝－sin，不是奇函数，故①错误；当x＝时f＝－sin＝1，故②正确；当x＝时f＝－sin π＝0，故③正确；令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，故④正确．综上，正确的结论个数为3.
8．(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
解析：∵f(x)≤f对任意x∈R恒成立，∴f为f(x)的最大值，∴f＝cos＝1，∴ω－＝2kπ，解得ω＝8k＋，k∈Z，又∵ω>0，∴当k＝0时，ω的最小值为.
答案：
9．(2018·广东茂名二模)已知ω＞0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω
＝________．
解析：由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知|PQ|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，其中|y2－y1|＝－(－)＝2，|x2－x1|为函数y＝2sin ωx－2cos ωx＝2sin的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(2)2＝＋(2)2，ω＝.
答案：
10．(2017·浙江卷)已知函数f(x)＝sin2 x－cos2 x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：(1)由sin ＝，cos ＝－，得
f＝－－2××，
所以f＝2.
(2)由cos 2x＝cos2 x－sin2 x与sin 2x＝2sin xcos x得
f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得
＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是
(k∈Z)．
B级 能力提升练
11．(2018·厦门质检)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为( )
A. B．2
C. D．
解析：选D.因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，
所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，
所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤·，
即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝.
12．(2018·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，f(α)＝－1，f(β)＝1，若|α－β|的最小值为，且f(x)的图象关于点对称，则函数f(x)的单调递增区间是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选B.由题意可知f(x)的最小正周期T＝4|α－β|min＝4×＝3π，则＝3π，ω＝，
因为f(x)的图象关于点对称，所以
2sin＋1＝1，即sin＝0.
因为|φ|<，所以φ＝－，
则f(x)＝2sin ＋1.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得3kπ－≤x≤3kπ＋π，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是[－＋3kπ，π＋3kπ]，k∈Z，选B.
13．(2018·唐山调研)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f
eq blc(rc)(avs4alco1(f(2π,3)))＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
解析：由f(x)在区间上具有单调性，且f＝－f知f(x)有对称中心，由f＝f知，f(x)有对称轴x＝＝π.记f(x)的最小正周期为T，则T≥－，即T≥π.故π－＝＝，解得T＝π.
答案：π
14．已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos(x－)－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解：(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2 x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x
＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，
B＝，易知A∩B＝.
所以，当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
15．(2017·山东卷)设函数f(x)＝sin＋sin(ωx－)，其中0<ω<3，已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx
＝
＝sin.
由题设知f＝0，
所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω<3，
所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin
因为x∈，
所以x－∈.
当x－＝－，
即x＝－时，g(x)取得最小值－.
C级 素养加强练
16．已知a>0，函数f(x)＝－2a·sin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．
解：(1)∵x∈，
∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]．
∴f(x)∈[b，3a＋b]，
又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f
＝－4sin－1
＝4sin－1，又由lg g(x)>0，得g(x)>1，
∴4sin－1>1，
∴sin>，
∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，
g(x)单调递增，即kπ
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