2020届二轮复习 高考解题的数学思想 教案

2020届二轮复习 高考解题的数学思想 教案

引领三　解题有法——领悟四种数学思想巧突破　‎ 高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度。数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类整合思想、转化与化归思想 ‎ 一、函数与方程思想 函数思想 方程思想 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的。函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系 ‎【例1】　(1)已知f (x)＝log2x，x∈[2,16]，对于函数f (x)值域内的任意实数m，使x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立的实数x的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－2]‎ B．[2，＋∞)‎ C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)‎ D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ ‎(2)已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增。若实数a满足f (2|a－1|)>f (－)，则a 的取值范围是________。‎ ‎【解析】　(1)因为x∈[2,16]，所以f (x)＝log2x∈[1,4]，即m∈[1,4]。不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)2>0对m∈[1,4]恒成立。设g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以即 解得x<－2或x>2。‎ ‎(2)由f (x)是偶函数且f (x)在区间(－∞，0)上单调递增可知，f (x)在区间(0，＋∞)上单调递减。又因为f (2|a－1|)>f (－)，而f (－)＝f ()，所以2|a－1|<，即|a－1|<，解得f ′(x)，且f (0)＝1，则不等式<1的解集为(　　)‎ A．(－∞，0) B．(0，＋∞)‎ C．(－∞，2) D．(2，＋∞)‎ 解析　构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＝ ‎。由题意得g′(x)<0恒成立，所以函数g(x)＝在R上单调递减。又因为g(0)＝＝1，所以<1，即g(x)0，所以不等式的解集为(0，＋∞)。故选B。‎ 答案　B 二、数形结合思想 以形助数(数题形解)‎ 以数辅形(形题数解)‎ 借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，以数作为目的解决数学问题的数学思想 借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，以形作为目的解决问题的数学思想 数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合 ‎【例2】　已知直线(1－m)x＋(3m＋1)y－4＝0所过定点恰好落在函数f (x)＝的图象上，若函数h(x)＝f (x)－mx＋2有三个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)‎ A． B. C. D．(1，＋∞)‎ ‎【解析】　由(1－m)x＋(3m＋1)y－4＝0，得(x＋y－4)－m(x－3y)＝0，所以由可得直线过定点(3,1)，所以loga3＝1，所以a＝3。令f (x)－mx＋2＝0，得f (x)＝mx－2，在同一坐标系中作出y1＝f (x)与y2＝mx－2的图象(如图所示)，易得|PF 2|，则的值为________。‎ ‎【解析】　(1)由f (f (a))＝2f (a)得，f (a)≥1。当a<1时，有3a－1≥1，解得a≥，所以≤a<1。当a≥1时，有2a≥2>1，解得a≥1。综上，a≥，故选C。‎ ‎(2)若∠PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2，解得|PF 1|＝，|PF 2|＝，所以＝。若∠F 2PF 1＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以＝2。综上所述，＝2或。‎ ‎【答案】　(1)C　(2)2或 分类整合思想在解题中的应用 ‎(1)由数学概念引起的分类。有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。‎ ‎(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论。有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。‎ ‎(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类。如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。‎ ‎(4)由图形的不确定性引起的分类讨论。有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等。 ‎ ‎【变式训练4】　(1)若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率是(　　)‎ A． B． C．或 D．或 ‎(2)设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3，…)，则q的取值范围是________。‎ 解析　(1)因为m是2和8的等比中项，所以m2＝2×8＝16，所以m＝±4。当m＝4时，圆锥曲线＋x2＝1是椭圆，其离心率e＝＝；当m＝－4时，圆锥曲线x2－＝1是双曲线，其离心率e＝＝＝。综上可知，选项D正确。‎ ‎(2)因为{an}是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0。当q＝1时，Sn＝na1>0；当q≠1时，Sn＝>0，即>0(n ‎＝1,2,3，…)，则有　①或　②　由①得－11。故q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)。‎ 答案　(1)D　(2)(－1,0)∪(0，＋∞)‎ 四、转化与化归思想 转化与化归思想方法就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种思想。其应用包括以下三个方面：‎ ‎(1)将复杂的问题通过变换转化为简单的问题。‎ ‎(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题。‎ ‎(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。‎ ‎【例5】　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝______。‎ ‎(2)已知f (x)＝，则f (－2 017)＋f (－2 016)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 018)＝________。‎ ‎【解析】　(1)显然△ABC为等边三角形时符合题设条件，所以＝＝＝。‎ ‎(2)f (x)＋f (1－x)＝＋＝＋＝＝1，所以f (0)＋f (1)＝1，f (－2 017)＋f (2 018)＝1，所以f (－2 017)＋f (－2 016)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 018)＝2 018。‎ ‎【答案】　(1)　(2)2 018‎ 转化与化归思想遵循的原则 ‎(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题。‎ ‎(2)简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题。‎ ‎(3)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何问题向平面几何问题转化)。‎ ‎(4)正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法、补集法或用逆否命题间接地解决问题。 ‎ ‎【变式训练5】　(1)已知函数f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数x0，使f (x0)>0，求实数p的取值范围。‎ ‎(2)若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋。求证：a，b，c中至少有一个大于0。‎ 解　(1)记p的范围是I，原题可作为命题：若p∈I，则函数f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数x0，使f (x0)>0。‎ 等价命题为：若函数f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上对任意的x都有f (x)≤0，则p∈∁RI。‎ 由对任意的x都有f (x)≤0，结合图形知⇒⇒p≤－3或p≥，即∁RI＝，所以I＝，故所求的p的取值范围为。‎ ‎(2)证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，‎ 则a＋b＋c≤0。而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，‎ 因为π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，‎ 所以a＋b＋c>0。‎ 这与a＋b＋c≤0矛盾。‎ 因此a，b，c中至少有一个大于0。‎