中考 初中 三角形知识点汇总

中考 初中 三角形知识点汇总

第七章 三角形 ‎1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。‎ ‎2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。‎ ‎3.高： ‎ ‎4.中线：性质：（1）、平分三角形一边，（2）、平分三角形的面积 ‎ ‎5.角平分线：（1）、平分角到两边距离相等。（2）、△有3个外角平分线交点，一个内角平分线交点，外角平分线交点是有2根外角平分线和一根内角平分线相交组成。‎ ‎6.三角形中的中位线 ：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 ‎ 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 ‎ 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： ‎ 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 ‎ 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 ‎ 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 ‎ 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分，根据结论3形成的平行四边形的对角线平分可以推出结论4。 ‎ 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等，结论3中平行四边形的对角相等 ‎7.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。‎ ‎8.三角形的内角和外角：三角形的内角和为180°，外角和为360°。‎ ‎9.三角形外角的性质：‎ 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。‎ 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。‎ ‎10.△的五心：（1）、内心（内角平分线的交点）；（2）外心（三边的垂直平分线的交点）；（3）重心（三条中线的交点）；（4）垂心（三条高的交点）；（5）旁心（一条内角平分线和两条外角平分线的交点）。‎ 第十一章 全等三角形 ‎1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。‎ ‎2．全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。 ‎ ‎3.三角形全等的判定公理及推论有： ‎ ‎（1）“边角边”简称“SAS” ‎ ‎（2）“角边角”简称“ASA” ‎ ‎（3）“边边边”简称“SSS” ‎ ‎（4）“角角边”简称“AAS” ‎ ‎（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。‎ 第十二章 轴对称 ‎1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。‎ ‎2.垂直平分线性质：（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。‎ ‎（2）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。‎ ‎（3）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。‎ ‎3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）‎ ‎4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。‎ ‎5.等腰三角形的判定：（1）有两个角相等（等角对等边）；（2）有条边相等 ‎6.等边三角形的特点：三个内角相等，等于60°，三条边相等。，‎ ‎7.等边三角形的判定：（1） 三个角都相等的三角形是等腰三角形。‎ ‎ （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ‎ （3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。‎ ‎ （4）三条边相等 ‎ ‎8.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。‎ ‎9．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。‎ ‎10．用坐标表示轴对称　　‎ 点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）‎ 点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）‎ 点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）‎ 点P（x，y）关于y=x对称的点的坐标是（y，x）　　‎ 点P（x，y）关于y= -x对称的点的坐标是（-y，-x）　　‎ 点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（‎2m-x，y）　　‎ 点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）； ‎ 第二十七章 三角形相似 考点一、比例线段 ‎ 在比例式中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。‎ ‎1、比例的性质 ‎（1）基本性质：①a：b=c：dad=bc ‎ ‎ ②a：b=b：c（b叫做a、c的比例中项）‎ ‎（2）更比性质（交换比例的内项或外项）‎ ‎ （交换内项）‎ ‎ （交换外项）‎ ‎ （同时交换内项和外项）‎ ‎（3）合比性质：‎ ‎（4）等比性质：‎ ‎2、黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），使AC²=AB·BC，即AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB 考点二、平行线分线段成比例定理 ‎ ‎ ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。‎ ‎②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。‎ ‎③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。‎ 考点三、相似三角形 ‎1.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形 ‎ ‎2.相似三角形的判定方法:‎ ‎　 根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等） 　 .平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似； 　 .两个角对应相等,那么这两个三角形相似；（AA） 　 两边的比相等,夹角相等,那么这两个三角形相似；(ASA) 　 三边的比相等,那么这两个三角形相似；(SSS)‎ ‎3.直角三角形相似判定定理: 　.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。(HL) 　.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 ‎ ‎4.相似三角形的性质:‎ .相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。 　　相似三角形周长的比等于相似比。 　 .相似三角形面积的比等于相似比的平方。‎ ‎5、相似多边形 ‎（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）‎ ‎（2）相似多边形的性质 ‎①相似多边形的对应角相等，对应边成比例 ‎②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比 ‎③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比 ‎④相似多边形面积的比等于相似比的平方 ‎6、位似图形 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。‎ 性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。‎ 由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。‎ ‎- 3 -‎