- 2021-05-21 发布 |
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文档介绍
人教A版选修1-13-2立体几何中的向量方法第1课时(含答案)
P §3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 【学情分析】: 教学对象是高二的学生,学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知 识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示,并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间 的平行与垂直的位置关系,可以比较顺利地进行教学. 【教学目标】: (1)知识与技能:理解直线的方向向量和平面的法向量;会用向量及其运算表示线线、线面、面面 间的位置关系. (2)过程与方法:在解决问题中,通过数形结合的思想方法,加深对相关知识的理解。 (3)情感态度与价值观:开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势. 【教学重点】: 平面的法向量. 【教学难点】: 用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直关系. 【教学过程设计】: 教学环节 教学活动 设计意图 一、复习引 入 1. 两个非零向量共线的充要条件是什么? 2. 什么叫直线的方向向量? 3. 回顾平面向量基本定理。 为探索新知识做准 备. 二、探究新 知 一、点、直线、平面的位置的向量表示 1. 思考:如何确定一个点在空间的位置? 如图,在空间中,我们取一点 O 作为基点,那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量OP 来表示.称向量OP 为点的位置向量。 ●O ● P 2. 思考:在空间中给定一个定点 A 和一个定方向(向量),能确定一条直 线在空间的位置吗? 如图,点 A 和 a 不仅可以确定直线 l 的位置,还可以具体表示出 l 上的 任意一点 P。 3. 思考:给定一个定点和两个定方向(向量),能确定一个平面在空间的 位置吗? 要求学生自己寻找 空间中的几何元素 点、直线、平面的 位置的向量表示方 法。 基点 )( RaAP a l A ml // // O a b ● P 如图,点 O 和 a 、b 不仅可以确定平面 的位置,还可以具体表示出 内的任意一点 P. 4.思考:给定一个定点和一个定方向(向量),能确定一个平面在空间的 位置吗? 法向量:若 a ,则 a 叫做平面 的法向量。 ● A a 如图,过点 A,以 a 为法向量的平面是完全确定的. 二、线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系 设直线 l、m 的方向向量分别为 a 、b ,平面 , 的法向量分别为 vu, . 探究 1:平行关系 1,线线平行: 2,线面平行: 3,面面平行: 探究 2:垂直关系 1,线线垂直: ml 2,线面垂直: l uaua // 3,面面垂直: 0 vuvu 联系平面向量基本 定理来理解。 学生记住法向量的 概念。 通过对对称轴不同 作法的探讨,拓展 学生的思维. 让学生对每一种关 系都进行探究,找 到相应的向量关系 和运算公式。 三、练习巩 固 1.设直线 l,m 的方向向量分别为 ba, ,根据下列条件判断 l,m 的位置 关系: 巩固知识,培养技 能. )( RyxbyaxOP 、 baba // //l 0 uaua vuvu // 0 baba 答案:(1)平行;(2)垂直;(3)平行。 2.设平面 , 的法向量分别为 vu, ,根据下列条件判断平面 , 的位置 关系: )4,4,6(),5,2,2()1( vu )4,4,2(),2,2,1()2( vu )4,1,3(),5,3,2()3( vu 答案:(1)垂直;(2)平行;(3)相交,交角的余弦为 2472 29 。 四、训练与 提高 1 . 已 知 点 P 是 平 行 四 边 形 ABCD 所 在 平 面 外 一 点 , 如 果 (2, 1,4)AB , (4,2,0)AD , ( 1,2, 1)AP (1)求证: AP 是平面 ABCD 的法向量; (2)求平行四边形 ABCD 的面积. (1)证明:∵ ( 1,2, 1) (2, 1, 4) 0AP AB , ( 1,2, 1) (4,2,0) 0AP AD , ∴ AP AB , AP AD ,又 AB AD A , AP 平面 ABCD , ∴ AP 是平面 ABCD 的法向量. (2) 2 2 2| | (2) ( 1) ( 4) 21AB , 2 2 2| | 4 2 0 2 5AD , ∴ (2, 1, 4) (4,2,0) 6AB AD , ∴ 6 3 105cos( , ) 10521 2 5 AB AD , ∴ 9 32sin 1 105 35BAD , ∴ | | | | sin 8 6ABCDS AB AD BAD . 引 导 学 生 进 行 应 用. 对法向量作理解. 巩固以往知识,培 养运算技能. 五、小结 1. 点、直线、平面的位置的向量表示。 2. 线线、线面、面面间的平行与垂直关系的向量表示。 反思归纳 )6,3,6(),2,1,2()1( ba )2,3,2(),2,2,1()2( ba )3,0,0(),1,0,0()3( ba 六、作业 A,预习课本 105~110 的例题。 B,书面作业: 1, 2, 练习与测试: (基础题) 1,与两点 和 所成向量同方向的单位向量是 。 解:向量 ,它的模 则所求单位向量为 。 2,从点 沿向量 的方向取长为 6 的线段 ,求 点坐标。 解:设 点坐标为 ,由题设有 ; 由 可得 。则 ,于是所求坐标为 。 3,设直线 l,m 的方向向量分别为 )1,0,3(),3,2,1( ba ,判断 l,m 的位置关系。 解:因为(1,2,3)(-3,0,1)=0,所以两直线垂直。 4,设平面 , 的法向量分别为 )12,6,2(),6,3,1( vu ,判断平面 , 的位置关系。 解:易知所给二法向量平行,故平面 , 平行。 (中等题) 5,已知空间四点坐标分别为 A(1,0,0)、B(1,1,0)、E(1,1/2,1)、F(0,1/2,0),求平面 AEF 的单位法向量。 的一个单位法向量。求平面 已知点 ABC CBA ),5,0,0(),0,4,0(),0,0,3( . ),0,1,1(),1,0,1( , 的大小。所成的锐二面角的度数 求这两个平面 的法向量分别是若两个平面 vu 解: 设平面 AEF 的法向量为 则有 为平面 AEF 的单位法向量。 6,如图所示建立坐标系,有 分别求平面 SAB 与平面 SDC 的法向量,并求出它们夹角的余弦。 解:因为 y 轴 平面 SAB,所以平面 SAB 的法向量为 设平面 SDC 的法向量为, 由查看更多