湖北省咸宁市四校2012-2013学年高三(上)12月月考数学试卷(文科)(含解析)

湖北省咸宁市四校2012-2013学年高三(上)12月月考数学试卷(文科)(含解析)

‎ 2012-2013学年湖北省咸宁市四校高三（上）12月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）设集合A={﹣4，a2}，B={9，﹣1﹣a，2}，若A∩B={9}，则实数a的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣3‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ ‎±3‎ D．‎ 以上都不正确 考点：‎ 集合关系中的参数取值问题．‎ 专题：‎ 计算题；分类讨论．‎ 分析：‎ 根据两个集合的交集的定义，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，最后根据集合中元素的互异性经过检验得到满足题意a值即可．‎ 解答：‎ 解：∵A∩B={9}，‎ ‎∴a2=9‎ ‎∴a=±3，‎ 当a=3时，∵A={﹣4，9}，B={9，﹣4，2}，A∩B={﹣4，9}，不合题意；‎ 当a=﹣3时，∵集合B中：9，2，2，由集合中元素的互异性，可得不合题意；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题主要考查集合中参数的取值问题，两个集合的交集的定义，集合中元素的互异性，学生做题时注意利用元素的特点判断得到满足题意的a的值．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2006•安徽）设a，b∈R，已知命题p：a=b；命题q：，则p是q成立的（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 必要不充分条件 B．‎ 充分不必要条件 ‎　‎ C．‎ 充分必要条件 D．‎ 既不充分也不必要条件 考点：‎ 必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ 分析：‎ 命题q中，不等式两侧均为和的形式，只需将不等式左边展开，出现乘积形式，再利用基本不等式即可．‎ 解答：‎ 解：∵‎ 当且仅当a=b时等号成立．‎ 命题p：a=b⇒命题q：，反之不成立．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查基本不等式及充要条件的判断，属基本题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）函数f（x）=sin2x﹣2sinx+3，x∈[0，π]的值域为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ R B．‎ ‎[2，+∞）‎ C．‎ ‎[2，6]‎ D．‎ ‎[2，3]‎ 考点：‎ 复合三角函数的单调性．‎ 专题：‎ 三角函数的图像与性质．‎ 分析：‎ 换元法：令sinx=t，由x∈[0，π]，可得t∈[0，1]，进而可得y=t2﹣2t+3=（t﹣1）2+2，由二次函数区间的最值可得答案．‎ 解答：‎ 解：由题意，令sinx=t，由x∈[0，π]，可得t∈[0，1]，‎ 故函数可化为y=t2﹣2t+3=（t﹣1）2+2，‎ 由二次函数的性质可得，函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为t=1，‎ 故在t∈[0，1]上单调递减，故当t=0时，y取最大值3，当t=1时，y取最小值2，‎ 故原函数的值域为：[2，3]，‎ 故选D 点评：‎ 本题考查复合三角函数的单调性和二次函数区间的最值，属中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球的表面积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4π B．‎ ‎5π C．‎ ‎8π D．‎ ‎10π 考点：‎ 由三视图求面积、体积．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先由三视图确定此几何体的形状，为底面半径为，高为2的圆柱，再利用球与圆柱的对称性，可得外接球的半径，最后由球的表面积计算公式即可得所求表面积 解答：‎ 解：由三视图可知该几何体时一个底面半径为，高为2的圆柱，‎ 根据球与圆柱的对称性，可得外接球的半径R==，‎ ‎∴S=4πR2=5π 故选 B 点评：‎ 本题考查了三视图的识别，利用三视图研究直观图的性质，球与圆柱的接切问题，球的表面积计算公式，空间想象能力 ‎　‎ ‎5．（5分）下列说法正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 存在α）使sinα+cosα=‎ B．‎ y=tanx在R内为增函数 ‎　‎ C．‎ y=cos2x+sin（﹣x）是偶函数 D．‎ y=sin|2x+|最小正周期为π 考点：‎ 命题的真假判断与应用．‎ 专题：‎ 三角函数的图像与性质．‎ 分析：‎ 选项A，可得sin（α+）∈（1，]，而∉（1，]，故不可能存在α）使sinα+cosα=；选项B，y=tanx在R内没有单调性；选项C，由诱导公式化简后可证原函数是偶函数；选项D，函数y=sin|2x+|的图象可由y=sin|2x|的图象向左平移个单位得到，没有周期性．‎ 解答：‎ 解：选项A，sinα+cosα=sin（α+），当α∈（0，）时，α+∈（，），‎ 故可得sin（α+）∈（，1]，所以sin（α+）∈（1，]，而∉（1，]，‎ 故不可能存在α）使sinα+cosα=，故A错误；‎ 选项B，y=tanx在（kπ﹣，kπ+），k∈Z内单调递增，但在R内没有单调性，故B错误；‎ 选项C，记y=f（x）=cos2x+sin（﹣x）=cos2x+cosx，可得f（﹣x）=cos2（﹣x）+cos（﹣x）=f（x）‎ 故可得原函数是偶函数，故C正确；‎ 选项D，函数y=sin|2x+|的图象可由y=sin|2x|的图象向左平移个单位得到，‎ 而函数y=sin|2x|为偶函数，其图象关于y轴对称，没有周期性，故函数y=sin|2x+|没有周期性，故D错误．‎ 故选C 点评：‎ 本题考查命题真假的判断与应用，涉及三角函数的知识，属基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（3，﹣3）‎ B．‎ ‎（﹣4，11）‎ C．‎ ‎（3，﹣3）或（﹣4，11）‎ D．‎ 不存在 考点：‎ 函数在某点取得极值的条件．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得 解之即可求出a和b的值．‎ 解答：‎ 解：对函数f（x）求导得 f′（x）=3x2﹣2ax﹣b，‎ 又∵在x=1时f（x）有极值10，‎ ‎∴，‎ 解得 或 ，‎ 验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知向量，=（m，﹣1），m∈R，则△ABC面积的最小值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ D．‎ 不存在 考点：‎ 向量在几何中的应用．‎ 专题：‎ 平面向量及应用．‎ 分析：‎ 由已知中两个向量的坐标，可得向量，=（m，﹣1）的模均为，且两个向量垂直，代入三角形面积公式，结合两次函数的性质，可得△ABC面积的最小值 解答：‎ 解：∵向量，=（m，﹣1）‎ 则||=||=‎ 且•=m﹣m=0，‎ 即⊥‎ ‎∴△ABC面积S=•=（1+m2）‎ 当m=0时，△ABC面积的最小值为 故选C 点评：‎ 本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中求出两个向量的模及夹角，进而代入三角形面积公式，求出△ABC面积的表达式是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）若方程‎2a•9sinx+‎4a•3sinx+a﹣8=0有解，则a的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a＞0或a≤﹣8‎ B．‎ a＞0‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 函数的值域．‎ 分析：‎ 含有参数的方程有解问题可以和函数值域建立联系，需要注意三角函数的有界性．‎ 解答：‎ 解：若方程‎2a•9sinx+‎4a•3sinx+a﹣8=0有解，则 等价于求的值域 ‎∵‎ ‎∴2•9sinx+4•3sinx+1‎ 则a的取值范围为 故选D．‎ 点评：‎ 等价转化思想是数学重要思想之一，含有参数的方程有解问题通常可以和函数值域建立联系．注意三角函数的有界性：sinx∈[﹣1，1]．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知集合A={a1，a2，a3…an}，记和ai+aj（1≤i≤j≤n）中所有不同值的个数为M（A），如当A={1，2，3，4}时，由1+2=3，1+3=4，1+4=2+3=5，2+4=6，3+4=7，得M（A）=5．对于集合B={b1，2，b3…bn}，若实数b1，b2…bn成等差数列，则M（B）等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2n﹣3‎ B．‎ ‎2n﹣2‎ C．‎ ‎2n﹣1‎ D．‎ ‎2n 考点：‎ 进行简单的合情推理．‎ 专题：‎ 新定义；等差数列与等比数列．‎ 分析：‎ 把 bi+bj （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成图表，严格利用题目给出的新定义，采用列举法来进行求解即可．‎ 解答：‎ 解：对于集合B={b1，b2，b3，…，bn}，若实数b1，b2，b3，…，bn成等差数列，‎ 则 bi+bj （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成如下各列所示图表：‎ b1+b2，b2+b3，b3+b4，…，bn﹣1+bn，‎ b1+b2，b2+b4，b3+b5，…，bn﹣2+bn，‎ ‎ …，…，…，‎ b1+bn﹣2，b2+bn﹣1，b3+bn，‎ b1+bn﹣1，b2+bn，‎ b1+bn，‎ ‎∵数列{bn}是等差数列，‎ ‎∴b1+b4=b2+b3，b1+b5=b2+b4，…，b1+bn=b2+bn﹣1．‎ ‎∴第二列中只有 b2+bn 的值和第一列不重复，即第二列剩余一个不重复的值，‎ 同理，以后每列剩余一个与前面不重复的值，‎ ‎∵第一列共有n﹣1个不同的值，后面共有n﹣1列，‎ ‎∴所有不同的值有：n﹣1+n﹣2=2n﹣3，故M（B）=2n﹣3，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查进行简单的合情推理，属于新定义的创新题，主要考查等差数列的定义和性质，题目篇幅长，难于理解是解决这一问题的障碍，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2010•肥城市模拟）在正三棱锥A﹣BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=1，则A﹣BCD的体积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ 先证明AC⊥面ABD，然后求底面ACD的面积，即可求出体积．‎ 解答：‎ 解：EF⊥DE，EF∥AC∴AC⊥DE，又AC⊥BD∴AC⊥面ABD，‎ AB=AC=AD=，可求体积：‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查椎体体积计算公式，考查空间想象能力，是基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．‎ ‎11．（5分）已知1，a，b，c，16成等比数列，则b=　4　．‎ 考点：‎ 等比数列的通项公式．‎ 专题：‎ 等差数列与等比数列．‎ 分析：‎ 题目给出的数列是等比数列，设出其公比后利用给出的首项和第5项求出公比，则第3项b可求．‎ 解答：‎ 解：因为1，a，b，c，16成等比数列，‎ 设其公比为q，则16=1×q4，所以q2=4，‎ 则b=1×q2=4．‎ 故答案为4．‎ 点评：‎ 本题考查了等比数列的通项公式，是基础题型，但该题若用等比中项来求，将会出现错误的答案，得到b=±4，此时需要考虑把﹣4舍掉，此题也是也错题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2011•虹口区三模）直线x﹣y+5=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣4=0所截得的弦长等于　2　．‎ 考点：‎ 直线与圆相交的性质．‎ 专题：‎ 计算题；规律型；转化思想；综合法．‎ 分析：‎ 先求出圆心到直线的距离既得弦心距，求出圆的半径，利用勾股定理求出弦长的一半，即可求得弦长 解答：‎ 解：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4=0可变为（x﹣1）2+（y﹣2）2=9，故圆心坐标为（1，2），半径为3‎ 圆心到直线x﹣y+5=0的距离是=2‎ 故弦长的一半是=1‎ 所以弦长为2‎ 故答案为：2．‎ 点评：‎ 本题考查直线与圆相交的性质，解题的关键是了解直线与圆相交的性质，半径，弦心距，弦长的一半构成一个直角三角形，掌握点到直线的公式，会用它求点直线的距离．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）不等式的解集是　{x|0＜x＜1或x＞2}　．‎ 考点：‎ 其他不等式的解法．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 把原不等式化简得 ＞0，利用穿根法求出它的解集．‎ 解答：‎ 解：由不等式可得 ＞0，化简得 ＞0，‎ 解得0＜x＜1或x＞2，故不等式的解集为{x|0＜x＜1或x＞2}，‎ 故答案为 {x|0＜x＜1或x＞2}．‎ 点评：‎ 本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2011•韶关模拟）在△ABC中，若a=b=1，，则∠C=　　．‎ 考点：‎ 正弦定理；余弦定理．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 运用余弦定理，可以计算出角C的余弦值，再结合∠C∈（0，π），可得∠C=．‎ 解答：‎ 解：根据余弦定理得：‎ ‎ 又因为C∈（0，π），‎ ‎ 所以∠C=‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 本题考查了正、余弦定理在解三角形中的应用，属于简单题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）观察下列式子：，，，…，根据以上式子可以猜想：　　．‎ 考点：‎ 归纳推理．‎ 专题：‎ 规律型；不等式的解法及应用．‎ 分析：‎ 确定不等式的左边各式分子是1，分母是自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，即可求得结论．‎ 解答：‎ 解：观察下列式子：，，，…，可知不等式的左边各式分子是1，分母是自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，‎ 故可得 故答案为 点评：‎ 本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题，‎ ‎　‎ ‎16．（5分）设函数f（2x）的定义域为[1，2]，求f（log2x）的定义域 　[4，16]　．‎ 考点：‎ 函数的定义域及其求法；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由函数f（2x）的定义域为[1，2]，可知自变量的范围，进而求得2x的范围，也就知道了log2x的范围，从而求得自变量的范围．‎ 解答：‎ 解：∵函数f（2x）的定义域为[1，2]，‎ ‎∴2≤2x≤4‎ ‎∴2≤log2x≤4‎ ‎∴4≤x≤16‎ ‎∴f（log2x）的定义域为：[4，16]‎ 故答案为：[4，16]‎ 点评：‎ 本题主要考查抽象函数定义域的求法，要紧扣定义域的定义，同时，谁占了自变量的位置谁就必须满足其要求．‎ ‎　‎ ‎17．（5分）（2013•静安区一模）设P是函数y=x+（x＞0）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则的值是　﹣1　．‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算．‎ 专题：‎ 平面向量及应用．‎ 分析：‎ 设P（x0，）（x0＞0），可得|PA|，|PB|，由O、A、P、B四点共圆，可得∠APB=，由数量积定义可求．‎ 解答：‎ 解：设P（x0，）（x0＞0），则点P到直线y=x和y轴的距离分别为 ‎|PA|==，|PB|=x0．‎ ‎∵O、A、P、B四点共圆，所以∠APB=π﹣∠AOB=‎ ‎∴==﹣1‎ 故答案为：﹣1‎ 点评：‎ 本题考查平面向量数量积的运算，涉及点到直线的距离公式和四点共圆的性质，属中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（12分）（2011•潍坊一模）函数的部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）设，求函数g（x）在上的最大值，并确定此时x的值．‎ 考点：‎ 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．‎ 专题：‎ 计算题；数形结合．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）由图读出A，最高点到时左边第一个零点的横坐标的差的绝对值为四分之一周期，求出周期T，进而求出ω，代入点的坐标求出φ，得f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的解析式，把x﹣代入求f（x﹣），进而求出g（x），利用降幂公式得一个角一个三角函数值，由x的范围，求出3x+的范围，借助余弦函数的图象，求出cos（3x+）的范围，进一步求出最大值．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）由图知A=2，，则∴‎ ‎∴f（x）=2sin（x+φ），∴2sin（×+φ）=2，‎ ‎∴sin（+φ）=1，∴+φ=，∴φ=，‎ ‎∴f（x）的解析式为 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：‎ ‎∴‎ ‎∵∴‎ ‎∴当即时，g（x）max=4‎ 点评：‎ 给出条件求y=Asin（ωx+φ）的解析式，条件不管以何种方式给出，一般先求A，再求ω，最后求φ；求三角函数最值时，一般要把式子化为y=Asin（ωx+φ）+B或y=Acos（ωx+φ）+B的形式，从x的范围由里向外扩，一直扩到Asin（ωx+φ）+B或Acos（ωx+φ）+B的范围，即函数f（x）的值域，数形结合，看ωx+φ为多少时，取得最值．用到转化化归的思想．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）某企业拟在2012年度进行一系列促销活动，已知某产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，已知2012年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用．若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．‎ ‎（1）将2012年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数 ‎（2）该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）‎ 考点：‎ 函数模型的选择与应用．‎ 专题：‎ 应用题；函数的性质及应用．‎ 分析：‎ ‎（1）根据3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，可求出k的值；进而通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数；‎ ‎（2）利用基本不等式求出最值，即可得结论．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意：，将t=0，x=1代入得k=2‎ ‎∴‎ 当年生产x（万件）时，年生产成本=，当销售x（万件）时，年销售收入=150%‎ 由题意，生产x万件产品正好销完，∴年利润=年销售收入﹣年生产成本﹣促销费 即 ‎（2），此时t=7，ymax=42．‎ 点评：‎ 本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题 ‎　‎ ‎20．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB1上一点，且平面DA‎1C⊥平面AA‎1C1C．‎ ‎（1）求证：D点为棱BB1的中点；‎ ‎（2）若二面角A﹣A1D﹣C的平面角为60°，求的值．‎ 考点：‎ 平面与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题．‎ 专题：‎ 计算题；证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用同一性证明，先作出AC中点F，DE⊥A‎1C于E点，再证明出EF=BD，EF平行且等于AA1，从而得出BD=BB1即可．‎ ‎（2）方法一作出相应的辅助线，作出二面角的平面角，利用角为60度建立方程，求出比值．‎ 方法二建立空间坐标系，将两线段的长度转化为坐标，求出两个平面的法向量，利用夹角公式建立方程求出两线段长度之间的比值．‎ 解答：‎ 证明：（1）过点D作DE⊥A‎1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF．‎ ‎∵面DA‎1C⊥面AA‎1C1C且相交于A‎1C，面DA‎1C内的直线DE⊥A‎1C，∴DE⊥面AA‎1C1C．（3分）‎ 又∵面BAC⊥面AA‎1C1C且相交于AC，且△ABC为等腰三角形，易知BF⊥AC，‎ ‎∴BF⊥面AA‎1C1C．由此知：‎ DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，‎ 又易知BB1∥面AA‎1C1C，故有DB∥EF，从而有EF∥AA1，‎ 又点F是AC的中点，所以，所以D点为棱BB1的中点．（6分）（2）（法一）∵面AA1B1B⊥面ABC，面ABC∩面AA1B1B=AB，BC⊥AB，‎ ‎∴BC⊥面AA1DB，延长A1D交AB的延长线于点M，过B作BH⊥A1D交A1D于点H，连接CH，则CH⊥A1D，‎ ‎∴∠CHB为二面角A﹣A1D﹣C的平面角，且∠CHB=60°，（9分）‎ 设A‎1A=2b，AB=BC=a，由①易知BD=b，BM=a，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴（12分）（法二）建立如图所示直角坐标系，‎ 设AA1=2b，AB=BC=a，‎ 则D（0，0，b），A1（a，0，2b），C（0，a，0），‎ 所以，（8分）‎ 设面DA‎1C的法向量为，则 可取又 可取平面AA1DB的法向量，‎ ‎==（10分）‎ 据题意有：，‎ 解得：所以（12分）‎ 点评：‎ 考查几何证明与二面角的性质，通过第二小题的对比可以看到，用向量法解决此类问题比几何法方便快捷，思维难度大大降低．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2011•甘肃一模）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c图象上一点M（1，m）处的切线方程为y﹣2=0，其中a，b，c为常数．‎ ‎（Ⅰ）函数f（x）是否存在单调减区间？若存在，则求出单调减区间（用a表示）；‎ ‎（Ⅱ）若x=1不是函数f（x）的极值点，求证：函数f（x）的图象关于点M对称．‎ 考点：‎ 利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）f（x）=x3+ax2+bx+c，f′（x）=3x2+2ax+b，由题意，知m=2，b=﹣‎2a﹣3，c=a+4，，由此进行分类讨论能求出单调减区间．‎ ‎（Ⅱ）由x=1不是函数f（x）的极值点，a=﹣3，b=3，c=1，f（x）=x3﹣3x2+3x+1=（x﹣1）3+2，设点P（x0，y0）是函数f（x）的图象上任一点，则y0=f（x0）=（x0﹣1）3+2，点p（x0，y0）关于点M（1，2）的对称点为Q（2﹣x0，4﹣y0），再由点P的任意性知函数f（x）的图象关于点M对称．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）f（x）=x3+ax2+bx+c，f′（x）=3x2+2ax+b，（1分）‎ 由题意，知m=2，f（1）=1+a+b+c=2，f′（1）=3+‎2a+b=0，‎ 即b=﹣‎2a﹣3，c=a+4（2分）‎ ‎，（3分）‎ ‎1当a=﹣3时，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调增加，‎ 不存在单调减区间；（5分）‎ ‎2当a＞﹣3时，﹣1﹣＜1，有 x ‎（﹣）‎ ‎（﹣1﹣，1）‎ ‎（1，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎﹣‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↑‎ ‎↓‎ ‎↑‎ ‎∴当a＞﹣3时，函数f（x）存在单调减区间，为[﹣1﹣，1]（7分）‎ ‎3当a＜﹣3时，﹣1﹣＞1，有 x ‎（﹣∞，1）‎ ‎（1，﹣1﹣）‎ ‎（﹣1﹣，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎﹣‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↑‎ ‎↓‎ ‎↑‎ ‎∴当a＜﹣3时，函数f（x）存在单调减区间，为[1，﹣1﹣]（9分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x=1不是函数f（x）的极值点，则a=﹣3，‎ b=3，c=1，f（x）=x3﹣3x2+3x+1=（x﹣1）3+2（10分）‎ 设点P（x0，y0）是函数f（x）的图象上任意一点，则y0=f（x0）=（x0﹣1）3+2，‎ 点p（x0，y0）关于点M（1，2）的对称点为Q（2﹣x0，4﹣y0），‎ ‎∵f（2﹣x0）=（2﹣x0﹣1）3+2=﹣（x0﹣1）3+2=2﹣y0+2=4﹣y0‎ ‎∴点Q（2﹣x0，4﹣y0）在函数f（x）的图象上．‎ 由点P的任意性知函数f（x）的图象关于点M对称．（14分）‎ 点评：‎ 本题考查函数的单调性，具有一定的难度，解题时要结合导数的性质，合理地进行解答．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）已知函数f（x）=x﹣4+4（x≥4）的反函数为f﹣1（x），数列{an}满足：a1=1，an+1=f﹣1（an），（n∈N*），数列b1，b2﹣b1，b3﹣b2，…，bn﹣bn﹣1是首项为1，公比为的等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列；‎ ‎（Ⅱ）若cn=•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．‎ 考点：‎ 数列的求和；等差关系的确定；等比数列的性质．‎ 专题：‎ 等差数列与等比数列．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）求出函数f（x）=x﹣4+4（x≥4）的反函数，把an+1=f﹣1（an）代入，整理后即可证明数列{}为等差数列；‎ ‎（Ⅱ）由数列{}为等差数列求出数列{}通项公式，进一步得到数列{an}的通项公式，再由数列b1，b2﹣b1，b3﹣b2，…，bn﹣bn﹣1是首项为1，公比为的等比数列，求出{bn}的通项公式，代入cn=•bn后化简，然后利用分组求和和错位相减法求和可得数列{cn}的前n项和Sn．‎ 解答：‎ ‎（Ⅰ）证明：∵函数f（x）=x﹣4+4（x≥4），即（x≥4），‎ ‎∴（y≥0），∴ （x≥2），‎ ‎∴an+1=f﹣1（an）=，‎ 即 （n∈N*）．‎ ‎∴数列{}是以为首项，公差为2的等差数列．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得：，‎ 即 （n∈N*）．‎ 由b1=1，当n≥2时，，‎ ‎∴bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ 因而 （n∈N*）．‎ 由cn=•bn，得：=，‎ ‎∴Sn=c1+c2+…+cn ‎=‎ ‎=．‎ 令 ①‎ 则 ②‎ ‎①﹣②得，‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎∴．‎ 又1+3+5+…+（2n﹣1）=n2．‎ ‎∴．‎ 点评：‎ 本题考查了由递推式确定数列是等差数列，考查了等比数列的性质，训练了等差数列和等比数列通项公式的求法，考查了利用分组法和错位相减法求数列的前n项和，求一个等差数列和一个等比数列的积数列的前n项和，一般都用错位相减法，此题是中档题．‎ ‎　‎