贵州省遵义市航天高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题

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贵州省遵义市航天高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题

www.ks5u.com ‎2019-2020学年第一学期第三次月考试题 高一数学 一、选择题:(每小题5分,共12小题,共60分)‎ ‎1.满足的集合A的个数为( )‎ A. 4 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据{1}⊆A⊆{1,2,3,4}分析出集合A的所有结果即可.‎ ‎【详解】因为{1}⊆A⊆{1,2,3,4},所以A={1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{1,2,3,4},‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的包含关系,是基础题.‎ ‎2.计算的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可.‎ 详解】cos(﹣840°)=cos840°=cos120°.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查余弦函数的应用,三角函数的化简求值,考查计算能力.‎ ‎3.要得到函数的图象,只要将函数的图象( )‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数图像的平移变换规律:左加右减即可得答案.‎ ‎【详解】,‎ 故要得到的图象,‎ 只需将函数的图象向右平移个单位,‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换,该类题目要注意平移方向及平移对象.‎ ‎4.已知函数,包含的零点的区间是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 判断函数的单调性,求出f(1),f(2)函数值的符号,利用零点判定定理判断即可.‎ ‎【详解】函数,是减函数,又f(1)00,‎ f(2)=﹣log22=<0,‎ 可得f(1)f(2)<0,由零点判定定理可知:函数,包含零点的区间是:(1,2).由选项可得A符合题意;‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点判定定理的应用,考查计算能力,注意函数单调性的判断.‎ ‎5.如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 作于点,在中,,则,‎ 扇形的面积.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛:(1)在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.‎ ‎(2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发,在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.‎ ‎6.函数在上不单调,则实数a的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一元二次函数在[﹣1,2]上不单调,故对称轴在区间(﹣1,2)上,建立不等关系解出即可.‎ ‎【详解】因为函数f(x)=x2﹣(4a﹣1)x+5在[﹣1,2]上不单调,‎ 所以﹣12,解得,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次函数的图象和性质,不等式的解法,属于基础题.‎ ‎7.已知那么等于( )‎ A. 2 B. 1 C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考查的形式,把f(8)化为f(x3)的形式,即可.‎ ‎【详解】∵,∴f(8),‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数含义,函数值的求法,是基础题;本题也可以先求函数f(x)的解析式,代入求值即可.‎ ‎8.已知,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法设=θ,则θ,然后利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可.‎ ‎【详解】设=θ,则θ,∴,‎ 即sin(θ),即cosθ 即cos(),‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的化简和求值,利用换元法进行转化,结合三角函数的诱导公式是解决本题的关键.‎ ‎9.设,其中都是非零实数,若,那么( )‎ A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式求得asinα+bcosβ=1,由此利用诱导公式可得 f(2020)的值.‎ ‎【详解】f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,‎ 若f(2019)=asin(2019π+α)+bcos(2019π+β)=﹣asinα﹣bcosβ=﹣1,则asinα+bcosβ=1,‎ 那么 f(2020)=asin(2020π+α)+bcos(2020π+β)=asinα+bcosβ=1,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式的应用,属于基础题.‎ ‎10.函数的部分图像如图所示,则 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:由题图知,,最小正周期,所以,所以.因为图象过点,所以,所以,所以,令,得,所以,故选A.‎ ‎【考点】 三角函数的图像与性质 ‎【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是:先根据函数 图像的最高点、最低点确定A,h的值,由函数的周期确定ω的值,再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值.‎ ‎11.已知函数满足当时,,那么函数的图像与函数的图像的交点共有( )个 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件判断函数的周期性,作出函数f(x)和y=|lgx|的图象,利用数形结合即可得到结论.‎ ‎【详解】∵∴f(x+2)=f(x),‎ ‎∴函数y=f(x)的周期为2,‎ 当x∈[﹣1,1]时,f(x)=x2,‎ ‎∴f(10)=f(0)=0,‎ f(11)=f(1)=1‎ 当x=10时,函数y=|lg10|=1,‎ 当x=11时,函数y=|lg11|>1,‎ 作出函数f(x)和y=|lgx|的图象如图:‎ 由图象可知两个函数的图象交点为10个,‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用函数图象数形结合解决图象交点问题的方法,利用函数的周期性画周期函数的图象,对数函数的图象和性质.‎ ‎12.已知函数为的零点,为图象的对称轴,且在单调,则的最大值为 A. 11 B. 9‎ C. 7 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知可得ω为正奇数,且ω≤12,结合x为f(x)的零点,x为y=f(x)图象的对称轴,求出满足条件的解析式,并结合f(x)在(,)上单调,可得ω的最大值.‎ ‎【详解】∵x为f(x)的零点,x为y=f(x)图象的对称轴,‎ ‎∴,即,(n∈N)‎ 即ω=2n+1,(n∈N)‎ 即ω为正奇数,‎ ‎∵f(x)在(,)上单调,则,‎ 即T,解得:ω≤12,‎ 当ω=11时,φ=kπ,k∈Z,‎ ‎∵|φ|,‎ ‎∴φ,‎ 此时f(x)在(,)不单调,不满足题意;‎ 当ω=9时,φ=kπ,k∈Z,‎ ‎∵|φ|,‎ ‎∴φ,‎ 此时f(x)在(,)单调,满足题意;‎ 故ω的最大值为9,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论:①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或.‎ 二、填空题:(每小题5分,共20分)‎ ‎13.若且,则函数的图象恒过定点______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据指数部分为零求解出的值,再根据的值即可计算出对应的的值,则图象恒过的定点为.‎ ‎【详解】令,得,,‎ 函数的图象恒过定点.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】对于形如,且的指数型函数,其恒过的定点的求解方法:‎ 先令,计算出的值即为定点的横坐标,再根据的值计算出的值即为纵坐标,所以恒过的定点为.‎ ‎14.幂函数y=f(x)的图象经过点(4,),则=______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 试题分析:设幂函数,由于过点,,得,,,故答案为2.‎ 考点:幂函数的应用.‎ ‎15.设函数,则满足的取值范是____________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析:画出函数的图象,利用函数的单调性列出不等式转化求解即可.‎ 详解:函数的图象如图:‎ 满足,‎ 可得或,‎ 解得.‎ 故答案为.‎ 点睛:本题考查分段函数的应用,函数的单调性以及不等式的解法,考查计算能力.‎ ‎16.已知函数的最大值为M,最小值为m,则_________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知函数化简可得,构造函数g(x)=,利用定义可知g(x)为奇函数,其图象关于原点对称,即最值和为0,而g(x)取最大值(最小值)时f(x)取最小值(最大值),整体代入求值 ‎【详解】‎ 令g(x)=,则g(﹣x)=﹣g(x)‎ ‎∴函数g(x)为奇函数,图象关于原点对称,最大值与最小值也关于原点对称,即函数g(x)的最大值与最小值的和为0‎ ‎∴M+m=1+g(x)min+1+g(x)max=2‎ 故答案为2‎ ‎【点睛】本题考查了利用函数的性质:奇偶性解决函数的最值问题,解题时,不是把最大及最小值分别求出,而是利用整体思想求解,要灵活运用该方法.‎ 三、解答题(17小题10分,18-22每小题12分,共70分)‎ ‎17.已知,求.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数诱导公式及同角基本关系式化简所求后即可得解.‎ ‎【详解】原式 ‎.‎ 因为,所以原式 ‎【点睛】本题主要考查了诱导公式,同角三角函数关系式,三角函数恒等变化的应用,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎18.已知,,且,,求和的值.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知及诱导公式可得sinαsinβ,,两边平方后相加可得,由α、β的范围即可解得所求.‎ ‎【详解】由已知,得,①‎ ‎,②‎ 由,得,‎ 即,所以.‎ 又,则.‎ 将代入①,得.‎ 又,故.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,考查了诱导公式,同角三角函数关系式的应用,属于基本知识的考查.‎ ‎19.已知函数,而函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称.‎ ‎(1)写出g(x)的解析式.‎ ‎(2)若时,总有恒成立,求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据图象关于原点对称求出解析式g(x)=﹣f(﹣x);‎ ‎(2)将问题转化为求函数f(x)+g(x)的最大值.‎ ‎【详解】(1)∵g(x)的图象与f(x)的图象关于原点中心对称,‎ ‎∴g(x)=﹣f(﹣x)=﹣loga(﹣x+1),‎ 即g(x)=loga,x<1;‎ 即.‎ ‎(2)记u(x)=f(x)+g(x)=loga(1+x)+logaloga,x∈[0,1),‎ ‎∵f(x)+g(x)≤m恒成立,∴m≥[loga]max,‎ 而u(x)=logaloga(﹣1),‎ 当a∈(0,1),x∈[0,1)时,u(x)单调递减,‎ 所以,u(x)max=u(0)=loga1=0,‎ 因此,m≥0.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的图象与性质,考查了对数复合函数的单调性及应用其求函数最值的方法,属于中档题.‎ ‎20.已知函数最小正周期是.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的单调区间.‎ ‎【答案】(1)(2)的单调递减区间为,单调递增区间为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据三角函数最小正周期Tπ,即可求ω的值.‎ ‎(2)将内层函数看作整体,放到正弦函数的单调区间上,解不等式得函数的单调区间.‎ ‎【详解】(1)因为,‎ 的最小正周期是,所以,所以.‎ ‎(2)由,‎ 得.‎ 故.‎ 所以的单调递增区间为.‎ 又由.‎ 得.‎ 故的单调递减区间为.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象及性质的运用,正弦函数的单调性问题,属于基础题.‎ ‎21.已知函数的图象的一条对称轴是直线,‎ ‎(1)求的值.‎ ‎(2)将的图象向右平移个单位后得到的图象,求当时,求函数的值域.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据三角函数的性质可知x处f(x)取得最值,结合已知范围即可求出;‎ ‎(2)根据三角函数的图象变换关系求出函数g(x)的表达式,结合三角函数的性质进行求解即可.‎ ‎【详解】(1)因为,所以,又,所以.‎ ‎(2)由(1),所以.‎ 因为,所以,所以.‎ 所以的值域为 ‎【点睛】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的性质求解析式,考查了图像变换及正弦函数的定义域和值域,属于中档题.‎ ‎22.据观测统计,某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约只,并以平均每年的速度增加.‎ ‎(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数;‎ ‎(2)写出(珍稀鸟类的个数)关于(经过的年数)的函数关系式;‎ ‎(3)约经过多少年以后,这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上?(结果为整数)(参考数据:,)‎ ‎【答案】(1)1166个;(2),(3)15年 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意求出一年后的只数,再求出两年后的只数即可;‎ ‎(2)根据珍稀鸟类的现有个数约只,并以平均每年的速度增加,列出函数关系即可;‎ ‎(3)由题意得到不等式,化简得到,利用对数运算的性质,化简即可求解.‎ ‎【详解】解:(1)依题意,一年后这种鸟类的个数为 两年后这种鸟类的个数为 ‎(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约只,并以平均每年的速度增加 则所求的函数关系式为, ‎ ‎(3)令,得:两边取常用对数得:,即 考虑到,故,故 因为 所以 ‎ 约经过15年以后,这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上 ‎【点睛】本题主要考查了利用指数函数模型解决实际问题,考查学生利用数学知识分析和解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎ ‎
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