山东省淄博市普通高中部分学校2019-2020学年高二下学期期末考试教学质量检测数学试题 Word版含解析

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山东省淄博市普通高中部分学校2019-2020学年高二下学期期末考试教学质量检测数学试题 Word版含解析

淄博市普通高中部分学校高二期末教学质量检测 数学试题 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.‎ ‎2.回答选择题时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 在复平面内,复数对应的点位于( ).‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数除法运算法则,求出的实部和虚部,即可得出结论.‎ ‎【详解】,‎ 对应点的坐标为,位于第三象限.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数的几何意义,属于基础题.‎ ‎2. 若函数,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出即可.‎ - 19 -‎ ‎【详解】因为,所以 故选:B ‎【点睛】本题考查的是导数的计算,属于基础题.‎ ‎3. 某校高二期末考试学生的数学成绩(满分150分)服从正态分布,且,则( )‎ A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据题意直接求在指定区间的概率即可.‎ ‎【详解】解:因为数学成绩服从正态分布,且,‎ 所以 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查利用正态分布求指定区间的概率,是基础题.‎ ‎4. 展开式的常数项为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出展开式的通项,整理可知当时为常数项,代入通项求解结果.‎ ‎【详解】展开式的通项公式为,‎ 当,即时,常数项为:,‎ 故答案选D.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项系数的问题,属于基础题.‎ ‎5. 已知离散型随机变量的分布列为:‎ - 19 -‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 缺失数据 则随机变量的期望为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分布列的性质求出缺失数据,然后求解期望即可.‎ ‎【详解】解:由分布列的概率的和为1,可得:缺失数据:.‎ 所以随机变量的期望为:.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列的性质以及期望的求法,属于基础题.‎ ‎6. 参加完某项活动的6名成员合影留念,前排和后排各3人,不同排法的种数为( )‎ A. 360 B. 720 C. 2160 D. 4320‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先排前排有种不同排法,再排后排种不同排法,最后计算出答案即可.‎ ‎【详解】解:分两步完成:‎ 第一步:从6人中选3人排前排:种不同排法;‎ 第二步:剩下的3人排后排:种不同排法,‎ 再按照分步乘法计数原理:种不同排法,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查排列问题,是基础题.‎ ‎7. 函数的图象大致是( )‎ - 19 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,分析可得为偶函数,可以排除,结合解析式求出、的值,排除、,即可得答案.‎ ‎【详解】解:根据题意,函数,有,函数为偶函数,排除,‎ 又由,排除,‎ ‎,函数在轴下方有图象,排除;‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象分析,注意分析函数的奇偶性与特殊值的函数值,属于基础题.‎ ‎8. 当调查敏感问题时,一般难以获得被调查者的合作,所得结果可能不真实,此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查.为调查某大学学生谈恋爱的比例.提出问题如下:问题1:你现在谈恋爱吗?问题2:你学籍号尾数是偶数吗?设计了一副纸牌共100张,其中75张标有数字1,25 张标有数字2.随机调查了该校1000名学生,每名学生任意抽取一张纸牌.若抽到标有数字1的纸牌回答问题1;若抽到标有数字2的纸牌回答问题2,回答“是”或“否”后放回.统计显示共有200名学生回答“是”,估计该大学学生现在谈恋爱的百分比是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 19 -‎ ‎【分析】‎ 由题意回答问题2的学生有250人,其中有125人回答是,由此得到回答问题的学生有750人,其中人回答是,从而能估计该大学学生现在谈恋爱的百分比.‎ ‎【详解】解:由题意回答问题2的学生有:人,‎ 回答问题2的学生有人回答是,‎ 回答问题的学生有750人,其中人回答是,‎ 该大学学生现在谈恋爱的百分比是:.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查该大学学生现在谈恋爱的百分比的求法,考查互斥事件、古典概型等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.‎ 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.‎ ‎9. 已知函数,则( )‎ A. B. 函数的极小值点为0‎ C. 函数的单调递减区间是 D. ,不等式恒成立 ‎【答案】AB ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在已知函数解析式中,取求得判断;把代入函数解析式,利用导数求函数的单调性并求极值、最值判断.‎ ‎【详解】解:在中,取,可得.‎ 故正确;‎ 则,,.‎ 在上为增函数,‎ - 19 -‎ ‎,‎ 当时,,当时,,‎ 则在上单调递减,在上单调递增,‎ 的极小值为,即,故正确;错误.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值、最值,考查运算求解能力,属于中档题.‎ ‎10. 下列说法正确的是( )‎ A. 对于独立性检验,随机变量的观测值值越小,判定“两变量有关系”犯错误的概率越小 B. 在回归分析中,相关指数越大,说明回归模型拟合的效果越好 C. 随机变量,若,,则 D. 以拟合一组数据时,经代换后的线性回归方程为,则,‎ ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选项A对于独立性检验,随机变量的观测值值越小,判定“两变量有关系”犯错误的概率越大,判断选项A错误;选项B先说明残差平方和越小,所以回归模型拟合的效果越好,判断选项B正确;选项C先建立方程求出,判断选项C错误;选项D先求出回归方程,再求出,,判断选项D正确.‎ ‎【详解】选项A:对于独立性检验,随机变量的观测值值越小,判定“两变量有关系”犯错误的概率越大,故选项A错误;‎ 选项B:在回归分析中,相关指数越大,残差平方和越小,说明回归模型拟合的效果越好,故选项B正确;‎ - 19 -‎ 选项C:随机变量,若,,则,解得:,故选项C错误;‎ 选项D:因,所以,令,‎ 则,又,所以,,则,,故选项D正确.‎ 故选:BD.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验、回归分析、二项分布、线性回归方程求参数,是中档题.‎ ‎11. 下列说法正确的是( )‎ A. 若,则 B. 若复数,满足,则 C. 若复数的平方是纯虚数,则复数的实部和虛部相等 D. “”是“复数是虚数”的必要不充分条件 ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求得判断A;设出,,证明在满足时,不一定有判断B;举例说明C错误;由充分必要条件的判定说明D正确.‎ ‎【详解】若,则,故A正确;‎ 设,‎ 由,可得 则,而不一定为0,故B错误;‎ - 19 -‎ 当时为纯虚数,其实部和虚部不相等,故C错误;‎ 若复数是虚数,则,即 所以“”是“复数是虚数”的必要不充分条件,故D正确;‎ 故选:AD ‎【点睛】本题考查的是复数的相关知识,考查了学生对基础知识的掌握情况,属于中档题.‎ ‎12. 经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量.一般的,如果函数存在导函数,称为函数的弹性函数,下列说法正确的是( )‎ A. 函数(为常数)的弹性函数是 B. 函数的弹性函数是 C. ‎ D. ‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用题目中的定义和导数的运算逐一判断即可.‎ ‎【详解】对于A,,即A正确;‎ 对于B,,即B正确;‎ 对于C,‎ 而,二者不相等,即C错误;‎ - 19 -‎ 对于D,‎ 即D正确 故选:ABD ‎【点睛】本题是一道新定义的题,考查了学生的分析能力和转化能力,较难.‎ 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13. 曲线在点处的切线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数,然后求出切线的斜率,再求出切线方程.‎ ‎【详解】解:的导数为,‎ 可得曲线在点处的切线斜率为,‎ 则曲线在点处的切线方程为,即.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程,考查方程思想和运算能力,属于基础题.‎ ‎14. 用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上,要求相邻面不同色,共有_______种涂法.‎ ‎【答案】72‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先给底面涂色,有4种涂法,设4个侧面为、、、,然后给、面;给面,分与相同色、与不同色,利用乘法原理可得结论.‎ ‎【详解】解:先给底面涂色,有4种涂法,设4个侧面为、、、,‎ 然后给面涂色,有3种;给面涂色,有2种;‎ - 19 -‎ 给面,若与相同色,则面可以涂2种;若与不同色,则面可以涂1种,‎ 所以共有.‎ 故答案为:72.‎ ‎【点睛】本题考查计数原理的运用,考查学生分析解决问题的能力,正确分步是关键,属于中档题.‎ ‎15. 若复数满足,则的最小值为______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件可知,复数z在复平面内对应的点在以C(3,4)为圆心,以1为半径的圆上,进而求出|z|的最小值.‎ ‎【详解】满足|z﹣3﹣4i|=1的复数z在复平面内对应的点在以C(3,4)为圆心,以1为半径的圆上,如图所示,‎ 则|z|的最小值为.‎ 故答案为:4.‎ ‎【点睛】本题考查复数模的求法,复数的代数表示法及其几何意义,也考查数形结合的解题思想方法,属于基础题.‎ ‎16. 已知,得______.若 - 19 -‎ ‎,则______.‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用赋值法解决即可.‎ ‎【详解】令可得 令可得 令可得 因为 所以,,结合可解得 故答案为:1;.‎ ‎【点睛】本题考查的是利用赋值法解决二项式展开式的系数和问题,较简单.‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,通过汇总数据得到下面等高条形图:‎ ‎(1)根据所给等高条形图数据,完成下面的列联表:‎ 满意 不满意 男顾客 - 19 -‎ 女顾客 ‎(2)根据(1)中列联表,判断是否有的把握认为顾客对该商场服务的评价与性别有关?‎ 附:,.‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1)答案见解析;(2)没有的把握认为顾客对该商场服务的评价与性别有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等高条形图中的数据可得答案;‎ 计算出的值,然后与作比较即可.‎ ‎【详解】(1)由等高条形图中的数据可得:‎ 男顾客中满意的人数为:,不满意的人数为 女顾客中满意的人数为:,不满意的人数为 所以列联表如下:‎ 满意 不满意 男顾客 ‎40‎ ‎10‎ 女顾客 ‎30‎ ‎20‎ ‎(2)‎ 因为 所以没有的把握认为顾客对该商场服务的评价与性别有关.‎ - 19 -‎ ‎【点睛】本题考查的是独立性检验,考查了学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎18. 据某县水资源管理部门估计,该县乡村饮用水井中含有杂质.为了弄清该估计值是否正确,需要进一步验证.由于对所有的水井进行检测花费太大,所以决定从全部饮用水井中随机抽取5口水井检测.‎ ‎(1)假设估计值是正确的,求抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质的概率;‎ ‎(2)在概率中,我们把发生概率非常小(一般以小于0.05为标准)的事件称为小概率事件,意思是说,在随机试验中,如果某事件发生的概率非常小,那么它在一次试验中几乎是不可能发生的.假设在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质,试判断“该县的乡村饮用水井中含有杂质”的估计是否正确,并说明理由.‎ 参考数据:,,.‎ ‎【答案】(1);(2)“该县乡村饮用水井中含有杂质”的估计是错误的.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用独立重复试验与对立事件的概率求解;‎ ‎(2)利用二项分布求得在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质的概率,与0.05比较大小得结论.‎ ‎【详解】解:(1)假设估计值是正确的,即随机抽一口水井,含有杂质的概率.‎ 抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质的概率;‎ ‎(2)在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质的概率为.‎ 说明在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质是小概率事件,它在一次试验中几乎是不可能发生的,‎ 说明“该县的乡村饮用水井中含有杂质”的估计是错误的.‎ ‎【点睛】本题考查独立重复试验与二项分布在解决实际问题中的应用,考查计算能力,属于中档题.‎ ‎19. 已知函数.‎ ‎(1)若,证明:当时,;‎ - 19 -‎ ‎(2)若过点可作曲线的3条切线,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)若,则,令,求导,利用单调性求得,即可得证;‎ ‎(2)设切点为,由,可得关于的方程,由过点可作曲线的3条切线,可得方程有三个解,令,根据函数的单调性求出的范围即可.‎ ‎【详解】(1)证明:若,则,‎ 令,‎ 则,‎ 当时,,函数为增函数,‎ 所以(3),‎ 即,得证.‎ ‎(2)解:设切点为,又,‎ 则,‎ 整理得,由题意可知此方程有三个解,‎ 令,‎ ‎,‎ 由,解得或,由解得,‎ 即函数在,上单调递增,在上单调递减.‎ - 19 -‎ 要使得有3个根,则,且(1),‎ 解得,即的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及转化思想,属于中档题.‎ ‎20. 线上学习是有效的教学辅助形式,向阳中学高二某班共有10名学困生(独立学习有困难),为及时给学困生释惑答疑,每天上午和下午各安排1次在线答疑.因多种原因,每次只能满足6名学生同时登录参加在线答疑,且在上午和下午各有6名学生相互独立的登录参加在线答疑.‎ ‎(1)记“10名学困生每天每人至少参加一次在线答疑”为事件,求;‎ ‎(2)用表示该班每天上午和下午都参加在线答疑的学困生人数,求的分布列及的期望值.‎ ‎【答案】(1);(2)的分布列详见解析,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分情况讨论上下午参加答疑学生的人数,用事件A的基本事件数除以样本空间总数可得答案;‎ ‎(2)求可能取值对应的概率,列出分布列,再求期望值.‎ ‎【详解】(1)问题中要做一件事:10位学生参加在线答疑,样本空间有三种情况:上午与下午均参加,上午参加下午不参加,上午不参加下午参加:‎ 而上午与下午参加的学生只有5种情形:2人,3人,4人,5人,6人,‎ 有2人上下午均参加时,剩下的学生有4人选上午,4人选下午,共有种可能,‎ 有3人上下午均参加时,剩下的学生有3人选上午,3人选下午,共有种可能,‎ 在4人上下午均参加时,剩下的学生有2人选午,2人选下午,共有种可能,‎ 有5人上下午均参加时,剩下的学生有1人选上午,1人选下午,共有种可能,‎ 有6人上下午均参加时,剩下的学生有0人选上午,0人选下午,共有种可能,‎ - 19 -‎ 样本空间总数为++++=44100,‎ 事件A的基本事件数为:有2人上下午均参加时,剩下的学生有4人选上午,4人选下午,共有,由此能求出P(A).‎ ‎(2)用表示该班每天上午和下午都参加在线答疑的学困生人数,可能取值为2,3,4,5,6,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以的分布列为:‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 的期望值.‎ ‎【点睛】本题考查了概率、随机变量的分布列,要熟练的求出变量对应的概率,列出分布列求出期望值.‎ ‎21. 随着人民生活水平的日益提高,某小区拥有私家车的数量与日俱增,物业公司统计了近六年小区私家车的数量,数据如下:‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ - 19 -‎ 数量(辆)‎ ‎41‎ ‎96‎ ‎116‎ ‎190‎ ‎218‎ ‎275‎ ‎(1)若该小区私家车的数量与年份编号的关系可用线性回归模型来拟合,请求出关于的线性回归方程,并用相关指数分析其拟合效果(精确到0.01);‎ ‎(2)由于该小区没有配套停车位,车辆无序停放易造成交通拥堵,因此物业公司预在小区内划定一定数量的停车位,若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要,则至少需要规划多少个停车位.‎ 参考数据:,,,.‎ 附:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,,相关指数,残差.‎ ‎【答案】(1);拟合效果较好;(2)至少需要规划409个停车位 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知数据求得与的值,则线性回归方程可求,再求出残差平方和,代入相关指数公式求得,根据与1的接近程度分析拟合效果;‎ ‎(2)在(1)中求得线性回归方程中,取求得值即可.‎ ‎【详解】解:(1),.‎ ‎,‎ ‎.‎ 关于的线性回归方程为.‎ 时,,时,,时,,‎ - 19 -‎ 时,,时,,时,.‎ ‎.‎ ‎,‎ 相关指数近似为0.97,接近1,说明拟合效果较好;‎ ‎(2)在(1)中求得的线性回归方程中,取,‎ 可得.‎ 故若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要,则至少需要规划409个停车位.‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程与相关指数的求法,考查运算求解能力,属于中档题.‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎(1)若时,求函数的单调区间;‎ ‎(2)若时,不等式恒成立,求实数的最大值.‎ ‎【答案】(1)的单调递减区间为,(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将代入函数解析式中,求导,即可求得单调区间;‎ ‎(2)若时,不等式恒成立,即为时,不等式恒成立,转化为求在上单调递减时的取值范围,即可求得的最大值.‎ ‎【详解】(1)若,则 所以 所以函数在定义域上单调递减,‎ 即函数的单调递减区间为 ‎(2)因为 - 19 -‎ 所以若时,不等式恒成立,即为时,不等式恒成立,‎ 所以只需满足在上单调递减即可,即 所以 令,则恒成立 即恒成立 若,在上单调递减,只需满足,解得 若,,不成立 若,在上单调递增,,不满足 综上:的取值范围为,即的最大值为 ‎【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性和解决恒成立问题,考查了学生的分析能力和转化能力,属于较难题.‎ - 19 -‎
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