【数学】2021届一轮复习人教版文36直接证明与间接证明作业

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【数学】2021届一轮复习人教版文36直接证明与间接证明作业

课时作业36 直接证明与间接证明 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1.要证明+<4可选择的方法有以下几种,其中最合理的为(  )‎ A.综合法 B.分析法 C.比较法 D.归纳法 解析:要证明+<4,只需证明(+)2<16,即8+2<16,即证明<4,亦即只需证明15<16,而15<16显然成立,故原不等式成立.因此利用分析法证明较为合理,故选B.‎ 答案:B ‎2.用反证法证明命题:“ a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为(  )‎ A.a,b都能被5整除 B.a,b都不能被5整除 C.a,b不都能被5整除 D.a不能被5整除 解析:“至少有一个”的否定是“一个也没有”,即“a,b都不能被5整除”.‎ 答案:B ‎3.设x,y,z∈R+,a=x+,b=y+,c=z+,则a,b,c三个数(  )‎ A.至少有一个不大于2 B.都小于2‎ C.至少有一个不小于2 D.都大于2‎ 解析:假设a,b,c都小于2,则a+b+c<6,而a+b+c=x++y++z+=(x+)+(y+)+(z+)≥2+2+2=6,与a+b+c<6矛盾,‎ ‎∴a,b,c都小于2错误.‎ ‎∴a,b,c三个数至少有一个不小于2.故选C项.‎ 答案:C ‎4.若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系是(  )‎ A.P>Q B.P=Q C.PQ,要证P>Q,只需证P2>Q2,只需证:‎ ‎2a‎+13+2>‎2a+13+2,只需证a2+‎13a+42>a2+‎13a+40,只需证42>40,因为42>40成立,所以P>Q成立.‎ 答案:A ‎5.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值(  )‎ A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负 解析:由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)a+b,则a,b应满足的条件是________.‎ 解析:a+b>a+b,即(-)2(+)>0,需满足a≥0,b≥0且a≠b.‎ 答案:a≥0,b≥0且a≠b ‎7.若向量a=(x+1,2),b=(4,-2),若a∥b,则实数x=________.‎ 解析:因为a∥b,‎ 所以(x+1)×(-2)=2×4,‎ 解得x=-5.‎ 答案:-5‎ ‎8.[2020·太原模拟]用反证法证明“若x2-1=0,则x=-1或x=‎1”‎时,应假设__________________.‎ 解析:“x=-1或x=1”的否定是“x≠-1且x≠1”.‎ 答案:x≠-1且x≠1‎ 三、解答题 ‎9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.求证:a,b,c成等差数列.‎ 证明:由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B,‎ 因为sin B≠0,所以sin A+sin C=2sin B,‎ 由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列.‎ ‎10.已知a,b是正实数,求证+≥+.‎ 证明:证法一 (作差法)因为a,b是正实数,所以+--=+ ‎= ‎=≥0,‎ 所以+≥+.‎ 证法二 (分析法)已知a,b是正实数,‎ 要证+≥+,‎ 只需证a+b≥(+),‎ 即证(a+b-)(+)≥(+),‎ 即证a+b-≥,‎ 就是要证a+b≥2.‎ 显然a+b≥2恒成立,所以+≥+.‎ 证法三 (综合法)因为a,b是正实数,‎ 所以+++≥2+2=2+2,‎ 当且仅当a=b时取等号,所以+≥+.‎ 证法四 (综合法)因为a,b是正实数,‎ 所以(+)=a+b++≥a+b+2=a+b+2=(+)2,‎ 当且仅当a=b时取等号,‎ 所以+≥+.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11.若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证:a,b,c中至少有一个大于0.‎ 证明:假设a,b,c都不大于0,‎ 即a≤0,b≤0,c≤0,‎ 所以a+b+c≤0.‎ 而a+b+c ‎=++ ‎=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π ‎=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.‎ 所以a+b+c>0,这与a+b+c≤0矛盾,故a,b,c中至少有一个大于0.‎
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