浙江高考数学理科卷带详解

浙江高考数学理科卷带详解

‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）‎ 理科数学 一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【测量目标】集合间的关系．‎ ‎【考查方式】给出两集合，求集合间的关系．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】P={x},，，故B正确．‎ ‎2．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 （ ） ‎ A． k＞4? B．k＞5? C． k＞6? D．k＞7? ‎ 第2题图 ‎ ‎【测量目标】循环结构的程序框图．‎ ‎【考查方式】给出循环结构的程序框图，根据输出结果，求出所缺条件．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】程序在运行过程中变量值变化如下表:‎ ‎ k s 是否继续循环 循环前 1 1 ‎ 第一圈 2 4 是 第二圈 3 11 是 第三圈 4 26 是 第四圈 5 57 否 故退出循环的条件应为k>4.故选答案A.‎ ‎3．设为等比数列的前项和，，则 ( )‎ A．11 B．5 C． D．‎ ‎【测量目标】等比数列的通项公式与等比数列前n项和公式.‎ ‎【考查方式】给出等比数列两项之间的关系式，求出公比，根据等比数列前n项和公式求解．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】由，设公比为，将该式转化为，解得=－2，‎ ‎ 所以.故选A. ‎ ‎4．设，则“”是“”的 （ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【测量目标】充分、必要条件．‎ ‎【考查方式】给出两不等式，判断两者之间的关系．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】因为0＜x＜，所以0<，故，结合xsin2x与xsinx的取值范围相同，可知“”是“”的必要而不充分条件.‎ ‎5．对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【测量目标】复数代数形式的四则运算，共轭复数． ‎ ‎【考查方式】根据复数代数形式的四则运算及共轭复数的概念判断．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】可对选项逐个检查，A项，，故A错，B项，，故B错，C项，，故C错，故选D．‎ ‎6．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【测量目标】线面平行与垂直的判定．‎ ‎【考查方式】给出两条直线与平面，根据线面平行与垂直的定理判断位置关系．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】A：根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；‎ ‎ C：，则m或两线异面，故不正确；‎ ‎ D：平行于同一平面的两直线可能平行、异面、相交，故不正确；‎ ‎ B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面，故正确.‎ ‎7．若实数，满足不等式组，且的最大值为9，则实数（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值．‎ ‎【考查方式】给出不等式组，给出目标函数的最大值，逆向求出系数大小．‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】先根据约束条件画出可行域，设，将最大值转化为 轴上的截距，当直线经过直线的交点A（4,5）时，值最大，将等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入得，故选C.‎ 第7题图 ‎ ‎8．设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【测量目标】双曲线的简单几何性质．‎ ‎【考查方式】给出双曲线上一点与两焦点距离的关系，根据双曲线的性质求解其渐近线方程．‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】依题意，可知三角形是一个等腰三角形，在直线的投影是其中点，由勾股定理可知.(步骤1) 根据双曲线定义可知，整理得，代入整理得，求得，双曲线渐近线方程为.故选C. （步骤2）‎ ‎9．设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【测量目标】函数零点的求解与判断，三角函数图象的变换.‎ ‎【考查方式】给出函数解析式求零点，将其转化为一元一次函数与三角函数图象的交点问题求解.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】在同一坐标系中画出与的图象，由图可知与的图象在区间上无交点，由图可知函数在区间上没有零点.故选A.‎ ‎ 第9题图 ‎ ‎ 10．设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是 （ ）‎ A．4 B．‎6 C．8 D．10‎ ‎【测量目标】集合的基本运算，对数函数的图象与性质．‎ ‎【考查方式】给出一个函数集合与一个点集，判断两集合的交集个数．‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】将数据代入验证知：当a=0，b=0;a=0，b=1;a=，b=0; a=，b=1;a=1，b=1;a=1，b=1时满足题意，故答案选B.‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．‎ ‎11．函数的最小正周期是__________________ ．‎ ‎【测量目标】两角和与差的正弦，三角函数的周期性． ‎ ‎【考查方式】给出三角函数解析式，利用两角和与差的正弦将其化为同名三角函数再求周期．‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】 =‎ ‎（步骤1）‎ ‎==（步骤2）‎ ‎，故最小正周期为,故答案为：.‎ ‎12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是___________ ．‎ 第12题图 ‎ ‎【测量目标】平面图形的直观图与三视图，柱、锥、台的体积．‎ ‎【考查方式】给出三视图，判断空间几何体的直观图，判断其构成，在根据体积公式求解．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】144 ‎ ‎【试题解析】图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由公式计算得体积为 ‎，故答案为：144.‎ ‎14．设抛物线的焦点为，点．若线段的中点在抛物线上，‎ 则到该抛物线准线的距离为_____________．‎ ‎【测量目标】抛物线的定义，抛物线的简单几何性质．‎ ‎【考查方式】利用抛物线的定义求出p，根据抛物线的性质求出B到准线的距离．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】依题意可知坐标为，的坐标为代入抛物线方程得，解得，抛物线准线方程为，所以点B到抛物线准线的距离为=，故答案为.‎ ‎14．设，将的最小值记为，则 其中=__________________ ．‎ ‎【测量目标】合情推理．‎ ‎【考查方式】给出前几项，归纳推理出第n项，考查学生的推理能力．‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】根据的定义，列出的前几项：‎ ‎ ‎ ‎ 由此规律，我们可以判断：‎ ‎ 故答案：.‎ ‎15．设为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围是__________________ ．‎ ‎【测量目标】等差数列前n项和．‎ ‎【考查方式】给出关于等差数列前n项和的等式，求出公差的范围.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】因为，所以，整理得，（步骤1） 此方程可看作关于的一元二次方程，它一定有根，故有整理得，解得或，则d的取值范围是,故答案为：.（步骤2）‎ ‎16．已知平面向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是__________________ ． ‎ ‎【测量目标】平面向量线性运算、平面向量在平面几何中的应用和正弦定理．‎ ‎【考查方式】根据平面向量的三角形法则判断两向量的夹角，再利用正弦定理求解．‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】如图，设，则， ‎ ‎∵与的夹角为，即与的夹角为，∴．‎ 由正弦定理可得：，即，（步骤1）‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，∴． （步骤2）‎ 第16题图 ‎ ‎17．有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、‎ ‎“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复． 若上午不测“握 力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人． 则不同的安排方式共 有______________种（用数字作答）．‎ ‎【测量目标】排列组合及其应用．‎ ‎【考查方式】通过实际生活的实例，求出不同的安排方式.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】264‎ ‎【试题解析】先安排4位同学参加上午的“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、‎ ‎“台阶”测试，共有种不同安排方式；（步骤1） 接下来安排下午的“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”测试，假设同学上午分别安排的是“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”测试，若D同学选择“握力”测试，安排同学分别交叉测试，有2种；（步骤2） 若D同学选择“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”测试中的1种，有种方式，安排同学进行测试有3种；根据计数原理共有安排方式的种数为.（步骤3）‎ 三、解答题：本大题共5小题．共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．(本题满分l4分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）当a=2，时，求b及c的长．‎ ‎【测量目标】二倍角，正弦定理，余弦定理．‎ ‎【考查方式】给出二倍角化简求解；给出两角正弦值之间的关系及三角形一边，结合正弦定理求一条边长，再应用余弦定理求另一边．‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】（Ⅰ）因为，及，所以．‎ ‎（步骤1）‎ ‎（Ⅱ）当，时，由正弦定理，得，（步骤2）‎ 由，及得．‎ 由余弦定理，得．‎ 解得或 所以或.（步骤3）‎ ‎19．(本题满分l4分)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C．已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖． ‎ ‎（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随机变量为获得k(k=1，2，3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望；‎ ‎(II)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求． ‎ 第19题图 ‎ ‎【测量目标】离散型随机变量的分布列与期望，二项分布．‎ ‎【考查方式】结合实际问题，列出随机变量求其分布列，由公式求期望；判断二项分布，求概率．‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】（Ⅰ）由题意得的分布列为 ‎50％‎ ‎70％‎ ‎90％‎ 则．（步骤1）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，获得1等奖或2等奖的概率为+=．‎ 由题意得． ‎ 则．（步骤2）‎ ‎20．（本题满分15分）如图，在矩形中，点分别在线段上，．沿直线将翻折成，使平面平面． ‎ ‎（Ⅰ）求二面角的余弦值； ‎ ‎（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长．‎ ‎ 第20题图 ‎ ‎【测量目标】二面角，平面图形的折叠问题，空间向量的应用．‎ ‎【考查方式】根据条件建立空间直角坐标系设向量求解；由空间线面垂直判定找出二面角求解．‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】（Ⅰ）取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以，又因为平面平面．‎ 如图建立空间直角坐标系则，，，． ‎ 故，． （步骤1） ‎ 设为平面的一个法向量，所以，‎ 取，则．‎ 又平面的一个法向量，故．‎ 所以二面角的余弦值为 . （步骤2）‎ 第20题图 (1) ‎ ‎（Ⅱ）设则，‎ 因为翻折后，与重合，所以，‎ 故 ，得，‎ 经检验，此时点在线段上，所以． （步骤3）‎ 方法二：（Ⅰ）取线段的中点，的中点，连结．‎ 因为=及是的中点，所以 又因为平面平面，所以平面，（步骤1）‎ 又平面，故，‎ 又因为、是、的中点，易知，‎ 所以，于是面， ‎ 所以为二面角的平面角， （步骤2） ‎ 在中，=，=2，= ‎ 所以．故二面角的余弦值为． （步骤3）‎ ‎（Ⅱ）设，因为翻折后，与重合，所以，而， ,,，‎ 经检验，此时点在线段上，所以． （步骤4）‎ ‎ 第20题图(2) ‎ ‎21．（本题满分15分）已知，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点． ‎ ‎（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，， 的重心分别为．若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围． ‎ ‎ 第21题图 ‎ ‎【测量目标】直线的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的范围问题．‎ ‎【考查方式】给出直线与椭圆的含参方程，通过对两者之间的位置关系求解出参数；联立方程，根据点与圆的关系求解参数范围．‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】（Ⅰ）因为直线经过，‎ 所以，得，又因为，所以，‎ 故直线的方程为．（步骤1） ‎ ‎（Ⅱ）设 ‎ 由，消去得，‎ 则由，知 且有．（步骤2）‎ 由于故为的中点，由， ‎ 可知 设是的中点，则，‎ 由题意可知即 即，而 ‎ （步骤3）‎ 所以，即.‎ 又因为且，所以．‎ 所以的取值范围是．（步骤4）‎ ‎22．(本题满分14分)已知是给定的实常数，设函数，，‎ 是的一个极大值点．‎ ‎(Ⅰ)求的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得 的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．‎ ‎【测量目标】导数的运算，利用导数求函数的极值，等差数列的性质．‎ ‎【考查方式】给出函数解析式与极大值点，求参数的求参数的范围，间接考查了利用导数求 函数的极值；结合等差数列性质判断所求值．‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】（Ⅰ）‎ 令，则（步骤1）‎ 于是，假设是的两个实根，且．‎ （1） 当或时，则不是的极值点，此时不合题意．‎ （2） 当且时，由于是的极大值点，故．‎ 即即 所以所以b的取值范围是．（步骤2）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，假设存在b及满足题意，则 ‎⑴当时，则或，‎ 于是．即．‎ 此时 或（步骤3）‎ ‎⑵当时，则或，‎ ‎①若，则，‎ 于是，‎ 即，于是，‎ 此时 （步骤4）‎ ‎②若，则 于是，‎ 即，于是，‎ 此时（步骤5）‎ 综上所述，存在b满足题意，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，．（步骤6）‎