高中数学人教a版选修1-1章末综合测评3word版含解析
章末综合测评(三) 导数及其应用
(时间 120 分钟，满分 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数 f(x)＝α2－cos x，则 f′(α)等于( )
A．sin α B．cos α
C．2α＋sin α D．2α－sin α
【解析】 f′(x)＝(α2－cos x)′＝sin x，当 x＝α时，f′(α)＝sin α.
【答案】 A
2．若曲线 y＝1
x
在点 P 处的切线斜率为－4，则点 P 的坐标是( )
A.
1
2
，2 B.
1
2
，2 或 －1
2
，－2
C.
－1
2
，－2 D.
1
2
，－2
【解析】 y′＝－1
x2，由－1
x2＝－4，得 x2＝1
4
，从而 x＝±1
2
，分
别代入 y＝1
x
，得 P 点的坐标为
1
2
，2 或 －1
2
，－2 .
【答案】 B
3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，归纳可得：
若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－x)＝f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，
则 g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
【解析】 观察可知，偶函数 f(x)的导函数 g(x)是奇函数，所以
g(－x)＝－g(x)．
【答案】 D
4．若函数 f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足 f′(1)＝2，则 f′(－1)＝( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
【解析】 由 f(x)＝ax4＋bx2＋c 得 f′(x)＝4ax3＋2bx，又 f′(1)
＝2，所以 4a＋2b＝2，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.故选
B.
【答案】 B
5．已知函数 f(x)＝xln x，若 f(x)在 x0 处的函数值与导数值之和等
于 1，则 x0 的值等于( )
A．1 B．－1
C．±1 D．不存在
【解析】 因为 f(x)＝xln x，所以 f′(x)＝ln x＋1，于是有 x0ln x0
＋ln x0＋1＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－1(舍去)，故选 A.
【答案】 A
6．过点(0,1)且与曲线 y＝x＋1
x－1
在点(3,2)处的切线垂直的直线方程
为( ) 【导学号：26160104】
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y＋2＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x－y＋1＝0
【解析】 y′＝
x＋1
x－1 ′＝x－1－x＋1
x－12
＝ －2
x－12
，
∴y′|x＝3＝－1
2
，故与切线垂直的直线斜率为 2，
所求直线方程为 y－1＝2x，
即 2x－y＋1＝0.故选 D.
【答案】 D
7.已知函数 y＝f(x)，其导函数 y＝f′(x)的图象如图 1 所示，则 y
＝f(x)( )
图 1
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在 x＝0 处取得极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在 x＝2 处取极大值
【解析】 在(－∞，0)上，f′(x)>0，故 f(x)在(－∞，0)上为增
函数，A 错；在 x＝0 处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在 x＝0
处取极大值，B 错；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，C 对；
在 x＝2 处取极小值，D 错．
【答案】 C
8．若函数 f(x)＝ax3－x2＋x－5 在(－∞，＋∞)上单调递增，则 a
的取值范围是( )
A．a＞1
3 B．a≥1
3
C．a＜1
3 D．a≤1
3
【解析】 f′(x)＝3ax2－2x＋1 在(－∞，＋∞)上恒非负，故
a＞0，
Δ＝4－12a≤0， 解得 a≥1
3.
【答案】 B
9．以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的
最大值为( )
A．10 B．15
C．25 D．50
【解析】 设内接矩形的长为 x，
则宽为 25－x2
4
，
∴S2＝x2· 25－x2
4 ＝y，
∴y′＝50x－x3.
令 y′＝0，得 x2＝50 或 x＝0(舍去)，
∴S2max＝625，即 Smax＝25.
【答案】 C
10．函数 y＝ln x
x
的最大值为( )
A．e－1 B．e
C．e2 D.10
3
【解析】 y′＝ln x′x－ln x·x′
x2
＝1－lnx
x2
，令 y′＝0，得 x＝
e.
当 x>e 时，y′<0；当 0
0.
故 y 极大值＝f(e)＝e－1.因为在定义域内只有一个极值，所以 ymax＝e
－1.
【答案】 A
11．对于 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则
必有( )
A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)>2f(1)
C．f(0)＋f(2)≤2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)
【解析】 ①若 f′(x)不恒为 0，则当 x>1 时，f′(x)≥0，当 x<1
时，f′(x)≤0，
所以 f(x)在(1，＋∞)内单调递增，在(－∞，1)内单调递减．
所以 f(2)>f(1)，f(1)2f(1)．
②若 f′(x)＝0 恒成立，则 f(2)＝f(0)＝f(1)，
综合①②，知 f(0)＋f(2)≥2f(1)．
【答案】 D
12．若函数 f(x)在(0，＋∞)上可导，且满足 f(x)＞－xf′(x)，则
一定有( )
A．函数 F(x)＝fx
x
在(0，＋∞)上为增函数
B．函数 F(x)＝fx
x
在(0，＋∞)上为减函数
C．函数 G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数
D．函数 G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为减函数
【解析】 设 G(x)＝xf(x)，则 G′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0，故 G(x)
＝xf(x)在(0，＋∞)上递增，故选 C.
【答案】 C
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填
在题中的横线上)
13．函数 f(x)＝ln x－x 的单调递增区间为________．
【解析】 令 f′(x)＝1
x
－1＞0，解不等式即可解得 x＜1，注意
定义域为(0，＋∞)．所以 0＜x＜1.
【答案】 (0,1)
14．设函数 f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若 f(x)的两个极值点为 x1，
x2，且 x1x2＝1，则实数 a 的值为________．
【解析】 f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
由已知 f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而 x1x2＝2a
18
＝1，所以 a＝9.
【答案】 9
15．若函数 f(x)＝ln|x|－f′(－1)x2＋3x＋2，则 f′(1)＝________.
【解析】 当 x>0 时，f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x＋2，
∴f′(x)＝1
x
－2f′(－1)x＋3，
∴f′(1)＝1－2f′(－1)＋3.
当 x<0 时，f(x)＝ln(－x)－f′(－1)x2＋3x＋2，
∴f′(x)＝－ 1
－x
－2f′(－1)x＋3＝1
x
－2f′(－1)x＋3，
∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
∴f′(－1)＝－2，
∴f′(1)＝8.
【答案】 8
16．当 x∈[－1,2]时，x3－x2－x2.
【答案】 (2，＋∞)
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分 10 分)已知曲线 y＝x3＋x－2 在点 P0 处的切线
l1 与直线 l：4x－y－1＝0 平行，且点 P0 在第三象限．
(1)求点 P0 的坐标； 【导学号：26160105】
(2)若直线 l2⊥l1，且 l2 也过点 P0，求直线 l2 的方程．
【解】 (1)由 y＝x3＋x－2，得 y′＝3x2＋1.
令 3x2＋1＝4，解得 x＝±1.
当 x＝1 时，y＝0；当 x＝－1 时，y＝－4.
又点 P0 在第三象限，
∴切点 P0 的坐标为(－1，－4)．
(2)∵直线 l2⊥l1，l1 的斜率为 4，
∴直线 l2 的斜率为－1
4.
∵l2 过切点 P0，点 P0 的坐标为(－1，－4)，
∴直线 l2 的方程为 y＋4＝－1
4(x＋1)，即 x＋4y＋17＝0.
18．(本小题满分 12 分)(2015·重庆高考)已知函数 f(x)＝ax3＋x2(a
∈R)在 x＝－4
3
处取得极值．
(1)确定 a 的值；
(2)若 g(x)＝f(x)ex，讨论 g(x)的单调性．
【解】 (1)对 f(x)求导得 f′(x)＝3ax2＋2x，
因为 f(x)在 x＝－4
3
处取得极值，
所以 f′ －4
3 ＝0，
即 3a·16
9
＋2·
－4
3 ＝16a
3
－8
3
＝0，解得 a＝1
2.
(2)由(1)得，g(x)＝
1
2x3＋x2
ex，
故 g′(x)＝
3
2x2＋2x ex＋
1
2x3＋x2
ex
＝
1
2x3＋5
2x2＋2x ex
＝1
2x(x＋1)(x＋4)ex.
令 g′(x)＝0，解得 x＝0，x＝－1 或 x＝－4.
当 x<－4 时，g′(x)<0，故 g(x)为减函数；
当－40，故 g(x)为增函数；
当－10 时，g′(x)>0，故 g(x)为增函数．
综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)
和(0，＋∞)内为增函数．
19．(本小题满分 12 分)设 f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)，求 g(x)
的单调区间和最小值．
【解】 由题意知 f′(x)＝1
x
，g(x)＝ln x＋1
x
，
∴g′(x)＝x－1
x2 .
令 g′(x)＝0，得 x＝1.
当 x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是 g(x)的单调减区间．
当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是 g(x)的单调增区间．
因此，x＝1 是 g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值
点．
所以 g(x)的最小值为 g(1)＝1.
20．(本小题满分 12 分)(2014·重庆高考)已知函数 f(x)＝x
4
＋a
x
－ln x
－3
2
，其中 a∈R，且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y
＝1
2x.
(1)求 a 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间与极值．
【解】 (1)对 f(x)求导得 f′(x)＝1
4
－a
x2－1
x
，
由 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝1
2x 知
f′(1)＝－3
4
－a＝－2，解得 a＝5
4.
(2)由(1)可知 f(x)＝x
4
＋ 5
4x
－ln x－3
2
，
则 f′(x)＝x2－4x－5
4x2 .
令 f′(x)＝0，解得 x＝－1 或 x＝5.
因 x＝－1 不在 f(x)的定义域(0，＋∞)内，舍去．
当 x∈(0,5)时，f′(x)<0，故 f(x)在(0,5)内为减函数；当 x∈(5，＋
∞)时，f′(x)>0，故 f(x)在(5，＋∞)内为增函数．
由此知函数 f(x)在 x＝5 时取得极小值 f(5)＝－ln 5，无极大值．
21．(本小题满分 12 分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品
每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式
y＝ a
x－3
＋10(x－6)2.其中 3
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