高考数学理空间线面位置关系的推理与证明二轮提高练习题目

高考数学理空间线面位置关系的推理与证明二轮提高练习题目

空间线面位置关系的推理与证明 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．l1、l2、l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ‎(　　)．‎ A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3‎ B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3‎ C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 ‎2．设l，m，n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n⊂β，则l∥m.‎ 其中正确命题的个数是 ‎(　　)．‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎3．在空间中，l、m、n是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列结论错误的是 ‎(　　)．‎ A．若α∥β，α∥γ，则β∥γ B．若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m C．α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝l，则l⊥α D．若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，l⊥m，l⊥n，则m⊥n ‎4．下列四个条件：‎ ‎①x，y，z均为直线；②x，y是直线，z是平面；③x是直线，y，z是平面；④x，y，z均为平面．‎ 其中，能使命题“x⊥y，y∥z⇒x⊥z”成立的有 ‎(　　)．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎5．如图，在正四棱柱ABCDA1B‎1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是 ‎ (　　)．‎ A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直 C．EF与CD异面 D．EF与A‎1C1异面 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎6．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、B、C、D、O为顶点的四面体的体积为________．‎ ‎7．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：‎ ‎①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.‎ 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．‎ ‎8．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．‎ 三、解答题(本题共3小题，共35分)‎ ‎9．(11分)如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.‎ ‎(1)求证：EF∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.‎ ‎10.(12分)如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝BC＝2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD.‎ ‎(1)当棱锥A′ PBCD的体积最大时，求PA的长；‎ ‎(2)若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：A′B⊥DE.‎ ‎11．(12分)如图(1)所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD(如图(2))．‎ ‎(1)求证：AP∥平面EFG；‎ ‎(2)在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，试给出证明．‎ ‎ 参考答案 ‎1．B　[对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面．所以选B.]‎ ‎2．B　[①正确；②错误，没有明确l与α的具体关系；③错误，以墙角为例即可说明 ；④正确，可以以三棱柱为例说明．]‎ ‎3．D ‎4．C　[①③④能使命题“x⊥y，y∥z⇒x⊥z”成立．]‎ ‎5．D ‎6．解析　折叠后的四面体如图所示．OA、OC、OD两两相互垂直，且OA＝OC＝OD＝2，体积V＝S△OCD·OA＝××(2)3＝.‎ 答案　 ‎7．解析　①错误，PA⊂平面MOB；②正确；③错误，否则，有OC⊥AC，这与BC⊥AC矛盾；④正确，因为BC⊥平面PAC.‎ 答案　②④‎ ‎8．解析　如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，‎ DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，‎ ‎∴DK⊥AF.∴AF⊥平面DKG，‎ ‎∴AF⊥GK.‎ 容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点．∴t的取值范围是，1.‎ 答案　，1‎ ‎9．证明　(1)连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在△CPA中，EF∥PA，‎ 又∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，‎ ‎∴EF∥平面PAD.‎ ‎(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ 又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，‎ ‎∴CD⊥PA.‎ 又PA＝PD＝AD，‎ ‎∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，‎ 即PA⊥PD.又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD.‎ 又∵PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.‎ ‎10．(1)解　令PA＝x(0＜x＜2)，则A′P＝PD＝x，BP＝2－x.‎ 因为A′P⊥PD，且平面A′PD⊥平面PBCD，‎ 故A′P⊥平面PBCD.‎ 所以VA′PBCD＝Sh＝(2－x)·(2＋x)x＝(4x－x3)．‎ 令f(x)＝(4x－x3)，‎ 由f′(x)＝(4－3x2)＝0，得x＝(负值舍去)．‎ 当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；‎ 当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．‎ 所以当x＝时，f(x)取得最大值．‎ 故当VA′PBCD最大时，PA＝.‎ ‎(2)证明　设F为A′B的中点，‎ 如图所示，连接PF，FE，‎ 则有EF綉BC，PD綉BC.‎ 所以EF綉PD.‎ 所以四边形EFPD为平行四边形．‎ 所以DE∥PF.‎ 又A′P＝PB，所以PF⊥A′B，故DE⊥A′B.‎ ‎11． (1)证明　∵E、F分别是PC，PD的中点，‎ ‎∴EF∥CD∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，‎ ‎∴EF∥平面PAB.‎ 同理：EG∥平面PAB.‎ ‎∴平面EFG∥平面PAB.‎ 又∵AP⊂平面PAB，∴AP∥平面EFG，‎ ‎(2)解　取PB的中点Q，连接AQ，QD，则PC⊥平面ADQ.‎ 证明如下：‎ 连接DE，EQ，‎ ‎∵E、Q分别是PC、PB的中点，‎ ‎∴EQ∥BC∥AD.‎ ‎∵平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥DC，‎ ‎∴PD⊥平面ABCD.∴PD⊥AD，又AD⊥DC，‎ ‎∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC.‎ 在△PDC中，PD＝CD，E是PC的中点．‎ ‎∴DE⊥PC，∴PC⊥平面ADEQ，即PC⊥平面ADQ.‎