新人教数学九年级下册：达标训练（26-2用函数观点看一元二次方程）

新人教数学九年级下册：达标训练（26-2用函数观点看一元二次方程）

达标训练 基础•巩固 1.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是 x=2，且经过点 P(3,0)，则 a+b+c的值为() A.-1B.0C.1D.2 思路解析：求 a+b+c的值就是求 x=1时函数的值.根据抛物线的对称性，点 P(3,0)关于直线 x=2的对称点(1,0) 也在抛物线上，所以当 x=1时,y=0,即 a+b+c=0. 答案：B 2.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数 h=3.5t-4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描 述他跳跃时重心高度的变化(图 26.2-10)，则他起跳后到重心最高时所用的时间约是() 图 26.2-10 A.0.71 sB.0.70 sC.0.63 sD.0.36 s 思 路 解 析 ： 起 跳 后 到 重 心 最 高 时 所 用 的 时 间 就 是 抛 物 线 最 高 点 对 应 的 横 坐 标 , 即 36.0 )9.4(2 5.3 2    xa bx . 答案：D 3.如图 26.2-11所示，二次函数 y=x2-4x+3的图象交 x轴于 A、B两点，交 y轴于点 C，则△ABC的面积为 () 图 26.2-11 A.6B.4C.3D.1 思路解析：运用二次函数 y=ax2+bx+c的图象及性质的. 由函数图象可知 C点坐标为(0，3)，再由 x2-4x+3=0 可得 x1=1，x2=3 所以 A、B两点之间的距离为 2.那么 △ABC的面积为 3，故应选 C. 答案：C 4.若二次函数 y=x2-4x＋c的图象与 x轴没有交点，其中 c为整数，则 c=________(只要求写出一个). 思路解析：二次函数 y=x2-4x＋c的图象与 x轴没有交点，则 b2-4ac<0，即 16-4c<0.解得 c>4，c取大于 4的 整数. 答案：5或 6，7，…… 5.画出函数 y=x2-2x-3的图象，根据图象回答下列问题. (1)图象与 x轴、y轴的交点坐标分别是什么？ (2)当 x取何值时，y=0？这里 x的取值与方程 x2-2x-3=0有什么关系？ (3)x取什么值时，函数值 y大于 0？x取什么值时，函数值 y小于 0？ 思路解析：(1)二次函数图象与 x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次 方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决. (2)利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与 x轴的交点，再根据交点的坐标 写出不等式的解集. 解：图象如图 26.2-13， 图 26.2-13 (1)图象与 x轴的交点坐标为(-1，0)、(3，0)，与 y轴的交点坐标为(0，-3). (2)当 x=-1 或 x=3 时，y=0，x的取值与方程 x2-2x-3=0的解相同. (3)当 x＜-1或 x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0 综合•应用 6.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图 26.2-12所示，若M=4a+2b+c，N=a-b+c，P=4a+2b，则() 图 26.2-12 A.M>0，N>0，P>0B.M>0，N<0，P>0 C.M<0，N>0，P>0D.M<0，N>0，P<0 思路解析：根据二次函数图象求有关 a、b、c的代数式的值问题，通常转化为求函数式的值问题. 当 x=1 时，y 的值就是 a+b+c 的值；当 x=2 时，y 的值就是 4a+2b+c 的值；当 x=-1 时，y 的值就是 a-b+c 的值. 根据抛物线对称轴的位置，知道 a b 2  >1，由于 a>0，对不等式变形： ∵a>0，∴-b>2a.∴4a<-2b.∴4a+2b<0. 答案：D 7.已知二次函数 y=2x2+9x+34，当自变量 x取两个不同的值 x1、x2时，函数值相等，则当自变量 x取 x1+x2 时的函数值与() A.x=1时的函数值相等 B.x=0 时的函数值相等 C. 4 1 x 时的函数值相等 D.x= 4 9  时的函数值相等 思路解析：若自变量 x取两个不同的值 x1、x2时，函数值都为 h，则(x1,h)、(x2,h)关于抛物线的对称轴对称， 且 x1+x2= a b  .本题中 a=2，b=9，所以 x1+x2= 2 9  . 把 x= 2 9  代入函数解析式中求出函数的值，与 x=0时的函数值相等. 或者用对称性解决，抛物线上横坐标为 2 9  的点，其关于抛物线的对称轴 4 9 x 对称的点的横坐标为 0， 这两个点的纵坐标相等，即 x= 2 9  和 x=0时，函数值相等. 答案：B 8.用列表法画二次函数 y=x2+bx+c的图象时先列一个表,当表中对自变量 x的值以相等间隔的值增加时，函 数 y所对应的值依次为: 20,56,110,182,274,380,506,650,其中有一个值不正确，这个不正确的值是( ) A.506B.380C.274D.182 思路解析：二次函数中，当自变量 x的值以相等间隔的值增加时，函数 y所对应的值呈一次函数的形式变 化. 设 x2=x1+d，则△=y2-y1=(x1+d)2+b(x1+d)+c-(x1)2-x1-c=2dx1+(d2+bd). 因为 b、d均为常数，所以△是关于 x1的一次函数. 本题中，y的增加值应呈一次函数规律变化. 因为 56-20=36，110-56=54，所以 y的增加值为每次较上次多增加 18. 依次往后面计算. 182-110=72，符合；274-182=92，不符合. 答案：C 9.在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数 y=x2+bx+c的图象与 x轴的负半轴相交于点 C(如图 26.2-13)， 点 C的坐标为(0，-3)，且 BO=CO. 图 26.2-1 3 (1)求这个二次函数的解析式； (2)设这个二次函数的图象的顶点为M，求 AM的长. 思路解析：二次函数解析式中有两个常数未知，而已知条件只有一个点，观察图象，根据相等及坐标意义， 还可以求出 B的坐标，然后再用待定系数法求出解析式. 解：(1)∵C(0,-3)，OC=|-3|=3，∴c =-3. 又∵OC=OB，∴BO=3.∴B(3,0). ∴9+3b-3=0.解得 b=-2. ∴y=x2-2x-3. (2) 1 2 2 2    a b , 当 x=1时，y=1-2-3=-4.∴M(1,-4). ∵A(-1，0),∴ 5242 22 AM . 10.已知二次函数 y=x2-kx+k-5. (1)求证：无论 k取何实数，此二次函数的图象与 x轴都有两个交点； (2)若此二次函数图象的对称轴为 x=1，求它的解析式； (3)若(2)中的二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C；D是第四象限函数图象上的点，且OD⊥BC 于 H，求点 D的坐标. 思路解析：(1)抛物线与 x轴的交点取决于 b2-4ac的符号，当 b2-4ac>0时，图象与 x轴交于两点，这两点的 横坐标是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根. 本题先判断 b2-4ac的符号：b2-4ac=k2-4(k-5)=(k-2)2+16>0 . (2)根据抛物线的对称轴为 a bx 2  ，计算 k的值为 2，得到抛物线的解析式. (3)由抛物线的解析式得到 A、B、C的坐标，要求点 D的坐标，就要结合图形看 OH的位置，发现 OH是 等腰直角三角形 OBC斜边上的高，所以 OD在二、四象限的平分线上，点 D在第四象限，其横坐标、纵 坐标互为相反数，由此列出方程解答. (注：第 3问还可以用后面学习的相似三角形的知识得到点 D的坐标特征.) 解：(1)∵b2-4ac=k2-4(k-5)=k2-4k+20=k2-4k+4+16=(k-2)2+16>0, ∴无论 k取何实数，此二次函数的图象与 x轴都有两个交点. (2)当二次函数图象的对称轴为 x=1时，有 1 12     k ，所以 k=2. 所以抛物线的解析式为 y=x2-2x-3. (3)由 x2-2x-3=0，得 x1=-1，x2=3.所以 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3). 则 OB=3，OC=3.∴△OBC是等腰直角三角形. ∵OD⊥BC,∴直线 OD在二、四象限的平分线上. 设点 D的坐标为(d，-d)，则 d2-2d-3=d. 解方程得 2 213, 2 213     dd (负值舍去). 所以，点 D的坐标为( 2 213, 2 213  ). 回顾•展望 11.(2010浙江诸暨模拟)抛物线 y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图 26.2-14所示，那么该抛物线在 y轴右侧与 x 轴交点的坐标是() 图 26.2-14 A.( 2 1 ，0)B.(1，0)C.(2，0)D. (3，0) 思路解析：一般方法.抛物线解析式中只有一个系数未知，可以把已知点的坐标代入解析式就可以求出系数 的值，再根据解析式解答问题. 特殊方法：本题可以根据抛物线对称轴性质得到抛物线的对称轴是 x=-1，此时根据对称 性即可得到另一个交点的坐标. 答案：B 12.(2010福建福州模拟)已知实数 s，t，且满足 s2+s-2 006=0，t2+t-2 006=0.那么二次函数 y=x2+x-2 006的图 象大致是() 思路解析：实数 s，t，且满足 s2+s-2 006=0，t2+t-2 006=0，说明抛物线 y=x2+x-2 006与 x 轴有两个交点，对称轴为 x=- 2 1 ，与 y轴的交点在 x轴的下方. 答案：B 13.(2010福建福州模拟)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量 x与函数 y之间满足下列数量关系： x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y 24 15 8 3 0 -1 0 3 8 15 (1)观察表中数据，当 x=6时，y的值是__________; (2)这个二次函数与 x轴的交点坐标是__________; (3)代数式 a acbb a acbb 2 4 2 4 22    +(a+b+c)(a-b+c)的值是__________; (4)若 s、t是两个不相等的实数，当 s≤x≤t时，二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)有最小值 0和最大值 24，那么经 过点(s+1,t+1)的反比例函数解析式是____________________. 思路解析：根据抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称性及点的坐标意义，可以很容易解决第 1、2问. 第 3问中，代数式的前两个部分合并化简，其结果是对称轴表达式的 2倍，后面一部分可以看作是 x=1和 x=-1时对应函数值的积. 原式=2×1+(-1)×3=-1. 第 4问跟二次函数的增减性有关. ①当-4≤x≤0时，二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)随 x的增大从最大值 24减小到最小值 0， 所以 s=-4，t=0，反比例函数过(-3，1)，其解析式为 x y 3  . ②当 2≤x≤6时，二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)随 x的增大从最小值 0增大到最大值 24，所 以 s=2，t=6，反比例函数过(3，7)，其解析式为 x y 21  . 答案：(1)24(2)(0，0)，(2，0)(3)-1(4) x y 3  或 x y 21  14.(2010北京模拟)已知抛物线 y=ax2+bx+c与 y轴交于点 A(0，3)，与 x轴分别交于 B(1，0)、C(5，0)两点. (1)求此抛物线的解析式； (2)若点 D为线段 OA的一个三等分点，求直线 DC的解析式； (3)若一个动点 P自 OA的中点M出发，先到达 x轴上的某点(设为点 E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设 为点 F)，最后运动到点 A.求使点 P运动的总路径最短的点 E、点 F的坐标，并求出这个最短总路径的长. 思路解析：(1)已知图象上的三个点的坐标，用待定系数法可求出函数解析式; (2)根据分点的意义，算出两个分点的坐标，用待定系数法分别求出解析式; (3)路径最短问题，可以用轴对称变换，把线段转换到同一直线上. 作点 A关于抛物线的对称轴的对称点 A′，点M关于 x轴的对称点M′，连接 A′M′，则线段 A′M′的长就是 最小的线段和. 解：根据题意，c=3，所以      )2(.03525 )1(,03 ba ba 解得         . 5 18 , 5 3 b a 所以，抛物线的解析式为 .3 5 18 5 3 2  xxy (2)根据题意可得 OA的三等分点分别为(0,1)，(0,2). 设直线 CD的解析式为 y=kx+m. 当点 D的坐标为(0,1)时，直线 CD的解析式为 y= 5 1  x+1; 当点 D的坐标为(0,2)时，直线 CD的解析式为 y= 5 2  x+2. (3)如图，由题意可得M(0, 2 3 ). 点M关于 x轴的对称点为M′(0, 2 3  )， 点 A关于抛物线对称轴 x=3轴的对称点为 A′(6,3)， 连接 A′M′.根据轴对称性质及两点间线段最短可知，A′M′的长度就是所求点 P运动的最短总路径的长. 所以 A′M′与 x轴的交点为所求 E点，A′M′与直线 x=3的交点为所求 F点. 把 A′、M′的坐标代入解析式得，直线 A′M′的解析式为 2 3 4 3  xy . 所以 E点坐标为(2,0)，F点坐标为(3, 4 3 ). 由勾股定理求得 A′M′= 2 15 . 所以点 P运动的最短总路径(ME+EF+FA)的长为 2 15 .