湖南岳阳中考数学试卷附答案

湖南岳阳中考数学试卷附答案

‎2016年湖南省岳阳市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题8道小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．下列各数中为无理数的是（　　）‎ A．﹣1 B．3.14 C．π D．0‎ ‎2．下列运算结果正确的是（　　）‎ A．a2+a3=a5 B．（a2）3=a6 C．a2•a3=a6 D．3a﹣2a=1‎ ‎3．函数y=中自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x≥0 B．x＞4 C．x＜4 D．x≥4‎ ‎4．某小学校足球队22名队员年龄情况如下：‎ ‎ 年龄（岁）‎ ‎ 12‎ ‎ 11‎ ‎ 10‎ ‎ 9‎ ‎ 人数 ‎ 4‎ ‎ 10‎ ‎ 6‎ ‎ 2‎ 则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（　　）‎ A．11，10 B．11，11 C．10，9 D．10，11‎ ‎5．如图是某几何体的三视图，则该几何体可能是（　　）‎ A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体 ‎6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　）‎ A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm ‎7．下列说法错误的是（　　）‎ A．角平分线上的点到角的两边的距离相等 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．菱形的对角线相等 D．平行四边形是中心对称图形 ‎8．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b；如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（　　）‎ A．0 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎9．如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是　　　　　　．‎ ‎10．因式分解：6x2﹣3x=　　　　　　．‎ ‎11．在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为　　　　　　cm．‎ ‎12．为加快“一极三宜”江湖名城建设，总投资124000万元的岳阳三荷机场及交通产业园，预计2016年建好主体工程，将124000万元用科学记数法表示为　　　　　　元．‎ ‎13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD=　　　　　　度．‎ ‎14．如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了　　　　　　米．‎ ‎15．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx+b的解集是　　　　　　．‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为　　　　　　．‎ 三、解答题（本大题共8道小题，满分64分）‎ ‎17．计算：（）﹣1﹣+2tan60°﹣（2﹣）0．‎ ‎18．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．‎ ‎19．已知不等式组 ‎（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；‎ ‎（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率．‎ ‎20．我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．‎ ‎21．某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息解答下列问题：‎ ‎ AQI指数 ‎ 质量等级 ‎ 天数（天）‎ ‎ 0﹣50‎ ‎ 优 m ‎ 51﹣100‎ ‎ 良 ‎ 44‎ ‎ 101﹣150‎ ‎ 轻度污染 n ‎ 151﹣200‎ ‎ 中度污染 ‎ 4‎ ‎ 201﹣300‎ ‎ 重度污染 ‎ 2‎ ‎ 300以上 ‎ 严重污染 ‎ 2‎ ‎（1 ）统计表中m=　　　　　　，n=　　　　　　．扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占　　　　　　%；‎ ‎（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？‎ ‎（3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合理化建议．‎ ‎22．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．‎ ‎（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．‎ ‎23．数学活动﹣旋转变换 ‎（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；‎ ‎（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．‎ ‎（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；[来源:学科网ZXXK]‎ ‎（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）[来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎24．如图①，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．‎ ‎（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式；‎ ‎（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC，记S=S四边形MAOC﹣S△BOC，求S最大时点M的坐标及S的最大值；‎ ‎（3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年湖南省岳阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题8道小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1． C 2． B． 3． D． 4． B ．5． A ． 6． D．　7． C ． 8． B ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎9．如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是　2　．‎ ‎10．因式分解：6x2﹣3x=　3x（2x﹣1）　．‎ ‎11．在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为　4π　cm．‎ ‎12．为加快“一极三宜”江湖名城建设，总投资124000万元的岳阳三荷机场及交通产业园，预计2016年建好主体工程，将124000万元用科学记数法表示为　1.24×109　元．‎ ‎13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD=　70　度．‎ ‎14．如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了　100　米．‎ ‎15．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx+b的解集是　1＜x＜4　．　‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为　P2016　．‎ 三、解答题（本大题共8道小题，满分64分）‎ ‎17．计算：（）﹣1﹣+2tan60°﹣（2﹣）0．‎ 解：原式=3﹣2+2﹣1‎ ‎=2．‎ ‎　‎ ‎18．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．‎ 证明：∵四边形ABCD是矩形，[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴∠B=∠C=90°，‎ ‎∵EF⊥DF，‎ ‎∴∠EFD=90°，‎ ‎∴∠EFB+∠CFD=90°，‎ ‎∵∠EFB+∠BEF=90°，‎ ‎∴∠BEF=∠CFD，‎ 在△BEF和△CFD中，‎ ‎，‎ ‎∴△BEF≌△CFD（ASA），‎ ‎∴BF=CD．‎ ‎　‎ ‎19．已知不等式组 ‎（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；‎ ‎（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率．‎ 解：（1）由①得：x＞﹣2，‎ 由②得：x≤2，‎ ‎∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤2，‎ ‎∴它的所有整数解为：﹣1，0，1，2；‎ ‎（2）画树状图得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，积为正数的有2种情况，‎ ‎∴积为正数的概率为： =．‎ ‎　‎ ‎20．我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．‎ 解：设学生步行的平均速度是每小时x千米．[来源:学科网]‎ 服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，‎ 根据题意：﹣=3.6，‎ 解得：x=3，‎ 经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意．‎ 答：学生步行的平均速度是每小时3千米．‎ ‎　‎ ‎21．某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息解答下列问题：‎ ‎ AQI指数 ‎ 质量等级 ‎ 天数（天）[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎ 0﹣50‎ ‎ 优 m ‎ 51﹣100‎ ‎ 良 ‎ 44‎ ‎ 101﹣150‎ ‎ 轻度污染 n ‎ 151﹣200‎ ‎ 中度污染 ‎ 4‎ ‎ 201﹣300‎ ‎ 重度污染 ‎ 2‎ ‎ 300以上 ‎ 严重污染 ‎ 2‎ ‎（1 ）统计表中m=　20　，n=　8　．扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占　55　%；‎ ‎（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？‎ ‎（3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合理化建议．‎ 解：（1）∵m=80×25%=20，n=80﹣20﹣44﹣4﹣2﹣2=8，‎ ‎∴空气质量等级为“良”的天数占：×100%=55%．‎ 故答案为：20，8，55；‎ ‎（2）估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共：365×（25%+55%）=292（天），‎ 答：估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共292天；‎ 补全统计图：‎ ‎（3）建议不要燃放烟花爆竹．‎ ‎　‎ ‎22．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．‎ ‎（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．‎ 解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．‎ ‎∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，‎ ‎∴方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）∵x=0是此方程的一个根，‎ ‎∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，‎ ‎∴m=0或m=﹣1，‎ 把m=0或m=﹣1代入（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，‎ 可得：（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=5，或（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=3﹣3+5=5．‎ ‎　‎ ‎23．数学活动﹣旋转变换 ‎（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；‎ ‎（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．‎ ‎（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；‎ ‎（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）‎ 解；（1）如图①中，∵△A′B′C是由△ABC旋转得到，‎ ‎∴∠A′B′C=∠ABC=130°，CB=CB′，‎ ‎∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=50°，‎ ‎∴∠CBB′=∠CB′B=65°，‎ ‎∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°．‎ ‎（2）（Ⅰ）结论：直线BB′、是⊙A′的切线．‎ 理由：如图②中，∵∠A′B′C=∠ABC=150°，CB=CB′，‎ ‎∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=60°，‎ ‎∴∠CBB′=∠CB′B=60°，‎ ‎∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°．‎ ‎∴AB′⊥BB′，‎ ‎∴直线BB′、是⊙A′的切线．‎ ‎（Ⅱ）∵在RT△ABB′中，∵∠AB′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3，‎ ‎∴A′B==．‎ ‎（3）如图③中，当α+β=180°时，直线BB′、是⊙A′的切线．‎ 理由：∵∠A′B′C=∠ABC=α，CB=CB′，‎ ‎∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=2β，‎ ‎∴∠CBB′=∠CB′B=，‎ ‎∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°．‎ ‎∴AB′⊥BB′，‎ ‎∴直线BB′、是⊙A′的切线．‎ 在△CBB′中∵CB=CB′=n，∠BCB′=2β，‎ ‎∴BB′=2•nsinβ，‎ 在RT△A′BB′中，A′B==．‎ ‎　‎ ‎24．如图①，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．‎ ‎（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式；‎ ‎（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC，记S=S四边形MAOC﹣S△BOC，求S最大时点M的坐标及S的最大值；‎ ‎（3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）令y=0代入y=x+4，‎ ‎∴x=﹣3，‎ A（﹣3，0），‎ 令x=0，代入y=x+4，‎ ‎∴y=4，‎ ‎∴C（0，4），‎ 设抛物线F1的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），‎ 把C（0，4）代入上式得，a=﹣，‎ ‎∴y=﹣x2﹣x+4，‎ ‎（2）如图①，设点M（a，﹣a2﹣a+4）‎ 其中﹣3＜a＜0‎ ‎∵B（1，0），C（0，4），‎ ‎∴OB=1，OC=4‎ ‎∴S△BOC=OB•OC=2，‎ 过点M作MD⊥x轴于点D，‎ ‎∴MD=﹣a2﹣a+4，AD=a+3，OD=﹣a，‎ ‎∴S四边形MAOC=AD•MD+（MD+OC）•OD ‎=AD•MD+OD•MD+OD•OC ‎=+‎ ‎=+‎ ‎=×3（﹣a2﹣a+4）+×4×（﹣a）‎ ‎=﹣2a2﹣6a+6‎ ‎∴S=S四边形MAOC﹣S△BOC ‎=（﹣2a2﹣6a+6）﹣2‎ ‎=﹣2a2﹣6a+4‎ ‎=﹣2（a+）2+‎ ‎∴当a=﹣时，‎ S有最大值，最大值为 此时，M（﹣，5）；‎ ‎（3）如图②，由题意知：M′（），B′（﹣1，0），A′（3，0）‎ ‎∴AB′=2‎ 设直线A′C的解析式为：y=kx+b，‎ 把A′（3，0）和C（0，4）代入y=kx+b，‎ 得：，‎ ‎∴‎ ‎∴y=﹣x+4，‎ 令x=代入y=﹣x+4，‎ ‎∴y=2‎ ‎∴‎ 由勾股定理分别可求得：AC=5，DA′=‎ 设P（m，0）‎ 当m＜3时，‎ 此时点P在A′的左边，‎ ‎∴∠DA′P=∠CAB′，‎ 当=时，△DA′P∽△CAB′，‎ 此时， =（3﹣m），‎ 解得：m=2，‎ ‎∴P（2，0）‎ 当=时，△DA′P∽△B′AC，‎ 此时， =（3﹣m）‎ m=﹣，‎ ‎∴P（﹣，0）‎ 当m＞3时，‎ 此时，点P在A′右边，‎ 由于∠CB′O≠∠DA′E，‎ ‎∴∠AB′C≠∠DA′P ‎∴此情况，△DA′P与△B′AC不能相似，‎ 综上所述，当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时，点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）．‎ ‎　‎