2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（四川卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（四川卷）

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)‎ 数 学（文史类）‎ ‎ ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，集合，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）‎ ‎（A）棱柱 （B）棱台 （C）圆柱 （D）圆台 ‎3．如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是（ ）‎ ‎ ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4．设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，则（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎5．抛物线的焦点到直线的距离是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6．函数的部分图象如图所示，则 9‎ 的值分别是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7．某学校随机抽取个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为将数据分组成，，…，，时，所作的频率分布直方图是（ ）‎ ‎ ‎ ‎8．若变量满足约束条件且的最大值为，最小值为，则的值是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎9．从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且（是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎10．设函数（，为自然对数的底数）．若存在使 9‎ 成立，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共25分．‎ ‎11．的值是____ _．‎ ‎12．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，则___ __ _．‎ ‎13．已知函数在时取得最小值，则___ ___．‎ ‎14．设，，则的值是________．‎ ‎15．在平面直角坐标系内，到点，，，的距离之和最小的点的坐标是 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．(本小题满分12分) 在等比数列中，，且为和的等差中项，求数列的首项、公比及前项和．‎ ‎17．(本小题满分12分) 在中，角的对边分别为，且 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影．‎ ‎18．(本小题满分12分) ‎ ‎ 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生．‎ ‎（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；‎ ‎（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．‎ 9‎ 当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．‎ ‎19．(本小题满分12分) ‎ ‎ 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点．‎ ‎（Ⅰ）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；‎ ‎（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交于点，求三棱锥的体积．（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高）‎ ‎20．(本小题满分13分) ‎ ‎ 已知圆的方程为，点是坐标原点．直线与圆交于 9‎ 两点．‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设是线段上的点，且．请将表示为的函数．‎ ‎21．(本小题满分14分)‎ ‎ 已知函数，其中是实数．设，为该函数图象上的两点，且．‎ ‎（Ⅰ）指出函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，证明：；‎ ‎（Ⅲ）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围．‎ 9‎ 参考答案 一、选择题 ‎1．B ‎ ‎2．D ‎ ‎3．B ‎ ‎4．C ‎ ‎5．D ‎ ‎6．A ‎ ‎7．A ‎ ‎8．C ‎ ‎9．C ‎ ‎10．A ‎ ‎11．1 ‎ ‎12．2 ‎ ‎13．36 ‎ ‎14． ‎ ‎15．（2,4） ‎ ‎16．解：设的公比为q．由已知可得 ‎，，‎ 所以，，解得 或 ，‎ 由于。因此不合题意，应舍去，‎ 故公比，首项．‎ 所以，数列的前项和． ……………………………………… 12分 ‎17．解：（Ⅰ）由 得 ‎，‎ 则 ，即 ‎ 又，则 ． ……………………………………… 5分 ‎（Ⅱ）由正弦定理，有 ，所以，‎ 由题知，则 ，故．‎ 根据余弦定理，有 ，‎ 解得 或 （负值舍去），‎ 向量在方向上的投影为． …………………………… 12分 ‎18．解：（Ⅰ）变量是在这 9‎ 个整数中等可能随机产生的一个数，共有24种可能．‎ 当从这12个数中产生时，输出y的值为1，故；‎ 当从这8个数中产生时，输出y的值为2，故；‎ 当从这4个数中产生时，输出y的值为3，故．‎ 所以输出的值为1的概率为，输出的值为2的概率为，输出的值为3的概率为．‎ ‎……………………………………… 6分 ‎（Ⅱ）当时，甲、乙所编程序各自输出的值为的频率如下，‎ 输出的值为1的频率 输出的值为2的频率 输出的值为3的频率 甲 乙 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大．‎ ‎……………………………………… 12分 ‎19．解：（Ⅰ）如图，在平面ABC内，过点作直线，因为在平面外，BC在平面内，由直线与平面平行的判定定理可知，平面．‎ 由已知，，是BC中点，所以BC⊥AD，则直线，‎ 又因为底面，所以，‎ 又因为AD，在平面内，且AD与相交，‎ 所以直线平面． ……………………………………… 7分 ‎（Ⅱ）过D作于E，因为平面，所以，‎ 又因为AC，在平面内，且AC与相交，所以平面，‎ 由，∠BAC，有，∠DAC，‎ 9‎ 所以在△ACD中，，‎ 又，所以 因此三棱锥的体积为．……………………………………… 12分 ‎20．解：（Ⅰ）将代入得 则 ，（*）‎ 由得 ．‎ 所以的取值范围是． …………………………… 4分 ‎（Ⅱ）因为M、N在直线l上，可设点M、N的坐标分别为，，则 ‎，，又，‎ 由得，，‎ 所以 由（*）知 ，，‎ 所以 ，‎ 因为点Q在直线l上，所以，代入可得，‎ 由及得 ，即 ．‎ 依题意，点Q在圆C内，则，所以 ，‎ 于是，n与m的函数关系为 （）‎ ‎…………………………… 13分 ‎21．解：（Ⅰ）函数的单调减区间为，单调增区间为，． …………………………… 3分 ‎（Ⅱ）由导数的几何意义知，点A处的切线斜率为，点B处的切线斜率为，‎ 故当点处的切线互相垂直时，有，‎ 当x<0时，‎ 因为，所以 ，所以，，‎ 因此，‎ ‎（当且仅当，即且时等号成立）‎ 所以函数的图象在点处的切线互相垂直时有．‎ ‎…………………………… 7分 ‎（Ⅲ）当或时，，故．‎ 9‎ 当时，的图象在点处的切线方程为 ‎ 即 ．‎ 当时，的图象在点处的切线方程为 ‎ 即 ．‎ 两切线重合的充要条件是，‎ 由①及知，，‎ 由①、②得 ，‎ 令，则，且 设，则 所以为减函数，则，‎ 所以，‎ 而当且t趋向于0时，无限增大，‎ 所以的取值范围是．‎ 故当函数的图象在点处的切线重合时，的取值范围是 。‎ ‎…………………………… 14分 ‎ 9‎