2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第9讲幂函数课件

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2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第9讲幂函数课件

第 9 讲 幂函数 课标要求 考情风向标 从多年的高考试题来看,幂函数 一般不单独命题,而常与指数函 数、对数函数交汇命题,重点考 查函数的单调性 ( 比较大小 ). 命 题形式一般为选择题、填空题 1. 幂函数的定义 一般地,形如 y = x α ( α ∈ R ) 的函数称为幂函数,其中 x 是自 变量, α 是常数 . 2. 幂函数的图象 象,如图 2-9-1. 图 2-9-1 3. 幂函数 y = x α 的图象 在第一象限内,直线 x = 1 的右侧,图象由下至上,指数 α 由小到大; y 轴和直线 x = 1 之间,图象由上至下,指数 α 由小 到大 . 幂函数 y = x y = x 2 y = x 3 y = x - 1 定义域 R R R ________ ( - ∞ , 0) ∪ (0 ,+ ∞ ) 值域 R [0 ,+ ∞ ) R [0 ,+ ∞ ) __________ __________ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 单调 递增 在 ( - ∞ , 0) 上, 单调 递减; 在 (0 ,+ ∞ ) 上, 单调递增 单调 递增 单调递增 在 ( - ∞ , 0) 上, 单调 递减; 在 (0 ,+ ∞ ) 上, ______ __ __ 定点 (0,0) , (1,1) (1,1) 性质 [0 ,+ ∞ ) ( - ∞ , 0)∪ (0 ,+ ∞ ) 单调递减 ) 1. 所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是 ( A.(0,0) B.(0,1) C.(1,1) D.( - 1 ,- 1) A B C D C B 3. 若幂函数 y = f ( x ) 的图象过点 (4,2) ,则幂函数 y = f ( x ) 的图 象是 ( ) C A B C D 图 2-9-2 c 4 , c 2 , c 3 , c 1 考点 1 幂函数的概念 答案: C ) 则它的单调递增区间是 ( A.(0 ,+ ∞ ) C.( - ∞ ,+ ∞ ) B.[0 ,+ ∞ ) D.( - ∞ , 0) 答案: D A.1 或 3 B.1 C.3 D.2 答案: B 【 规律方法 】 (1) 幂函数 y = x α 的特点: ① 系数必须为 1 ; ② 指数必须为常数 . (2) 第 (3) 小题求出 m = 1 或 m = 3 后,再根据幂函数为增函 数可知 m = 3 不符合题意 . 考点 2 幂函数的图象 例 2 : (1) 请把如图 2-9-3 所示的幂函数图象的代号填入下面 的表格内 . A E B F C G D H 图 2-9-3 函数代号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 图象代号 答案: E C A G B D H F (2) 下面给出 4 个幂函数的图象 ( 如图 2-9-4) ,则图象与函数 的大致对应是 ( ) 图 2-9-4 答案: B 【 规律方法 】 (1) 探讨幂函数图象的分布规律,应先观察图 象是否过原点,过原点时 α >0 ,否则 α <0 ;若 α >0 ,再观察图象 是上凸还是下凸,上凸时 0< α <1 ,下凸时 α >1 ;最后由 x >1 时, α 的值按逆时针方向依次增大得出结论 . α <0 0< α <1 α >1 p , q 都是 奇数 p 为奇数, q 为偶数 p 为偶数, q 为奇数 (2) 幂函数 y = x α ( α ∈ R ) 的图象如下表: 考点 3 比较大 小 答案: A 答案: C 【 规律方法 】 本题表面是考查零点存在性定理,其实质是 而底数不 同 ( 即底数为变量 ) ,此时利用幂函数的单调性来比较 大小;如果底数相同而指数不同 ( 即指数为变量 ) ,此时利用指 数函数的单调性来比较大小;如果两个幂指数、底数全不同, 此时需要引入中间变量,常用的中间变量有 0,1 或由一个幂的 底数和另一个幂的指数组成的幂 . 注意:指数函数 a >1 时单调递 增, 0< a <1 时单调递减;而幂函数 α >0 时在第一象限单调递增, α <0 时在第一象限单调递减 . 【 跟踪训练 】 C 设 a = 0.6 0.6 , b = 0.6 1.5 , c = 1.5 0.6 ,则 a , b , c 的大小关系 是 ( ) A. a < b < c C. b < a < c B. a < c < b D. b < c < a 解析: ∵函数 y = 0.6 x 是减函数, 0<0.6<1.5 ,∴ 1>0.6 0.6 >0.6 1.5 , 即 b < a <1. ∵函数 y = x 0.6 在 (0 ,+ ∞ ) 上是增函数, 1<1.5 , ∴ 1.5 0.6 >1 0.6 = 1 ,即 c >1. 综上所述, b < a < c . 故选 C. 易错、易混、易漏 ⊙ 对幂函数 y = x 0 理解不透彻 1. 幂函数 y = x α 的性质是分 α > 0 和 α < 0 两种情况来讨论的 . 2. 要注意幂函数与指数函数的区别,从它们 的解析式上有 如下区别: (1) 幂函数 —— 底 数是自变量,指数是常数; (2) 指数函数 —— 指数是自变量,底数是常数 . 3. 比较两个幂的大小,如果同指数而不同底数,此时利用 幂函数的单调性来比较大小;如果同底数而不同指数,此时利 用指数函数的单调性来比较大小;如果两个幂指数、底数全不 同,此时需要引入中间变量,常用的中间变量有 0,1 或由一个 幂的底数和另一个幂的指数组成的幂 . 4. 幂函数的图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在 第四象限,至于是否出现在第二、三象限,要看函数的奇偶性, 作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性 等,只要作出幂函数在第一象限的图象,然后根据它的奇偶性 就可作出幂函数在定义域内完整的图象 .
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