2019届二轮复习函数的奇偶性与周期性学案（全国通用）

2019届二轮复习函数的奇偶性与周期性学案（全国通用）

‎ ‎ ‎ 1.判断函数的奇偶性；‎ ‎2.利用函数的奇偶性求参数；‎ ‎3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．‎ ‎ ‎ 一、函数的奇偶性 奇偶性 定　义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 二、周期性 ‎1．周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．‎ ‎2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．‎ 三、必会结论 ‎1．函数奇偶性的四个重要结论 ‎(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.‎ ‎(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．‎ ‎(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．‎ ‎(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．‎ ‎2．周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x：‎ ‎(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；‎ ‎(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；‎ ‎(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.(a>0)‎ ‎3．对称性的三个常用结论 ‎(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；‎ ‎(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；‎ ‎(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．‎ 高频考点一　判断函数的奇偶性 例1、判断下列函数的奇偶性：‎ ‎(1)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；‎ ‎(2)f(x)＝log2(x＋)；‎ ‎(3)f(x)＝ ‎ (3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；‎ 当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．‎ ‎【变式探究】判断下列函数的奇偶性：‎ ‎(1)f(x)＝＋；‎ ‎(2)f(x)＝；‎ ‎(3)f(x)＝ 解　(1)由得x2＝3，解得x＝±， ‎ 即函数f(x)的定义域为{－，}，‎ 从而f(x)＝＋＝0.‎ 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．‎ ‎(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称．‎ ‎∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.‎ 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，‎ ‎∴函数f(x)为奇函数．‎ ‎(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．‎ ‎∵当x<0时，－x>0，‎ 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；‎ 当x>0时，－x<0，‎ 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；‎ 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．‎ ‎【方法规律】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：‎ ‎(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；‎ ‎(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．‎ 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．‎ ‎【变式探究】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)‎ A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x ‎(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 解析　(1)对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.‎ ‎(2)依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f (－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；‎ ‎|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错．‎ 答案　(1)D　(2)C 高频考点二　函数奇偶性的应用 命题角度1　利用奇偶性求函数值 例1、已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于(　　)‎ A．－26 B．－18 C．－10 D．10‎ 答案　A 解析　解法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8，‎ ‎∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，‎ ‎∴g(2)＝－g(－2)＝－18.‎ ‎∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.‎ 解法二：由已知条件，得 ‎①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16.又f(－2)＝10，‎ ‎∴f(2)＝－26.‎ 命题角度2　利用奇偶性求参数值 例2、若函数f(x)＝xln (x＋)为偶函数，则a＝ .‎ 答案　1 ‎ 解析　解法一：由题意得f(x)＝xln (x＋)＝f(－x)＝－xln(－x)，所以＋x＝，解得a＝1.‎ 解法二：由f(x)为偶函数有ln (x＋)为奇函数，令g(x)＝ln (x＋)，有g(－x)＝－g(x)，以下同解法一．‎ 命题角度3　利用奇偶性求解析式 例3、f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．‎ 命题角度4　利用奇偶性的图象特征解不等式 例4、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)‎ C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)‎ 答案　C 解析　∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－20)．‎ ‎【变式探究】　设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝ .‎ 高频考点四　函数性质的综合应用 例4、(1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于(　　)‎ A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ ‎(2)(若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝ ．‎ 解析　(1)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.‎ ‎(2)f(x)为偶函数，则ln(x＋)为奇函数，‎ 所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，‎ 则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.‎ 答案　(1)C　(2)1‎ ‎【方法规律】(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．‎ ‎(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值．‎ ‎【变式探究】(1)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，＋∞)‎ ‎(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝ ．‎ 解析　(1)易知f(－x)＝＝，‎ 由f(－x)＝－f(x)，得＝－，‎ 即1－a2x＝－2x＋a，化简得a(1＋2x)＝1＋2x，所以a＝1，‎ f(x)＝，由f(x)>3，得00，∴f(－x)＝x2＋4x.‎ 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，‎ 则f(x)＝－x2－4x(x<0)，‎ ‎∴f(x)＝ 答案　(1)C　(2) 高频考点五　函数的周期性及其应用 例5、 若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0f(－)，则a的取值范围是 ．‎ 解析　∵f(x)是偶函数且在(－∞，0)上单调递增，‎ ‎∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－)＝f()，‎ ‎∴原不等式可化为f(2|a－1|)>f()．‎ 故有2|a－1|<，即|a－1|<，解得0时，f(x)＝x3－8，则{x|f(x－2)>0}＝(　　)‎ A．{x|－22}‎ B．{x|04}‎ C．{x|x<0或22}‎ 答案　B 解析　当x＝2时，有f(2)＝0，又因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝0，作出f(x)的大致图象，由图象可知，当－22，即04时，有f(x－2)>0.故选B.‎ ‎1. （2018年全国Ⅱ卷理数）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 ‎ A. B. 0 C. 2 D. 50‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为是定义域为的奇函数，且，‎ 所以,‎ 因此，‎ 因为，所以，‎ ‎，从而，选C.‎ ‎1．[2017·北京高考]已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)(　　)‎ A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 答案　A ‎2、[2017·山东高考]已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝ .‎ 答案　6‎ 解析　∵f(x＋4)＝f(x－2)，‎ ‎∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，‎ ‎∴f(x)是周期为6的周期函数，‎ ‎∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．‎ 又f(x)是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.‎ ‎3．[2017·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝ .‎ 答案　12‎ 解析　令x>0，则－x<0.‎ ‎∴f(－x)＝－2x3＋x2.‎ ‎∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，‎ ‎∴f(－x)＝－f(x)．‎ ‎∴f(x)＝2x3－x2(x>0)．‎ ‎∴f(2)＝2×23－22＝12.‎ f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.‎ ‎1.【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则= .‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数，所以 ‎，所以，即，，所以.‎ ‎2.【2016高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时， ；当 时，；当 时， .则f(6)= （ ） 学, , ]‎ ‎（A）−2 （B）−1 （C）0 （D）2‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，,所以当时，函数是周期为 的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选D.‎ ‎【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数是非奇非偶函数；和是偶函数；是奇函数，故选D． ‎ ‎【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】记，则，，那么，，所以既不是奇函数也不是偶函数，依题可知、、依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选．‎ ‎【2015高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，故选A.‎ ‎【2015高考新课标1，理13】若函数f(x)=为偶函数，则a= ‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题知是奇函数，所以 =，解得=1.‎ ‎（2014·福建卷） 已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)‎ ‎【答案】D　‎ ‎（2014·湖南卷）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)‎ A．－3 B．－‎1 C．1 D．3‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，‎ 所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.‎ ‎（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 ‎【答案】C　‎ ‎【解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.‎ ‎（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是 ．‎ ‎【答案】(－1，3)　‎ ‎【解析】根据偶函数的性质，易知f(x)>0的解集为(－2，2)，若f(x－1)>0，则－20时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为 ．‎ ‎【答案】(－5，0)∪(5，＋∞)　‎ ‎【解析】设x<0，则－x>0.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋4x)．‎ 又f(0)＝0，于是不等式f(x)>x等价于 或 解得x>5或－50时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝(　　)‎ A．－2 B．‎0 C．1 D．2‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】∵f为奇函数，∴f＝－f(1)＝－＝－2.‎ ‎（2013·四川卷） 已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是 ．学 ！ ‎ ‎【答案】(－7，3)　‎