甘肃兰州有关中考数学试题解析

甘肃兰州有关中考数学试题解析

‎2018甘肃兰州有关中考数学试题-解析版 一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分）‎ ‎1、（2011•兰州）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）‎ ‎ A、 B、ax2+bx+c=0 C、（x﹣1）（x+2）=1 D、3x2﹣2xy﹣5y2=0‎ 考点：一元二次方程的定义。‎ 专题：方程思想。‎ 分析：一元二次方程必须满足四个条件：‎ ‎（1）未知数的最高次数是2；‎ ‎（2）二次项系数不为0；‎ ‎（3）是整式方程；‎ ‎（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．‎ 解答：解：A、由原方程，得x4+1=0，未知数的最高次数是4；故本选项错误；‎ B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；‎ C、由原方程，得x2+x﹣3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；‎ D、方程3x2﹣2xy﹣5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．‎ ‎2、（2011•兰州）如图，某反比例函数的图象过点M（﹣2，1），则此反比例函数表达式为（　　）‎ ‎ A、y= B、y=﹣ C、y= D、y=﹣‎ 考点：待定系数法求反比例函数解析式。‎ 专题：待定系数法。‎ 分析：利用待定系数法，设，然后将点M（﹣2，1）代入求出待定系数即可．‎ 解答：解：设反比例函数的解析式为（k≠0），‎ 由图象可知，函数经过点P（﹣2，1），‎ ‎∴1=，‎ 得k=﹣2，‎ ‎∴反比例函数解析式为y=﹣．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：图象上的点满足解析式，满足解析式的点在函数图象上．利用待定系数法是求解析式时常用的方法．‎ ‎3、（2011•兰州）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（　　）‎ 17‎ ‎ A、20° B、30° C、40° D、50°‎ 考点：切线的性质；圆周角定理。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先连接BC，由于AB 是直径，可知∠BCA=90°，而∠A=25°，易求∠CBA，又DC是切线，利用弦切角定理可知∠DCB=∠A=25°，再利用三角形外角性质可求∠D．‎ 解答：解：如右图所示，连接BC，‎ ‎∵AB 是直径，‎ ‎∴∠BCA=90°，‎ 又∵∠A=25°，‎ ‎∴∠CBA=90°﹣25°=65°，‎ ‎∵DC是切线，‎ ‎∴∠BCD=∠A=25°，‎ ‎∴∠D=CBA﹣∠BCD=65°﹣25°=40°．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了直径所对的圆周角等于90°、弦切角定理、三角形外角性质．解题的关键是连接BC，构造直角三角形ABC．‎ ‎4、（2011•兰州）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（　　）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ 考点：锐角三角函数的定义；旋转的性质。‎ 分析：过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．‎ 解答：解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．‎ 根据旋转性质可知，∠B′=∠B．‎ 在Rt△BCD中，tanB==，‎ ‎∴tanB′=tanB=．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．‎ ‎5、（2011•兰州）抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是（　　）‎ ‎ A、（1，0） B、（﹣1，0） C、（﹣2，1） D、（2，﹣1）‎ 考点：二次函数的性质。‎ 专题：函数思想。‎ 分析：将原抛物线方程y=x2﹣2x+1转化为顶点式方程，然后根据顶点式方程找顶点坐标．‎ 解答：解：由原方程，得 y=（x﹣1）2，‎ ‎∴该抛物线的顶点坐标是：（1，0）．‎ 17‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了二次函数的性质．解题时，将原方程的一般形式利用完全平方差公式转化为顶点式方程后，再来求其顶点坐标．‎ ‎6、（2011•兰州）如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是（　　）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ 考点：由三视图判断几何体；简单组合体的三视图。‎ 专题：作图题。‎ 分析：找到从正面看所得到的图形即可．‎ 解答：解：从正面可看到，左边2个正方形，中间1个正方形，右边1个正方形．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．‎ ‎7、（2011•兰州）一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（　　）‎ ‎ A、m=3，n=5 B、m=n=4 C、m+n=4 D、m+n=8‎ 考点：概率公式。‎ 专题：计算题。‎ 分析：由于每个球都有被摸到的可能性，故可利用概率公式求出摸到白球的概率与摸到的球不是白球的概率，列出等式，求出m、n的关系．‎ 解答：解：根据概率公式，摸出白球的概率，，‎ 摸出不是白球的概率，，‎ 由于二者相同，故有=，‎ 整理得，m+n=8，‎ 故选D．‎ 点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．‎ ‎8、（2011•兰州）点M（﹣sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（　　）‎ ‎ A、（） B、（﹣） C、（﹣） D、（﹣）‎ 考点：特殊角的三角函数值；关于x轴、y轴对称的点的坐标。‎ 分析：先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．‎ 解答：解：∵sin60°=，cos60°=，‎ ‎∴点M（﹣）．‎ ‎∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），‎ ‎∴M关于x轴的对称点的坐标是（﹣）．‎ 故选B．‎ 点评：考查平面直角坐标系点的对称性质，特殊角的三角函数值．‎ ‎9、（2011•兰州）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：‎ ‎（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（　　）‎ 17‎ ‎ A、2个 B、3个 C、4个 D、1个 考点：二次函数图象与系数的关系。‎ 专题：函数思想。‎ 分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．‎ 解答：解：（1）根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点，‎ ‎∴△=b2﹣4ac＞0；‎ 故本选项正确；‎ ‎（2）由图象知，该函数图象与y轴的交点在（0，1），‎ ‎∴c＜1；‎ 故本选项错误；‎ ‎（3）由图示，知 对称轴x=﹣＞﹣1；‎ 又函数图象的开口方向向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∴﹣b＜﹣2a，即2a﹣b＜0，‎ 故本选项正确；‎ ‎（4）根据图示可知，当x=1，即y=a+b+c＜0，‎ ‎∴a+b+c＜0；‎ 故本选项正确；‎ 综上所述，我认为其中错误的是（2），共有1个；‎ 故选D．‎ 点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．‎ ‎10、（2011•兰州）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（　　）‎ ‎ A、（x+1）2=6 B、（x+2）2=9 C、（x﹣1）2=6 D、（x﹣2）2=9‎ 考点：解一元二次方程-配方法。‎ 专题：方程思想。‎ 分析：配方法的一般步骤：‎ ‎（1）把常数项移到等号的右边；‎ ‎（2）把二次项的系数化为1；‎ ‎（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．‎ 解答：解：由原方程移项，得 x2﹣2x=5，‎ 方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得 x2﹣2x+1=6‎ ‎∴（x﹣1）2=6．‎ 故选C．‎ 点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．‎ ‎11、（2011•兰州）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）‎ 17‎ ‎ A、x（x﹣1）=2070 B、x（x+1）=2070‎ ‎ C、2x（x+1）=2070 D、‎ 考点：由实际问题抽象出一元二次方程。‎ 分析：根据题意得：每人要赠送x﹣1张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．‎ 解答：解：根据题意得：每人要赠送x﹣1张相片，有x个人，‎ ‎∴全班共送：（x﹣1）x=2070，‎ 故选：A．‎ 点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x﹣1张相片，有x个人是解决问题的关键．‎ ‎12、（2011•兰州）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为（　　）‎ ‎ A、6 B、13 C、 D、‎ 考点：垂径定理；垂线；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形。‎ 专题：计算题。‎ 分析：延长AO交BC于D，接OB，根据AB=AC，O是等腰Rt△ABC的外心，推出AO⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，求出∠BAD=∠ABD=45°，AD=BD=3，由勾股定理求出OB即可．‎ 解答：解：延长AO交BC于D，‎ 连接OB，‎ ‎∵AB=AC，O是等腰Rt△ABC的外心，‎ ‎∴AO⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，‎ ‎∵∠BAC=90°，‎ ‎∴∠ADB=90°，∠BAD=45°，‎ ‎∴∠BAD=∠ABD=45°，‎ ‎∴AD=BD=3，‎ ‎∴OD=3﹣1=2，‎ 由勾股定理得：OB==．‎ 故选C．‎ 点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，垂线，垂径定理等知识点的理解和掌握，求出OD、BD的长是解此题的关键．‎ ‎13、（2011•兰州）现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形．其中真命题的个数是（　　）‎ ‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ 考点：命题与定理；菱形的性质；矩形的判定；圆与圆的位置关系；位似变换。‎ 专题：应用题。‎ 分析：根据真命题的定义逐个进行判断即可得出结果．‎ 解答：解：①无公共点的两圆有可能外离，也有可能内含，故本选项错误，‎ ‎②位似三角形是相似三角形，正确，‎ 17‎ ‎③菱形的面积等于两条对角线的积的一半，故本选项错误，‎ ‎④对角线相等的四边形是矩形，等腰梯形也可以，故本选项错误，‎ ‎∴真命题的个数是1．‎ 故选A．‎ 点评：本题主要考查了外离圆定义、相似三角形性质、菱形面积公式、矩形的性质，比较综合，难度适中．‎ ‎14、（2011•兰州）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（　　）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ 考点：二次函数的应用；全等三角形的判定与性质；勾股定理。‎ 分析：根据条件可知△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2，进而可求出函数解析式，求出答案．‎ 解答：解：∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，‎ ‎∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．‎ 设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理，得 EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2‎ 即s=x2+（1﹣x）2．‎ s=2x2﹣2x+1，‎ ‎∴所求函数是一个开口向上，对称轴是x=．‎ ‎∴自变量的取值范围是大于0小于1．‎ 故选B．‎ 点评：本题需根据自变量的取值范围，并且可以考虑求出函数的解析式来解决．‎ ‎15、（2011•兰州）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为（　　）‎ ‎ A、1 B、﹣3 C、4 D、1或﹣3‎ 考点：待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质。‎ 专题：函数思想。‎ 分析：设C（x，y）．根据矩形的性质、点A的坐标分别求出B（﹣2，y）、D（x，﹣2）；根据“矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点”及直线AB的几何意义求得xy=4①，又点C在反比例函数的图象上，所以将点C的坐标代入其中求得xy=k2+2k+1②；联立①②解关于k的一元二次方程即可．‎ 解答：解：设C（x，y）．‎ 17‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，点A的坐标为（﹣2，﹣2），‎ ‎∴B（﹣2，y）、D（x，﹣2）；‎ ‎∵矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，‎ ‎∴=，即xy=4；①‎ 又∵点C在反比例函数的图象上，‎ ‎∴xy=k2+2k+1，②‎ 由①②，得 k2+2k﹣3=0，即（k﹣1）（k+3）=0，‎ ‎∴k=1或k=﹣3；‎ ‎∵k＞0，‎ ‎∴k=1，‎ 故选A．‎ 点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质．解答此题的难点是根据C（x，y）求得B、C两点的坐标，然后根据B、C两点所在直线的斜率列出方程=，即xy=4．‎ 二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎16、（2011•兰州）如图，OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB=27°，则∠OBD=　63　度．‎ 考点：圆周角定理。‎ 分析：根据圆周角定理可得∠DOB=2∠DCB，再根据等边对等角可得∠ODB=∠OBD，进而得到∠OBD=（180°﹣∠DOB）÷2，即可得到答案．‎ 解答：解：∵∠DCB=27°，‎ ‎∴∠DOB=2∠DCB=27°×2=54°，‎ ‎∵OD=OB，‎ ‎∴∠ODB=∠OBD，‎ ‎∴∠OBD=（180°﹣∠DOB）÷2=（180°﹣54°）÷2=63°．‎ 故答案为：63°．‎ 点评：此题主要考查了圆周角定理与等腰三角形的性质，关键是找准角之间的关系．‎ ‎17、（2011•兰州）某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：，坝外斜坡的坡度i=1：1，则两个坡角的和为　75°　．‎ 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。‎ 分析：从实际情况和坡度值可以得到两个坡度角都为锐角，并都是特殊角从而很容易解得．‎ 解答：解：坝内斜坡的坡度i=1：，说明tga=，‎ 则a=30° 外斜坡的坡度i=1：1，‎ 说明tgv=1，v=45度，两角和为75°．‎ 故答案为：75°．‎ 点评：‎ 17‎ 本题考查了解直角三角形及其坡度计算，从坡度值以及实际情况可以得到两个坡度角都是锐角而解得．‎ ‎18、（2011•兰州）已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心O所经过的路线长是　（2π+50）　米．‎ 考点：弧长的计算。‎ 分析：根据弧长的公式先求出半圆形的弧长，即半圆作无滑动翻转所经过的路线长，把它与沿地面平移所经过的路线长相加即为所求．‎ 解答：‎ 解：由图形可知，圆心先向前走O1O2的长度即圆的周长，然后沿着弧O2O3旋转圆的周长，‎ 最后向右平移50米，‎ 所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50，‎ 由已知得圆的半径为2，‎ 则半圆形的弧长l==2π，‎ ‎∴圆心O所经过的路线长=（2π+50）米．‎ 点评：本题主要考查了弧长公式l=nπr180，同时考查了平移的知识．解题关键是得出半圆形的弧长=半圆作无滑动翻转所经过的路线长．‎ ‎19、（2011•兰州）关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是　x1=﹣4，x2=﹣1　．‎ 考点：一元二次方程的解。‎ 专题：计算题。‎ 分析：直接由向左平移加，向右平移减可得出x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．‎ 解答：解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），‎ ‎∴则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．‎ 故答案为：x1=﹣4，x2=﹣1．‎ 点评：此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．‎ ‎20、（2011•兰州）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为　（）2n﹣2．‎ 考点：矩形的性质；菱形的性质。‎ 专题：规律型。‎ 分析：易得第二个矩形的面积为（）2，第三个矩形的面积为（）4，依次类推，第n个矩形的面积为（）2n﹣2．‎ 解答：解：已知第一个矩形的面积为1；‎ 17‎ 第二个矩形的面积为原来的（）2×2﹣2=；‎ 第三个矩形的面积是（）2×3﹣2=；‎ ‎…‎ 故第n个矩形的面积为：（）2n﹣2．‎ 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．‎ 三、解答题（本题8小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎21、（2011•兰州）已知a是锐角，且sin（a+15°）=，计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值．‎ 考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据特殊角的三角函数值得出α，然后利用二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质进行化简，根据实数运算法则即可计算出结果．‎ 解答：解：∵sin60°=，‎ ‎∴α+15°=60°，‎ ‎∴α=45°，‎ ‎∴原式=2﹣4×﹣1+1+3=3．‎ 点评：本题主要考查了二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质及实数运算法则，难度适中．‎ ‎22、（2011•兰州）如图，有A、B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为P（x，y）．记s=x+y．‎ ‎（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；‎ ‎（2）李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当s＜6时甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？对谁有利？‎ 考点：游戏公平性；列表法与树状图法。‎ 分析：（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；‎ ‎（2）游戏是否公平，求出游戏双方获胜的的概率，比较是否相等即可．‎ 解答：解：（1）列表：‎ Yx ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎（1，2）‎ ‎（2，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎（4，2）‎ ‎4‎ ‎（1，4）‎ ‎（2，4）‎ ‎（3，4）‎ ‎（4，4）‎ ‎6‎ ‎（1，6）‎ ‎（2，6）‎ ‎（3，6）‎ ‎（4，6）‎ ‎（2）∵P（甲获胜）==，‎ 17‎ P（乙获胜）==，‎ ‎∴这个游戏不公平，对乙有利．‎ 点评：此题主要考查了游戏公平性的判断．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．‎ ‎23、（2011•兰州）今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，其等级作为考生录取的重要依据之一．某中学为了了解学生体育活动情况，随即调查了720名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图．根据图示，解答下列问题：‎ ‎（1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少？‎ ‎（2）“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；‎ ‎（3）2011年兰州市区初二学生约为2.4万人，按此调查，可以估计2011年兰州市区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？‎ ‎（4）请根据以上结论谈谈你的看法．‎ 考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式。‎ 分析：（1）根据扇形统计图得出，超过1小时的占90°，利用圆心角的度数比得出概率；‎ ‎（2）利用“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是，得出未超过1小时的为=，即可得出总人数，再利用条形图求出；‎ ‎（3）利用样本估计总体即可得出答案；‎ ‎（4）根据锻炼身体的情况可以提出一些建议．‎ 解答：解：（1）=，‎ ‎∴选出的恰好是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是；‎ ‎（2）∵720×=540（人），‎ ‎540﹣120﹣20=400人，‎ ‎∴“没时间”锻炼的人数是400；‎ ‎（3）2.4×（1﹣）=1.8（万人），‎ ‎∴2011年兰州市初二学生每天锻炼未超过1小时约有1.8万人．‎ ‎（4）根据同学们的锻炼身体时间情况可以发现，同学们需要加强锻炼．‎ 说明：内容健康，能符合题意即可．‎ 17‎ 点评：此题主要考查了扇形图与条形图的综合应用，根据扇形图与条形图综合应用得出每天锻炼未超过1小时的概率是解决问题的关键．‎ ‎24、（2011•兰州）已知：如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点P．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，且S△DBP=27，．‎ ‎（1）求点D的坐标；‎ ‎（2）求一次函数与反比例函数的解析式；‎ ‎（3）根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？‎ 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。‎ 专题：计算题；数形结合。‎ 分析：（1）本题需先根据题意一次函数与y轴的交点，从而得出D点的坐标．‎ ‎（2）本题需先根据在Rt△COD和Rt△CAP中，，OD=3，再根据S△DBP=27，从而得出BP得长和P点的坐标，即可求出结果．‎ ‎（3）根据图形从而得出x的取值范围即可．‎ 解答：解：（1）∵一次函数y=kx+3与y轴相交 ‎∴根据题意，得：D（0，3）‎ ‎（2）在Rt△COD和Rt△CAP中，，OD=3‎ ‎∴AP=6，OB=6∴DB=9Rt△DBP中，∴，‎ ‎∴BP=6，P（6，﹣6）‎ 一次函数的解析式为：‎ 反比例函数解析式为：‎ ‎（3）根据图象可得：当x＞6时，一次函数的值小于反比例函数的值．‎ 点评：本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，在解题时要注意知识的综合运用与图形相结合是解题的关键．‎ 17‎ ‎25、（2011•兰州）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．‎ ‎（1）请完成如下操作：‎ ‎①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD、CD．‎ ‎（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：‎ ‎①写出点的坐标：C　（6，2）　、D　（2，0）　；‎ ‎②⊙D的半径=　2（结果保留根号）；‎ ‎③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的地面面积为　π　（结果保留π）；‎ ‎④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．‎ 考点：垂径定理；勾股定理；直线与圆的位置关系；圆锥的计算；作图—复杂作图。‎ 分析：（1）根据叙述，利用正方形的网格即可作出坐标轴；‎ ‎（2）①利用（1）中所作的坐标系，即可表示出点的坐标；‎ ‎②在直角△OAD中，利用勾股定理即可求得半径长；‎ ‎③可以证得∠ADC=90°，利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积；‎ ‎④利用切线的判定定理，证得∠DCE=90°即可．‎ 解答：（本题满分9分）‎ 解：（1）①建立平面直角坐标系 ‎（1分）‎ ‎②找出圆心（3分）‎ ‎（2）①C（6，2）；D（2，0）（5分）‎ ‎②2　（6分）‎ ‎③π（7分）‎ ‎④直线EC与⊙D相切　　（8分）‎ 证CD2+CE2=DE2=25　　　（或通过相似证明）‎ 得∠DCE=90°　（9分）‎ ‎∴直线EC与⊙D相切．‎ 故答案为：①C（6，2）；D（2，0）②2　③π 点评：本题主要考查了垂径定理，圆锥的计算，正确证明△DCE是直角三角形是难点．‎ 17‎ ‎26、（2011•兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边/腰=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：‎ ‎（1）sad60°=　1　．‎ ‎（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是　0＜sadA＜2　．‎ ‎（3）如图②，已知sinA=，其中∠A为锐角，试求sadA的值．‎ 考点：解直角三角形。‎ 专题：新定义。‎ 分析：（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；‎ ‎（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；‎ ‎（3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．‎ 解答：解：（1）根据正对定义，‎ 当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，‎ 则三角形为等边三角形，‎ 则sad60°==1．‎ 故答案为：1．‎ ‎（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，‎ 当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．‎ 于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．‎ 故答案为0＜sadA＜2．‎ ‎（3） 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=．‎ 在AB上取点D，使AD=AC，‎ 作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，‎ 则AD=AC==4k，‎ 又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=．‎ ‎∴DH=ADsin∠A=k，AH==k．‎ 则在△CDH中，CH=AC﹣AH=k，CD==k．‎ 于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=k．‎ 由正对的定义可得：sadA==，即sadα=．‎ 17‎ 点评：此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答．‎ ‎27、（2011•兰州）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．‎ ‎（1）求证：四边形AFCE是菱形；‎ ‎（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；‎ ‎（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）。‎ 专题：几何综合题。‎ 分析：（1）通过证明△AOE≌△COF，可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明；‎ ‎（2）由勾股定理得AB2+FB2=100，△ABF的面积为24cm2可得，AB×BF=48；变换成完全平方式，即可解答；‎ ‎（3）过点E作AD的垂线，交AC于点P，通过证明△AOE∽△AEP，即可证明；‎ 解答：（1）证明：由题意可知OA=OC，EF⊥AO，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，‎ ‎∴△AOE≌△COF，‎ ‎∴AE=CF，又AE∥CF，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∵AC⊥EF，‎ ‎∴四边形AECF是菱形；‎ ‎（2）∵四边形AECF是菱形，‎ ‎∴AF=AE=10cm，‎ 设AB=a，BF=b，‎ ‎∵△ABF的面积为24cm2，‎ ‎∴a2+b2=100，ab=48，‎ ‎∴（a+b）2=196，‎ ‎∴a+b=14或a+b=﹣14（不合题意，舍去），‎ ‎∴△ABF的周长为14+10=24cm；‎ ‎（3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点；‎ 证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP，‎ ‎∴△AOE∽△AEP，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AE2=AO•AP，‎ ‎∵四边形AECF是菱形，‎ ‎∴AO=AC，‎ ‎∴AE2=AC•AP，‎ ‎∴2AE2=AC•AP．‎ 点评：本题考查了相似和全等三角形的判定和性质、勾股定理及矩形的性质，考查了知识点较多，综合性较强，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．‎ 17‎ ‎28、（2011•兰州）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同 时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）‎ ‎①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；‎ ‎②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．‎ 考点：二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，求出A、B、D的坐标代入即可；（2）①由勾股定理即可求出，②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，求出P、Q的坐标，再分为三种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标．（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，求出直线BD的解析式，把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．‎ 解答：（1）解：设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，‎ 当x=0时，y=﹣2，‎ ‎∴点A的坐标是（0，﹣2），‎ ‎∵正方形的边长2，‎ ‎∴B的坐标（2，﹣2），把A（0，﹣2），B（2，﹣2），D（4，﹣）代入得：‎ 且，‎ 解得a=，b=﹣，c=﹣2‎ ‎∴抛物线的解析式为：，‎ 答：抛物线的解析式为：．‎ ‎（2）解：①由图象知：PB=2﹣2t，BQ=t，‎ ‎∴S=PQ2=PB2+BQ2，‎ ‎=（2﹣2t）2+t2，‎ 即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）．‎ 答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4，t的取值范围是0≤t≤1．‎ ‎②解：假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．‎ ‎∵S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1），‎ 17‎ ‎∴当S=时，5t2﹣8t+4=，得20t2﹣32t+11=0，‎ 解得t=，t=（不合题意，舍去），‎ 此时点P的坐标为（1，﹣2），Q点的坐标为（2，﹣）‎ 若R点存在，分情况讨论：‎ ‎【A】假设R在BQ的右边，这时QR=PB，RQ∥PB，则R的横坐标为3，R的纵坐标为﹣，‎ 即R（3，﹣），‎ 代入，左右两边相等，‎ ‎∴这时存在R（3，﹣）满足题意；‎ ‎【B】假设R在BQ的左边，这时PR=QB，PR∥QB，‎ 则：R的横坐标为1，纵坐标为﹣，‎ 即（1，﹣），‎ 代入，左右两边不相等，R不在抛物线上；‎ ‎【C】假设R在PB的下方，这时PR=QB，PR∥QB，则：R（1，﹣）代入，‎ 左右不相等，‎ ‎∴R不在抛物线上．（1分）‎ 综上所述，存点一点R（3，﹣）满足题意．‎ 答：存在，R点的坐标是（3，﹣）．‎ ‎（3）解：如图，M′B=M′A，‎ ‎∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，‎ 设直线BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐标代入得：，‎ 解得：k=，b=﹣，‎ ‎∴y=x﹣，‎ 抛物线的对称轴是x=1，‎ 把x=1代入得：y=﹣‎ ‎∴M的坐标为（1，﹣）；‎ 17‎ 答：M的坐标为（1，﹣）．‎ 点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，勾股定理，平行四边形的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解此题的关键是综合运用这些知识进行计算．此题综合性强，是一道难度较大的题目．‎ 17‎