高考数学一轮复习讲义—8空间几何体

高考数学一轮复习讲义—8空间几何体

‎ ‎ 第8讲 空间几何体 一．【课标要求】‎ ‎1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；‎ ‎2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；‎ ‎3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；‎ ‎4．完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；‎ 二．【命题走向】‎ 近几年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，解答题常常立足于棱柱、棱锥和正方体位置关系的证明和夹角距离的求解，而选择题、填空题又经常研究空间几何体的几何特征和体积表面积。因此复习时我们要首先掌握好空间几何体的空间结构特征。培养好空间想能力。‎ 预测2010年高考对该讲的直接考察力度可能不大，但经常出一些创新型题目，具体预测如下：‎ ‎（1）题目多出一些选择、填空题，经常出一些考察空间想象能力的试题；解答题的考察位置关系、夹角距离的载体使空间几何体，我们要想像的出其中的点线面间的位置关系；‎ ‎（2）研究立体几何问题时要重视多面体的应用，才能发现隐含条件，利用隐蔽条件解题。‎ 三．【要点精讲】‎ ‎1．柱、锥、台、球的结构特征 ‎（1）柱 棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。‎ 底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……‎ 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 棱柱与圆柱统称为柱体；‎ ‎（2）锥 棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。‎ 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……‎ 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。‎ 棱锥与圆锥统称为锥体 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ ‎（3）台 棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。‎ 圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴 圆台和棱台统称为台体。‎ ‎（4）球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。‎ ‎（5）组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。‎ ‎2．空间几何体的三视图 三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。‎ 他具体包括：‎ ‎（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；‎ 它能反映物体的高度和长度；‎ ‎（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；‎ 它能反映物体的高度和宽度；‎ ‎（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；‎ 它能反映物体的长度和宽度；‎ ‎3．空间几何体的直观图 ‎（1）斜二测画法 ‎①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；‎ ‎②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O’X’,O’Y’,使=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；‎ ‎③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；‎ ‎④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。‎ ‎（2）平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点 四．【典例解析】‎ 题型1：空间几何体的构造 例1．9，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）‎ 答案 B 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ ‎2. (2009湖南卷理)正方体ABCD—的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为（C）‎ A．2 B．3 C. 4 D. 5 ‎ ‎【答案】：C ‎【解析】解析如图示，则BC中点，点，点，点分别到两异面直线的距离相等。即满足条件的点有四个，故选C项 ‎（3）正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1D1的距离为，则点P的轨迹是[ ]‎ A.圆 B.双曲线 C.两个点 D.直线 解析： 点P到A1D1的距离为，则点P到AD的距离为1，满足此条件的P的轨迹是到直线AD的距离为1的两条平行直线，‎ 又，满足此条件的P的轨迹是以M为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点.‎ 故点P的轨迹是两个点。选项为C。‎ 点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。‎ 例2．（07江苏9）‎ 两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）‎ A．1个　　　　　B．2个 C．3个　　　　　D．无穷多个 解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D。‎ 点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。‎ 题型2：空间几何体的定义 例3．（2009四川卷理）如图，在半径为3的面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。（同文9）‎ 解析：由知截面圆的半径 ‎，故，所以两点的球面距离为，故选择B。‎ 解析2：过球心作平面的垂线交平面与，，则在直线上，由于，，所以，由为等腰直角三角形可得，所以为等边三角形，则两点的球面距离是。‎ 例4．2009浙江卷文）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 ‎ ‎【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系．‎ ‎【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．. ‎ 点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。‎ 题型3：空间几何体中的想象能力 例5．（2009北京卷理）（本小题共14分）‎ ‎ 如图，在三棱锥中，底面，‎ 点，分别在棱上，且 ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；‎ ‎（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.‎ ‎【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．‎ ‎（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.‎ 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ 又，∴AC⊥BC.‎ ‎∴BC⊥平面PAC.‎ ‎（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，‎ ‎∴，‎ 又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，‎ ‎∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，‎ ‎∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，‎ ‎∴△ABP为等腰直角三角形，∴，‎ ‎∴在Rt△ABC中，，∴.‎ ‎∴在Rt△ADE中，，‎ ‎∴与平面所成的角的大小.‎ ‎（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，‎ 又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，‎ ‎∴∠AEP为二面角的平面角，‎ ‎∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.‎ ‎∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，‎ 故存在点E使得二面角是直二面角.‎ ‎【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，‎ ‎ 设，由已知可得 ‎ .‎ ‎ （Ⅰ）∵，‎ ‎∴，∴BC⊥AP.‎ 又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.‎ ‎（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，‎ 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ ‎∴，‎ ‎∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴与平面所成的角的大小.‎ ‎（Ⅲ）同解法1.‎ 例6．（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）. ‎ 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1‎ ‎（Ⅰ）证明：AB=AC ‎ ‎（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小 解析：本题考查线面垂直证明线面夹角的求法，第一问可取BC中点F，通过证明AF⊥平面BCC1,再证AF为BC的垂直平分线，第二问先作出线面夹角，即证四边形AFED是正方形可证平面DEF⊥平面BDC，从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。‎ 解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。‎ A C B A1‎ B1‎ C1‎ D E 连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。‎ 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=600..‎ ‎ 设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。‎ 由得2AD=，解得AD=。‎ 故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。‎ 因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。‎ 连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。‎ 连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角。. ‎ 因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，‎ 所以∠ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。‎ 设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）.‎ 于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。‎ ‎（Ⅱ）设平面BCD的法向量则 又=（-1，1， 0），‎ ‎=（-1，0，c）,故 ‎ 令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).‎ 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ 又平面的法向量=（0，1，0）‎ 由二面角为60°知，=60°，‎ 故 °，求得 ‎ 于是 ， ‎ ‎，‎ ‎ °‎ 所以与平面所成的角为30°‎ 题型4：斜二测画法 例7．画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm侧棱长为5cm。‎ 解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z轴方向平移即可得 作法：‎ ‎（1）画轴：画X′，Y′，Z′轴，使∠X′O′Y′=45°（或135°），∠X′O′Z′=90°。‎ ‎（2）画底面：按X′轴，Y′轴画正五边形的直观图ABCDE。‎ ‎（3）画侧棱：过A、B、C、D、E各点分别作Z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE。′‎ ‎（4）成图：顺次连结A′，B′，C′，D′，F′，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线 点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。‎ 例8．是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么△ABC的面积为_______________。‎ 解析：。‎ 点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。‎ 题型5：平行投影与中心投影 例9．（1）如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（ ）‎ ‎① ② ③ ④‎ 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ A．①③ B．②③④ C．③④ D．②④‎ ‎（2）（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥SD； ‎ ‎（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小 ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。‎ 解法一：‎ ‎ （Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以,得.‎ ‎ (Ⅱ)设正方形边长，则。‎ 又，所以,‎ ‎ 连，由（Ⅰ）知,所以, ‎ 且,所以是二面角的平面角。‎ 由,知,所以,‎ 即二面角的大小为。‎ ‎ （Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使 由（Ⅱ）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.‎ 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ 解法二：‎ ‎ （Ⅰ）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图 ‎ 设底面边长为，则高。‎ ‎ 于是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故 ‎ 从而 ‎ ‎ (Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为 ‎ （Ⅲ）在棱上存在一点使.‎ ‎ 由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，‎ ‎ 且 ‎ 设 ‎ 则 ‎ 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ 而 ‎ 即当时， ‎ 而不在平面内，故 例10．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7‎ 以上结论正确的为________________________（写出所有正确结论的编号）‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A1‎ 解析：如图，B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选①③④⑤。‎ 点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目 题型6：三视图 例11．（1）画出下列几何体的三视图 ‎（2）‎ 解析：这二个几何体的三视图如下 ‎（2）如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）‎ 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ 点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。‎ 例12．某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状 解析：该几何体为一个正四棱锥分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。‎ 点评：主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状 五．【思维总结】‎ ‎1.几种常凸多面体间的关系 ‎2.一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质 名称 棱柱 直棱柱 正棱柱 图 形 定 义 侧棱垂直于底面的棱柱 底面是正多边形的直棱柱 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ 有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体 侧棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等 侧面的形状 平行四边形 矩形 全等的矩形 对角面的形状 平行四边形 矩形 矩形 平行于底面的截面的形状 与底面全等的多边形 与底面全等的多边形 与底面全等的正多边形 名称 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台 图形 定义 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体 底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分 由正棱锥截得的棱台 侧棱 相交于一点但不一定相等 相交于一点且相等 延长线交于一点 相等且延长线交于一点 侧面的形状 三角形 全等的等腰三角形 梯形 全等的等腰梯形 对角面的形状 三角形 等腰三角形 梯形 等腰梯形 平行于底的截面形状 与底面相似的多边形 与底面相似的正多边形 与底面相似的多边形 与底面相似的正多边形 其他性质 高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等 两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等 几种特殊四棱柱的特殊性质 名称 特殊性质 平行六面体 底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分 直平行六面体 侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分 长方体 第 14 页 共 14 页 ‎ ‎ 底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分 正方体 棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分 ‎3． 三视图画法规则 高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正 宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等 ‎4．画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法 第 14 页 共 14 页