深圳中考数学代数专项复习

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深圳中考数学代数专项复习

深圳中考专题复习(五) —代数专题 ‎ ‎ ‎ 反比例函数与二次函数的相关知识是中考考试重点,二次函数的考察也是一难点,所以本次专题以这二者的讲解与训练为主。‎ ‎【典例精析】‎ ‎●专题一 一元二次方程 考点1: 一元二次方程的根的判别式、韦达定理、根的定义以及整体思想 ‎【例1】1、方程有两个实数根,则k的取值范围是 .‎ ‎2、已知是方程的根,则代数式的值为 .‎ 考点2: 一元二次方程的应用 ‎【例2】“低碳生活,绿色出行”,自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加,据统计,该商城1月份销售自行车64辆,3月份销售了100辆。‎ ‎(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同,问该商城4月份卖出多少辆自行车?‎ ‎(2)考虑到自行车需求不断增加,该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车,已知A型车的进价为500元/辆,售价为700元/辆,B型车进价为1000元/辆,售价为1300元/辆。根据销售经验,A型车不少于B型车的2倍,但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完,为使利润最大,该商城应如何进货?‎ - 14 -‎ ‎●专题二 反比例函数和二次函数 考点1:反比例函数图像及性质应用 ‎【例3】1、如图,矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点,矩形的边分别平行于坐标轴,点C在反比例函数的图象上。若点A的坐标为(-2,-2),则k的值为( )‎ A.1 B.-3 C.4 D.1或-3‎ ‎2、如图,直线与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点,交x轴的正半轴于C点,若AB:BC=(m-1):1(m>1),则△OAB的面积(用m表示)为 ‎.‎ 图1 图2 图3‎ ‎3、如图,M为双曲线上的一点,过点M作x轴、y轴的垂线,分别交直线于D、C两点,若直线与y轴交与点A,与x轴交与点B,则AD·BC的值为 。‎ 考点2:规律探索 ‎【例4】‎ 1、 如图12,一段抛物线:y=-x(x-3)(0≤x≤3),记为 C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x 轴于点A2;‎ 将C2绕点A2旋转180°得C3,交x 轴于点A3;……‎ 如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m =_________.‎ ‎2、如图,点P1(x1,y1),点P2(x2,y2),…,点Pn(xn,yn)在函数(x>0)的图象上,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…,△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形,斜边OA1、A1A2、A2A3,…,An﹣1An都在x轴上(n是大于或等于2的正整数),则点P3的坐标是 ;点Pn的坐标是 (用含n的式子表示).‎ - 14 -‎ 考点3:反比列函数与一次函数的综合运用 ‎【例5】如图,矩形的顶点分别在轴和轴上,点的坐标为。双曲线的图像经过的中点,且与交于点,连接。‎ ‎(1)求的值及点的坐标;‎ ‎(2)若点是边上一点,且△FBC∽△DEB,求直线的解析式。‎ ‎【例6】如图,已知矩形OABC中,OA=2,AB=4,双曲线(k>0)与矩形两边AB、BC分别交于E、F。‎ ‎(1)若E是AB的中点,求F点的坐标;‎ ‎(2)若将△BEF沿直线EF对折,B点落在x轴上的D点,作EG⊥OC,垂足为G,证明△EGD∽△DCF,并求k的值。‎ ‎.‎ - 14 -‎ 考点4:求二次例函数解析式 ‎【例7】§1、(已知顶点坐标、对称轴、或极值求二次函数的解析式)‎ 已知二次函数的图象过点(-1,2),对称轴为且最小值为-2,求这个函数的解析式。‎ ‎§2、(已知图象与x轴两交点间的距离求解析式)‎ 已知二次函数的图象x轴两交点间的距离为6,对称轴为且经过点(3,-4),求这个二次函数的解析式。‎ ‎§3、(由二次函数的图象变换求解析式)‎ 把函数的图象绕其图象与y轴的交点旋转1800,求所得抛物线的解析式。‎ 考点2:二次函数图像及性质运用 ‎【例8】1、 对于二次函数,有下列说法:‎ ‎①它的图象与轴有两个公共点;‎ ‎②如果当≤1时随的增大而减小,则;‎ ‎③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则;‎ ‎④如果当时的函数值与时的函数值相等,则当时的函数值为.‎ 其中正确的说法是 。(把你认为正确说法的序号都填上)‎ - 14 -‎ ‎2、小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象中,观察 得出了下面五条信息:‎ ‎①ab>0;②a+b+c<0;③b+2c>0;④a﹣2b+4c>0;⑤.‎ 你认为其中正确信息的有 (填番号)。‎ 考点5:二次例函数的实际应用 ‎【例9】某电子厂商投产一种新型电子厂品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100.(利润=售价﹣制造成本)‎ ‎(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;‎ ‎(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润?当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?‎ ‎(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?‎ 考点6:二次函数的压轴题 ‎【例10】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,已知点A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0).‎ ‎(1)求此抛物线的解析式.‎ ‎(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点,(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.‎ ‎①动点P在什么位置时,△PDE的周长最大,求出此时P点的坐标;‎ ‎②连接PA,以AP为边作图示一侧的正方形APMN,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时,求出对应的P点的坐标.(结果保留根号)‎ ‎ ‎ - 14 -‎ ‎【加强训练】‎ ‎1、如图1,等腰直角三角形ABC位于第一象限,AB=AC=2,直角顶点A在直线y = x上,其中A点的横坐标为1,且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴。若双曲线y = (k≠0)与△ABC的边有交点,则k的取值范围是( )‎ A.1<k<2 B.1≤k≤3 C.1≤k≤4 D.1≤k<4‎ ‎2、如图,直线 交x轴、y轴于A、B两点,P是反比例函数图象上位于直线下方的一点,过点P作x轴的垂线,垂足为点M,交AB于点E,过点P作y轴的垂线,垂足为点N,交AB于点F。则 。‎ ‎3、某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车,在一定范围内,每辆汽车的进价与销售量有如下关系,若当月仅售出1辆汽车,则该汽车的近价为27万元;每多售出1辆,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10辆以内(含10辆),每辆返利0.5万元,销售量在10辆以上,每辆返利1万.‎ ‎(1)若该公司当月售出3辆汽车,则每辆汽车的进价为多少万元?‎ ‎(2)如果汽车的售价为28万元/辆,该公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少辆汽车?(盈利=销售利润+返利)‎ ‎4、如图所示,在直角坐标系中,点是反比例函数的图象上一点,轴的正半轴于点,是的中点;一次函数的图象经过、两点,并将轴于点若 ‎ ‎(1)求反比例函数和一次函数的解析式;‎ ‎(2)观察图象,请指出在轴的右侧,当时,求的取值范围.‎ - 14 -‎ ‎5、如图,在平面直角坐标系中,将矩形的顶点O与原点重合,边OC、OA分别在x、y轴上,顶点B在第四象限, ,,将矩形沿直线折叠,使点落在 处,交于.‎ ‎(1)求的长;‎ ‎(2)求过三点抛物线的解析式;‎ ‎(3)若为过三点抛物线的顶点,一动点从点出发,沿射线以每秒1个单位长度的速度匀速运动,当运动时间(秒)为何值时,直线把分成面积之比为的两部分?‎ - 14 -‎ 部分答案:‎ ‎【例2】(1)27-(3-1)×0.1=26.8.‎ ‎ (2)设销售汽车x辆,则汽车的进价为27-(x-1)×0.1=27.1-0.1x万元,‎ ‎ 若x≤10,则(28-27.1+0.1x)x+0.5x=12‎ ‎ 解得x1=6,x2=-20(不合题意,舍去)‎ ‎ 若x>10,则(28-27.1+0.1x)x+x=12‎ ‎ 解得x3=5(与x>10舍去,舍去),x4=-24(不合题意,舍去)‎ ‎ 公司计划当月盈利12万元,需要售出6辆汽车.‎ ‎【例6】解:(1)OABC为矩形,AB=OC=4,点E是 AB的中点,AE=2,OA=2,,‎ 点E(2,2)在双曲线y=上,‎ k=2×2=4 ,点F在直线BC及双 曲线y= ,设点F的坐标为(4,f),f= =1,‎ 所以点F的坐标为(4,1).‎ ‎(2)①证明:△DEF是由△BEF沿EF对折得到的,‎ ‎∠EDF=∠EBF=90º,点D在直线OC上,‎ ‎∠GDE+∠CDF=180º-∠EDF=180º-90º=90º,‎ ‎∠DGE=∠FCD=90º,∠GDE+∠GED=90º,∠CDF=∠GED,‎ ‎△EGD∽△DCF;‎ ② 设点E的坐标为(a ,2), 点F的坐标为(4,b),点E、F在双曲线y=上,k=2a=4b,a=2b,所以有点E(2b,2), AE=2b,AB=4,‎ ED=EB=4-2b, EG=OA=CB=2, CF=b, DF=BF=CB-CF=2-b,‎ DC===2,‎ ‎△EGD∽△DCF,= ,= ,b= ,‎ 有点F(4,),k = 4×= 3.‎ 考点:‎ 二次函数综合题.3718684‎ 专题:‎ 代数几何综合题.‎ 分析:‎ ‎(1)把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式,利用待定系数法求二次函数解析式解答即可;‎ ‎(2)①根据点A、B的坐标求出OA=OB,从而得到△AOB是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°,然后求出△PED是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质,PD越大,△PDE的周长最大,再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时,PD最大,再求出直线AB的解析式为y=x+3,设与AB平行的直线解析式为y=x+m,与抛物线解析式联立消掉y,得到关于x的一元二次方程,利用根的判别式△=0列式求出m的值,再求出x、y的值,从而得到点P的坐标;‎ - 14 -‎ ‎②先确定出抛物线的对称轴,然后(i)分点M在对称轴上时,过点P作PQ⊥对称轴于Q,根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM,再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等,根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ,设点P的横坐标为n,表示出PQ的长,即PF,然后代入抛物线解析式计算即可得解;(ii)点N在对称轴上时,同理求出△APF和△ANQ全等,根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ,根据点A的坐标求出点P的纵坐标,再代入抛物线解析式求出横坐标,即可得到点P的坐标.‎ 解答:‎ 解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0),‎ ‎∴,‎ 解得,‎ 所以,抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;‎ ‎(2)①∵A(﹣3,0),B(0,3),‎ ‎∴OA=OB=3,‎ ‎∴△AOB是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠BAO=45°,‎ ‎∵PF⊥x轴,‎ ‎∴∠AEF=90°﹣45°=45°,‎ 又∵PD⊥AB,‎ ‎∴△PDE是等腰直角三角形,‎ ‎∴PD越大,△PDE的周长越大,‎ 易得直线AB的解析式为y=x+3,‎ 设与AB平行的直线解析式为y=x+m,‎ 联立,‎ 消掉y得,x2+3x+m﹣3=0,‎ 当△=32﹣4×1×(m﹣3)=0,‎ 即m=时,直线与抛物线只有一个交点,PD最长,‎ 此时x=﹣,y=﹣+=,‎ ‎∴点P(﹣,)时,△PDE的周长最大;‎ ‎②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=﹣=﹣1,‎ ‎(i)如图1,点M在对称轴上时,过点P作PQ⊥对称轴于Q,‎ - 14 -‎ 在正方形APMN中,AP=PM,∠APM=90°,‎ ‎∴∠APF+∠FPM=90°,∠QPM+∠FPM=90°,‎ ‎∴∠APF=∠QPM,‎ ‎∵在△APF和△MPQ中,‎ ‎,‎ ‎∴△APF≌△MPQ(AAS),‎ ‎∴PF=PQ,‎ 设点P的横坐标为n(n<0),则PQ=﹣1﹣n,‎ 即PF=﹣1﹣n,‎ ‎∴点P的坐标为(n,﹣1﹣n),‎ ‎∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上,‎ ‎∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n,‎ 整理得,n2+n﹣4=0,‎ 解得n1=(舍去),n2=,‎ ‎﹣1﹣n=﹣1﹣=,‎ 所以,点P的坐标为(,);‎ ‎(ii)如图2,点N在对称轴上时,设抛物线对称轴与x轴交于点Q,‎ ‎∵∠PAF+∠FPA=90°,∠PAF+∠QAN=90°,‎ ‎∴∠FPA=∠QAN,‎ 又∵∠PFA=∠AQN=90°,PA=AN,‎ ‎∴△APF≌△NAQ,‎ ‎∴PF=AQ,‎ 设点P坐标为P(x,﹣x2﹣2x+3),‎ - 14 -‎ 则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣(﹣3)=2,‎ 解得x=﹣1(不合题意,舍去)或x=﹣﹣1,‎ 此时点P坐标为(﹣﹣1,2).‎ 综上所述,当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时,点P坐标为(,),当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时,点P的坐标为(﹣﹣1,2).‎ 解:(1)三,k>0;‎ ‎(2)∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上,AC∥OB,BC⊥OB,而点C的坐标标为(2,2),‎ ‎∴A点的纵坐标为2,E点的横坐标为2,B点坐标为(2,0),把y=2代入得x= ;把x=2代入得y=,∴A点的坐标为(,2),E点的坐标为(2, ),‎ ‎∴=,‎ 当k-2=0,即k=2时,S阴影部分最小,最小值为;‎ ‎∴E点的坐标为(2,1),即E点为BC的中点,∴当点E在BC的中点时,阴影部分的面积S最小;‎ ‎(3)设D点坐标为(a, ),∵,∴OD=DC,即D点为OC的中点,∴C点坐标为(2a,),把y= 代入 得x= ,确定A点坐标为(,),∵,∴×=1,解得k=.‎ 例8(2)‎ ‎【例9】解:(1)∵z=(x﹣18)y=(x﹣18)(﹣2x+100)=﹣2x2+136x﹣1800,‎ ‎ ∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800。‎ ‎(2)由z=350,得350=﹣2x2+136x﹣1800,‎ 解这个方程得x1=25,x2=43。‎ ‎∴销售单价定为25元或43元时,厂商每月能获得3502万元的利润。‎ ‎∵z═﹣2x2+136x﹣1800 =﹣2(x﹣34)2+512,‎ ‎∴当销售单价为34元时,每月能获得最大利润,最大利润是512万元。‎ ‎(3)结合(2)及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象(如图所示)可知,‎ 当25≤x≤43时,z≥350。‎ - 14 -‎ 又由限价32元,得25≤x≤32。‎ 根据一次函数的性质,得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小,‎ ‎∴当x=32时,每月制造成本最低。‎ 最低成本是18×(﹣2×32+100)=648(万元)。‎ ‎∴所求每月最低制造成本为648万元。‎ ‎【例10】 解:(1)设抛物线的函数表达式 ‎∵抛物线与轴交于点,将该点坐标代入上式,得.‎ ‎∴所求函数表达式,即.‎ ‎(2)∵点C是点A关于点B的对称点,点,点,‎ ‎∴点C的坐标是.‎ 将点C的坐标是代入,得.‎ ‎∴直线CD的函数表达式为.‎ 设K点的坐标为,则H点的坐标为,G点的坐标为.‎ ‎∵点K为线段AB上一动点,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴当时,线段HG长度有最大值.‎ ‎(3)∵点F是线段BC的中点,点,点 ,‎ ‎∴点F的坐标为.‎ ‎∵直线过点F且与轴平行,‎ ‎∴直线的函数表达式为.‎ ‎∵点M在直线上,点N在抛物线上 ,‎ ‎∴设点M的坐标为,点N的坐标为.‎ ‎∵点,点 ,∴.‎ 分情况讨论:‎ ① 若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的四边是平行四边形的边,则须MN∥AC,且MN=AC=8.‎ 当点N在点M的左侧时,.‎ ‎∴,解得.‎ - 14 -‎ ‎∴N点的坐标为.‎ 当点N在点M的右侧时,.‎ ‎∴,解得.‎ ‎∴N点的坐标为.‎ ‎②若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的对角线,由“点C与点A关于点B中心对称”知:点M与点N关于点B中心对称.取点F关于点B对称点P,则点P的坐标为.过点P作NP⊥轴,交抛物线于点N.‎ 将代入,得.‎ 过点N,B作直线NB交直线于点M.‎ 在△BPN和△BFM中,‎ ‎∵‎ ‎∴△BPN≌△BFM.‎ ‎∴NB=MB.‎ ‎∴四边形点ANCM为平行四边形.‎ ‎∴坐标为的点N符合条件.‎ ‎∴当点N的坐标为,,时,以点A,C,M,N为顶点的四边是平行四边形.‎ 课后测控6、解:(1)四边形是矩形,‎ ‎,. (1分)‎ 又,. (2分)‎ ‎.‎ ‎,‎ 即,‎ 解之,得. (3分)‎ ‎(2).如图4,过作于,‎ ‎. (4分)‎ ‎,.,.‎ ‎. (5分)‎ 因点为坐标原点,故可设过三点抛物线的解析式为.‎ - 14 -‎ 解之,得 ‎.‎ ‎(3)抛物线的对称轴为,其顶点坐标为.‎ 设直线的解析式为,则解之,得 ‎. (9分)‎ 设直线交直线于,过作于.‎ ‎..‎ 或,‎ 或,或.‎ 或,即或.‎ ‎,. (10分)‎ 直线的解析式为.当时,.‎ 直线的解析式为.当时,.‎ 当秒或秒时,直线把分成面积之比为的两部分. (12分)‎ 说明:只求对一个值的给11分.‎ - 14 -‎
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