陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考理科数学试题（B卷） Word版含解析

陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考理科数学试题（B卷） Word版含解析

- 1 - 西安地区陕师大附中 西安高级中学 西安高新一中 西安交大 附中 西安市 83 中 西安市 85 中 西安市一中 西安铁一中 西安中学 西工大附中 八校联考 2020 届高三年级数学（理科）试题 本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形 码区域内. 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整，笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正液、刮纸 刀. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合 ，集合 ，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求解出两个集合，根据两个集合的包含关系即可确定出选项. 详解】 ， ∴ ， 【 { }| 3xM y y= = ( ){ }| lg 1S x y x= = − M S M∪ = M S S∪ = M S= M S∩ = ∅ { }| 0M y y= > { }| 1S x x= > S M⊆ - 2 - ∴ ， 故选:A. 【点睛】本题考查了集合之间的关系及集合的运算，属于简单题目，解题时主要是根据两个 集合中元素所满足的条件确定出两个集合，再确定出两个集合之间的包含关系. 2. 若 ，则 所对应的的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据 ，利用复数的模和除法运算求得复数 ，再利用复数的几何 意义求解. 【详解】 ， ∴ ， 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，属于基础题. 3. 某城市收集并整理了该市 2019 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最高气温（单位： ） 的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则 根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A. 最低气温与最高气温为正相关 B. 10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温 C. 最低气温低于 的月份有 4 个 D. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在 1 月 M S M∪ = ( )2 4 3i z i− = − + z ( )2 4 3i z i− = − + 2+z i= ( )2 4 3i z i− = − + ( ) ( )( ) 5 25 22 2 2 iz ii i i +∴ = = = +− − + 2z i= − C° 0 C° - 3 - 【答案】C 【解析】 【分析】 由该市 2019 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最高气温（单位： 的数据的折线图，得最 低气温低于 的月份有 3 个． 【详解】解：由该市 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最高气温（单位： 的数据的 折线图，得： 在 中，最低气温与最高气温为正相关，故 正确； 在 中，10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温，故 正确； 在 中，最低气温低于 的月份有 3 个，故 错误． 在 中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在 1 月，故 正确； 故选： ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形 结合思想，属于基础题． 4. 将 3 本相同的小说，2 本相同的诗集全部分给 4 名同学，每名同学至少 1 本，则不同的分 法有（ ） A. 24 种 B. 28 种 C. 32 种 D. 36 种 【答案】B 【解析】 试题分析：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这种情况下的分法有：先将一本小 说和一本诗集分到一个人手上，有 种分法，将剩余的 本小说， 本诗集分给剰余 个同学， 有 种分法，那共有 种；第二类：有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有： 先两本诗集分到一个人手上，有 种情况，将剩余的 本小说分给剩余 个人，只有一种分法， 那共有： 种，第三类：有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分 到一个人手上，有 种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的 个人，有 种分法， 那共有： 种，综上所述：总共有： 种分法，故选 B. 考点：1、分布计数乘法原理；2、分类计数加法原理. C)° 0 C° C)° A A B B C 0 C° C D D C 4 2 1 3 3 3 4 12× = 4 3 3 4 1 4× = 4 3 3 4 3 12× = 12 4 12 28+ + = - 4 - 【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关 排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问 题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、 “是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样 才能提高准确率. 5. 函数 的图像的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案. 【详解】根据 (0 1)| | xxay ax = < < 0 1a< < - 5 - ， 是减函数， 是增函数. 在 上单调递减，在 上单调递增 故选：D. 【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征， 考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 6. 在三棱锥 P－ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，∠PCA＝90°，△ABC 是边长为 4 的正三角形，PC ＝4，M 是 AB 边上的一动点，则 PM 的最小值为(　　) A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 构造△PCM，根据面面垂直以及线面垂直的性质，△PCM 是直角三角形，根据点到直线的垂线 段最短，当 M 是 AB 的中点时，CM 的长最小，此时 PM 的长最小. 【详解】如图，连接 CM， 则由题意 PC⊥平面 ABC， 可得 PC⊥CM，所以 PM＝ ，  (0 1)| | xxay ax = < < , 0 , 0 x x a xy a x  >∴ = − <  0 1a< < ∴ xy a= xy a= − (0 1)| | xxay ax = < < (0 )+ ∞， ( )0−∞， 3 7 7 3 2 2PC CM+ - 6 - 要求 PM 的最小值只需求出 CM 的最小值即可. 在△ABC 中，当 CM⊥AB 时，CM 有最小值， 此时有 CM= 所以 PM 的最小值为 【点睛】本题考查了面面垂直及线面垂直的性质，考查了点到直线的距离中垂线段最短；已 知面面垂直时，一般先从现有的线段中寻找平面的垂线，若图中不存在，再作辅助线. 7. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三 个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，面积为 S，则“三斜求积”公式为 S＝ .若 a2sinC＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式 求得△ABC 的面积为(　　) A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 由 正 弦 定 理 得 ， 且 ， 代 入 面 积 公 式 得 . 点睛：本题主要考查中国古代数学史，考查正弦定理的应用，考查新定义公式的理解和应用. 由于题目已经给出三角形的面积公式，我们只需在题目中找到公式中需要的条件，即可求出 三角形的面积.在两个已知条件中，第一个应用正弦定理可以转化为边的关系，第二个可直接 求值，将这两个代入三角形面积公式，即可得出结论. 8. 如果 ，那么 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 34 2 32 × = 2 7 2 2 2 2 2 21[ ( ) ]4 2 a c ba c + −− 3 6 2 4 , 4a c a ac= = 2 2 2 12 2 4a c b ac+ − = − = 21 16 2 34  − =  2 2log log3 2x π π− ≤ sin x 1 1,2 2  −   1 ,12  −   1 1 1, ,12 2 2    −       1 3, ,12 2 2 3   −        - 7 - 【解析】 【分析】 首先根据 ，求得 的取值范围，进而求得 的取值范围即可. 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B. 【点睛】本题考查了对数函数相关不等式，考查了绝对值不等式，同时考查了三角函数的值 域，需要一定的计算能力，属于中档题. 9. 已知双曲线 的左焦点为 ，左、右顶点为 、 ， 为双曲线 上任意一点，则分别以线段 ， 为直径的两个圆的位置关系为（ ） A. 外切或外离 B. 相交或内切 C. 内含或外离 D. 内切或外 切 【答案】D 【解析】 【分析】 设线段 的中点为 ， ，分 在双曲线的左支和 在双曲线的右支上两种情况， 结合三角形的中位线和双曲线的定义判断. 【详解】设线段 的中点为 ， ，则： ①当 在双曲线的左支时，如图所示： 2 2log log3 2x π π− ≤ x sin x 2 2log log3 2x π π− ≤ 0 3 2x π π< − ≤ 5, ,6 3 3 6x π π π π   ∈ −       1sin ,12x  ∈ −   ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 1F 1A 2A P 1PF 1A 2A 1PF A 1 2PF r= P P 1PF A 1 2PF r= P - 8 - ，∴两圆外切； ②当 在双曲线的右支时，如图所示： ，∴两圆内切； 故选 D. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义和两圆的位置关系，还考查了数形结合的思想，属于基 础题. 10. 设点 分别为椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆 上任意一点，若使得 成立的点恰好是 个，则实数 的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 2 1 2OA PF a r= = + P 2 1 2OA PF r a= = − 1 2,F F 2 2 : 19 5 x yC + = P C 1 2PF PF m⋅ =  4 m 1 2 3 5 8 - 9 - 由 题 意 ， 先 求 出 a 、 b 、 c ， 设 ， 表 示 出 向 量 ，再整理得出 m 的取值，得出答案. 【详解】因为点 分别为椭圆 的左、右焦点； 即 ， 设 由 可得 又因为 P 在椭圆上，即 所以 要使得 成立的点恰好是 个，则 解得 1 + λ [ )3,− +∞ ( )3,− +∞ [ ),e− +∞ ( ),e− +∞ - 11 - 【解析】 【分析】 先建立不等式组 ，再用 表示出 ， ，接着将 转 化 ，最后构建新函数 得到 即可解题. 【详解】解：因为 ，（ ） 所以 有两个正根，∴ ， 即： ，又∵ ， ， ， ，∴ ， 令 ， ， ∴ 在 上单调递减， ∴ ， 故选：A. 【点睛】本题考查利用导函数研究不等式恒成立问题，利用导函数研究极值问题，是中档题. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 若函数 为奇函数，则 ______. 【答案】1. 【解析】 【分析】 根据函数 为奇函数，由 为偶函数求解. 【详解】∵函数 为奇函数， 为 4 8 0 1 0 a a ∆ = − > > a 1 2x x 1 2x x+ ( ) ( )1 2f x f xλ > + 1 1ln 12a a λ > − + − ( ) ( )2 ln 1 1g x x x x= − + − > ( )1 3gλ ≥ = − ( ) 2 2 lnf x ax x x= − + 0x > ( ) 21 2 2 1' 2 2 0ax xf x ax x x − += − + = = 4 8 0 1 0 a a ∆ = − > > 10 2a< < 2 1 12 2 1 0ax x− + = 2 2 22 2 1 0ax x− + = 1 2 1 2x x a = 1 2 1x x a + = ( ) ( ) 2 2 1 1 1 21 22 22 ln 2 lnax x x axf xf x xxλ − + + − +> + = 1 1 1 2 2 2 1 12 ln 2 ln2 2x x x x x x= − − + + − − + ( )1 2 1 2 1 1ln 1 ln 12x x x x a a = − + + − = − + − ( ) ( )2 ln 1 1g x x x x= − + − > ( ) 1' 2 0g x x = − < ( )g x ( )1,+∞ ( )1 3gλ ≥ = − ( ) ( )( )1f x x x x a= − + a = ( ) ( )( )1f x x x x a= − + ( )( )1y x x a= − + ( ) ( )( )1f x x x x a= − + - 12 - ∴函数 为偶函数， ∴ . 故答案为：1 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，属于基础题. 14. 设 为单位向量，且 ，若以向量 为邻边的三角形的面积 为 ，则 的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】两端平方得 ， 又 ， 得 ,即 夹角为 ,所以 ， 即 ，又 ， 所以 . 15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将 1，2，…，9 填入方格内使三行、三列、 两条对角线的三个数之和都等于 15，如图所示. 一般地，将连续的正整数 1，2，…， 填入 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上 的数的和相等，这个正方形叫做 阶幻方.记 阶幻方的对角线上数的和为 ，例如 ， ， ，……，那么 ______. 【答案】 . 【解析】 ( )( )1y x x a= − + 1a = 1 2 3, ,e e e   ( )3 1 2 1 02e e ke k= + >   1 2,e e  1 2 k 3 2 2 2 2 11 4 k ke e= + + ⋅  1 2 1 1 2 2S e e sinθ= =    1sinθ = 1 2,e e  90° 1 2 0e e⋅ =  2 3 4k = 0k > 3 2k = 2n n n× n n nN 3 15N = 4 34N = 5 65N = nN = ( )2 1 2 n n + - 13 - 【分析】 首先根据题意得到 ，再利用等差数列求和即可. 【详解】由题知： ， ， ， ……， 所以 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查等差数列的求和，熟记公式为解题关键，属于简单题. 16. 设当 时，函数 取得最大值，则 ______. 【答案】 . 【解析】 【分析】 利用辅助角公式先对函数化简，可得 ，其中 ， 由题意得 ，得 ，从而可求出 的值 【详解】解： 令 ，则 ， 因 当 时，函数 取得最大值， 所以 ，所以 ， 所以 ， 所以 所以 为 ( )21 1 2nN nn = + + + ( )3 1 1 2 9 153N = + +…+ = ( )4 1 1 2 16 343N = + + + =… ( )5 1 1 2 25 653N = + + + =… ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2nN nn n n n n n+ + == + + + = × ( )2 1 2 n n + x θ= ( ) 3sin 4cosf x x x= − cosθ = 4 5 − ( ) 5sin( )f x x ϕ= − 3 4cos ,sin5 5 ϕ ϕ= = 5sin( ) 5θ ϕ− = 2 ,2 k k Z πθ ϕ π− = + ∈ cosθ ( ) 3 43sin 4cos 5( sin cos )5 5f x x x x x= − = − 3 4cos ,sin5 5 ϕ ϕ= = ( ) 5(sin cos cos sin ) 5sin( )f x x x xϕ ϕ ϕ= − = − x θ= ( ) 3sin 4cosf x x x= − 5sin( ) 5θ ϕ− = 2 ,2 k k Z πθ ϕ π− = + ∈ 2 ,2 k k Z πθ ϕ π= + + ∈ cos cos( 2 ),2 k k Z πθ ϕ π= + + ∈ 4cos sin 5 θ ϕ= − = − - 14 - 故答案为： ， 【点睛】此题考查辅助角公式的应用，属于基础题 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 题~第 21 题为必考题，每个考题考生必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 设数列 的前 项和为 ，已知 ， ， . 求数列 的通项公式； 若 ，求 的前 项和为 . 【答案】 ； . 【解析】 【分析】 证出数列 是以首项为 ，公差为 的等差数列，进而写出数列 的通项公式； 结合平方差公式和等差数列求和公式求出结果即可. 【详解】解： ， ， ，① 当 时， ，② 由① ②得 ， ， ， ， 数列 是以首项为 ，公差为 的等差数列， ，即 ， 当 时，上式显然成立，所以 ， . ， 4 5 − { }na n nS 1 1a = 2 1 2 1 2 3 3 n n S a n nn += − − − *n N∈ ( )1 { }na ( )2 ( )1 n n nb a= − { }nb 2n 2nT ( )1 2 na n= ( )2 2 2 2n nT n= + ( )1 na n     1 1 { }na ( )2 ( )1  2 1 2 1 2 3 3 n n S a n nn += − − − *n N∈ ∴ ( )( )3 2 1 1 1 21 22 3 3 3n n n n n nS na n n n na+ + + += − − − = − 2n ≥ ( ) ( ) ( ) 1 1 12 1 3n n n n nS n a− − += − − − ( ) ( )1 12 2 1 1n n n nS S na n a n n− +− = − − − +  12 2 2n n na S S −= − ∴ ( ) ( )1 12 1n n nna na n na+= −− +− 1 11 n na a n n + − =+ ∴ na n     1 1 ∴ ( )1 1 1na n nn = + × − = 2 na n= ( )2n ≥ 1n = 2 na n= *n N∈ ( )2  ( ) ( ) 21 1n n n nb a n= − = − - 15 - . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求法，结合求和公式的知识点，考查分析问题能力， 运算求解能力，属于中档题. 18. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称 为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵 与刍童 的组合体中 ， . （1）证明： 平面 ； （2）若 ， ， ，三棱锥 的体积为 ，求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）分别证明 和 即可； （2）建立空间坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）∵ ，∴ ， ∴ ( ) ( )2 2 2 22 2 21 2 3 4 2 1 2n nT n= − + − + + − − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 4 3 4 3 2 2 1 2 2 1n n n n= + × − + + × − + + + − × − −       ( )1 2 3 4 2 1 2n n= + + + + + − + 22n n= + ABM DCP− 1 1 1 1ABCD A B C D− AB AD= 90MAB∠ = ° BD ⊥ MAC 1AB = 1 1 2AD = 3MA = 1 1 1A A B D− 2 3 3 1M AC B− − 15 5 − BD AC⊥ MA BD^ AB AD= BD AC⊥ - 16 - ∵ ，∴ ， ∴ 平面 ； （2）设 ，棱台的高为 ，以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则三棱锥 的体积为 ， ， ∴ ， ， ， 故 ， ， 设平面 的法向量为 ，由 可得： ， 令 ，则 ， 取平面 的法向量为 ，则 ， 易知二面角 的平面角为钝角，故二面角 的余弦值为 . 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求二面角的余弦值，属于中档题. 19. 东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食 90MAB∠ = ° MA BD^ BD ⊥ MAC BD AC O∩ = h O 1 1 1A A B D− 2 2 3 3 3 h = 3h = ( )1 0, 2, 3B − 2 ,0,02A       2 ,0,02C  −    1 2 , 2, 32B A  = −     ( )2,0,0CA = 1ACB ( ), ,n x y z= 1 0 0 n B A n CA  ⋅ =  ⋅ =   2 2 3 02 2 0 x y z x  − + =  = 3y = ( )0, 3, 2n = MAC ( )0,1,0m = 3 15cos , 55 m nm n m n ⋅= = =      1M AC B− − E BF C− − 15 5 − - 17 - 品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价 元，售价 元，如果两天内无法售出，则 食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在 本地区 天的销售量如下表： （视样本频率为概率） （1）根据该产品 天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为 ，求 的分布列 与期望 （2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进 或 份，哪一 种得到的利润更大？ 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得 的取值为 ，计算相应的概率值即可确定分布列和 数学期望； （2）分别求解当购进 份时的利润和购进 份时的利润即可确定利润更高的决策. 【详解】（1）根据题意可得 ， ， ， ， ， ， ， 的分布列如下： 8 12 100 100 ξ ξ 32 33 ξ 30,31,32,33,34,35,36 32 33 ( ) 1 1 130 5 5 25P ξ = = × = ( ) 1 3 331 25 10 25P ξ = = × × = ( ) 1 2 3 3 132 25 5 10 10 4P ξ = = × × + × = ( ) 1 1 3 2 733 2 25 10 10 5 25P ξ = = × × + × × = ( ) 3 1 2 2 1134 210 10 5 5 50P ξ = = × × + × = ( ) 2 1 235 25 10 25P ξ = = × × = ( ) 1 1 136 10 10 100P ξ = = × = ξ - 18 - （2）当购进 份时，利润为 ， 当购进 份时，利润为 ， 可见，当购进 份时，利润更高. 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，概率统计的预测作用等 知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20. 已知点 是抛物线 焦点，过 的弦被焦点分成两段的长分别是 2 和 6. （1）求此抛物线的方程； （2） 是抛物线外一点，过 点作抛物线的两条切线 ， （ ， 是切点），两切线分 别交 轴于 ， ，直线 交抛物线对称轴于点 ，求证四边形 是平行四边形. 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）设过 的弦所在直线方程为： ，其与抛物线交于 ，证 明 ，则可求解. （2）设 ， ，根据切线分别表示出直线 、 的方程，则 、 的 坐标能表示出，联立直线 、 的方程，则 的坐标可表示出，表示出直线 的方程， 的 ξ 30 31 32 33 34 35 36 p 1 25 3 25 1 4 7 25 11 50 2 25 1 100 ( ) 1 3 1 7 11 2 130 31 32 33 34 35 36 32.825 25 4 25 50 25 100E ξ = × + × + × + × + × + × + × = 32 ( ) ( )21 3 132 4 31 4 8 30 4 1625 25 25 × × + × − × + × − × 107.52 13.92 4.16 125.6= + + = 33 ( ) ( ) ( )59 1 3 133 4 32 4 8 31 4 16 30 4 24100 4 25 25 × × + × − × + × − × + × − × 77.88 30 12.96 3.84 124.68= + + + = 125.6 124.68> 32 F ( )2 2 0x py p= > F P P PA PB A B x C D AB Q PCQD 2 6x y= F 2 py kx= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 1 2 MF NF p + = 2 1 1, 6 xA x      2 2 2 , 6 xB x      PA PB C D PA PB P AB - 19 - 则 的坐标可表示出，最后说明 即可. 【详解】解：（1） ， 设过 的弦所在直线方程为： ，其与抛物线交于 ， 联立 ，即 ， ， 所以 ， 不妨设 ， ， ， ∴此抛物线的方程为： ； （2）设 ， ， ， ∴直线 的方程为： ， 即： ；令 ，所以 ， 同理，直线 的方程为： ；令 ，所以 ， 直线 的方程为： ，即： ； 令 ，所以 ， Q CP QD=  0, 2 pF      F 2 py kx= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 2 2 2 x py py kx  = = + 2 22 0x kpx p− − = 2 1 2 1 22 ,x x pk x x p+ = ⋅ = − ( ) 2 1 2 1 2 2y y k x x p pk p+ = + + = + 2 2 2 1 2 1 2 24 4 x x py y p = = 1 22, 62 2 p pMF y NF y= + = = + = ( ) 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 22 2 2 2 2 2 2 4 p py y y y p p p p p p pMF NF py y y y y y y y + + + + ++ = + = = =  + + + + + + +     1 1 1 1 2 , 32 6 pMF NF p + = + = = 2 6x y= 2 1 1, 6 xA x      2 2 2 , 6 xB x      3 xy′ = PA ( )1 1 13 xy y x x− = − 2 1 1 3 6 x xy x= − 10, 2 xy x= = 1 ,02 xC      PB 2 2 2 3 6 x xy x= − 20, 2 xy x= = 2 ,02 xD     AB ( ) ( )2 2 2 1 1 2 1 2 16 6 6 x x xy x x x x    − − = − −       1 2 1 2 6 6 x x x xy x += − 1 20, 6 x xx y= = − 1 20, 6 x xQ −   - 20 - ，所以 ， ， ，所以 ， ∴四边形 是平行四边形. 【点睛】以直线和抛物线的位置关系为载体，考查求抛物线的标准方程，同时考查用向量法 证明四边形是平行四边形，难题. 21. 已知函数 . （1）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围； （2）若 ，证明 . 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）求出函数导数 ，令 ，再利用导数求得函数 的单调性与最值，即可求解； （2）由（1）可知当 时，当 时， ，转化为 ， 进而转化为 ，构造新函数 ，利用导数即可求 解. 【详解】（1）由条件得 ，令 ，则 . ①当 时，在 上， ， 单调递增 ∴ ，即 ， ∴ 在 上为增函数，∴ ∴ 时满足条件. ②当 时，令 2 1 1 2 2 2 3 6 3 6 x xy x x xy x  = −  = − 1 2 1 2,2 6 x x x xP +     2 1 2,2 6 x x xCP  =     2 1 2,2 6 x x xQD  =     CP QD=  PCQD ( ) 21xf x e x ax= − − − 0x ≥ ( ) 0f x ≥ a 0x > ( ) ( ) 21 ln 1xe x x− + > 1, 2  −∞   ( ) 1 2xf x e ax′ = − − ( ) 1 2xh x e ax= − − ( )h x 1 2a = 0x > 2 1 2 x xxe > + + 2(e 1)ln( 1)x x x− + > ln( 1) 2 2x x x + > + ( ) ln( 1) 2 ( 0)2 x xxF x x= +− >+ ( ) 1 2xf x e ax= − −′ ( ) 1 2xh x e ax= − − ( ) 2xh x e a′ = − 2 1a ≤ [ ]0,+∞ ( ) 0h x′ ≥ ( )h x ( ) ( )0h x h≥ ( ) ( )0 0f x f′ ′≥ = ( )f x [ ]0,+∞ ( ) ( )0 0f x f≥ = 1 2a ≤ 2 1a > ( ) 0h x′ = - 21 - 解得 ，在 上， ， 单调递减， ∴当 时，有 ，即 ， 在 上为减函数，∴ ，不合题意. 综上实数 的取值范围为 ． （2）由（1）得，当 ， 时， ，即 ， 要证不等式 ，只需证明 ，只需证明 ， 只需证 ， 设 ，则 ， ∴当 时， 恒成立，故 在 上单调递增， 又 ，∴ 恒成立．∴原不等式成立． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化 归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利 用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范 围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （二）选考题.共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所 做的第一题计分. [选修 4—4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系 中，圆 ： ，以 为极点、 轴的非负半 轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系取相同的单位长度）.直线 ： 与曲线 交于 、 两点，其中 ， . （1）求曲线 的极坐标方程； ln2x a= [ ]0,ln2a ( ) 0h x′ < ( )h x ( )0,ln2x a∈ ( ) ( )0 0h x h< = ( ) ( )0 0f x f′ ′< = ( )f x ( )0,ln2a ( ) ( )0 0f x f< = a 1, 2  −∞   1 2a = 0x > 2 1 2 x xe x> + + 2 2 21 2 2 x x x xe x +− > + + = ( ) ( ) 21 ln 1xe x x− + > ( ) 2 1 ln 1 x xe x − > + ( ) 2 22 2 ln 1 x x x x + > + ( ) 2ln 1 2 xx x + > + ( ) ( ) 2ln 1 ( 0)2 xF x x xx = + − >+ ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 2 x xF x x x x x = − =+ + + + ′ 0x > ( ) 0F x′ > ( )F x ( )0,+∞ ( )0 0F = ( ) 0F x > xOy C ( ) ( )2 25 5 19x y− + − = O x l 0 θ θ= C A B ( )0 0,θ π∈ 0 4cos 5 θ = C - 22 - （2）求 的值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）本题首先可将圆的直角坐标方程转化为 ，然后通过直角坐 标方程与极坐标方程的互化即可得出结果； （2）本题首先可根据 得出 ，然后联立圆的极坐标方程以及 得出 ，最后通过韦达定理以及 即可得出结果. 【详解】（1）因为圆 的直角坐标方程为 ，即 ， 所以圆 的极坐标方程为： ； （2）因为 ， ，所以 ， 联立 ，可得 ， 则 ， ， 故 . 【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化以及极坐标方程的应用，可通过 以及 进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化，考查韦达定理的应 用，是中档题. [选修 4—5：不等式选讲] 23. 已知 ， ，且 . (1)若 恒成立，求 的取值范围； (2)证明： . AB 2 10 cos 10 sin 31 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 6 2 2 2 10 10 31 0x y x y+ − − + = 0 4cos 5 θ = 0 3sin 5 θ = 0 θ θ= 2 14 31 0ρ ρ− + = 1 2AB ρ ρ= − C ( ) ( )2 25 5 19x y− + − = 2 2 10 10 31 0x y x y+ − − + = C 2 10 cos 10 sin 31 0ρ ρ θ ρ θ− − + = ( )0 0,θ π∈ 0 4cos 5 θ = 0 3sin 5 θ = 2 0 10 cos 10 sin 31 0ρ ρ θ ρ θ θ θ  − − + =  = 2 14 31 0ρ ρ− + = 1 2 14ρ ρ+ = 1 2 31ρ ρ = ( )2 1 2 1 2 1 2+ 4 6 2AB ρ ρ ρ ρ ρ ρ= − = − = cosx ρ θ= siny ρ θ= 0a > 0b > 2 2 2a b+ = 2 2 1 4 2 1 1x xa b + ≥ − − − x ( )5 51 1 4a ba b  + + ≥   - 23 - 【答案】（1） ；（2）见解析. 【解析】 分析：（1）运用乘 1 法和基本不等式可得 + 的最小值，再由绝对值不等式的解法，即 可得到所求范围； （2））变形、运用基本不等式或柯西不等式，即可得证． 详解：（1）设 由 ，得 . 故 . 所以 . 当 时， ，得 ； 当 时， ，解得 ，故 ； 当 时， ，解得 ，故 ； 综上， . （2） ， ， . 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值 9 9{ | }2 2x x− ≤ ≤ 2 1 a 2 4 b , 1 12 1 1 3 2, 12 1, 2 x x y x x x x x x   ≥ = − − − = − ≤ <   − < 2 2 2a b+ = ( )2 21 12 a b+ = ( )2 2 2 2 2 2 1 4 1 1 4 2 a ba b a b  + = + +   2 2 2 2 1 41 42 b a a b  = + + +   2 2 2 2 1 4 91 4 22 2 b a a b   ≥ + + ⋅ =    9 2 1 12 x x≥ − − − 1x ≥ 9 2x ≤ 91 2x≤ ≤ 1 12 x≤ < 93 2 2x − ≤ 13 6x ≤ 1 12 x≤ < 1 2x < 9 2x− ≤ 9 2x ≥ − 9 1 2 2x− ≤ < 9 9 2 2x− ≤ ≤ ( )5 51 1 a ba b  + +   5 5 4 4 b aa b a b = + + + ( ) 5 522 2 2 22b aa b a ba b = + + + − ( ) ( )5 52 22 2 2 2 2 22 2 4b aa b a b a ba b ≥ + + ⋅ − = + = - 24 - 的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与 函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活 应用，这是命题的新动向．