【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版8-3圆的方程作业

【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版8-3圆的方程作业

课时跟踪检测（四十八） 圆的方程 一、题点全面练 ‎1．圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为(　　)‎ A．(x＋3)2＋(y－1)2＝5　 B．(x－1)2＋(y－3)2＝5‎ C．(x＋1)2＋(y＋3)2＝5 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝5‎ 解析：选C　由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，半径为，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝5，故选C.‎ ‎2．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，‎ ‎∴∴ ‎∴△ABC外接圆的圆心为，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为 ＝.‎ ‎3．(2019·成都模拟)若抛物线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点在同一个圆上，则由交点确定的圆的方程为(　　)‎ A．x2＋(y－1)2＝4 B.(x－1)2＋(y－1)2＝4‎ C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝5‎ 解析：选D　抛物线y＝x2－2x－3关于直线x＝1对称，与坐标轴的交点为A(－1,0)，B(3,0)，C(0，－3)，设圆心为M(1，b)，半径为r，则|MA|2＝|MC|2＝r2，即4＋b2＝1＋(b＋3)2＝r2，解得b＝－1，r＝，∴由交点确定的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5，故选D.‎ ‎4．(2019·银川模拟)若圆C与y轴相切于点P(0,1)，与x轴的正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程是(　　)‎ A．(x＋)2＋(y＋1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y＋)2＝2‎ C．(x－)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－)2＝2‎ 解析：选C　设线段AB的中点为D，则|AD|＝|CD|＝1，∴r＝|AC|＝＝|CP|，故C(，1)，故圆C的标准方程是(x－)2＋(y－1)2＝2，故选C.‎ ‎5．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为(　　)‎ A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4‎ C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1‎ 解析：选A　设中点为A(x，y)，圆上任意一点为B(x′，y′)，由题意得则故(2x－4)2＋(2y ‎＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.‎ ‎6．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径r＝2，故由题意知解得a＜－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．‎ 答案：(－∞，－2)‎ ‎7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为____________________．‎ 解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.‎ 答案：(x－2)2＋y2＝9‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________________．‎ 解析：因为直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r＝，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.‎ 答案：(x－1)2＋y2＝2‎ ‎9．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C，D，且|CD|＝4.‎ ‎(1)求直线CD的方程；‎ ‎(2)求圆P的方程．‎ 解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.‎ ‎(2)设圆心P(a，b)，由点P在CD上得a＋b－3＝0.①‎ 又∵直径|CD|＝4，‎ ‎∴|PA|＝2，‎ ‎∴(a＋1)2＋b2＝40.②‎ 由①②解得或 ‎∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．‎ ‎∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.‎ ‎10．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．‎ ‎(1)求|MQ|的最大值和最小值；‎ ‎(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．‎ 解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，‎ 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，‎ 所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.‎ 又|QC|＝＝4＞2.‎ 所以点Q在圆C外，‎ 所以|MQ|max＝4＋2＝6，‎ ‎|MQ|min＝4－2＝2.‎ ‎(2)可知表示直线MQ的斜率，‎ 设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，‎ 即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.‎ 因为直线MQ与圆C有交点，‎ 所以≤2，‎ 可得2－≤k≤2＋，‎ 所以的最大值为2＋，最小值为2－.‎ 二、专项培优练 ‎(一)易错专练——不丢怨枉分 ‎1．方程|y|－1＝表示的曲线是(　　)‎ A．一个椭圆 B.一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 解析：选D　由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝表示的曲线是两个半圆，选D.‎ ‎2．(2019·海口模拟)已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是(　　)‎ A．(－2，4) B.[－2，4]‎ C．[－4,4] D．[－4,2]‎ 解析：选B　x2＋y2＝4(y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，直线x＋y－m＝0的斜率为－，在y轴上的截距为m.当直线x＋y－m＝0过点(－2,0)时，m＝－2.设圆心(0,0)到直线x＋y－m ‎＝0的距离为d，‎ 则即 解得m∈[－2，4]．‎ ‎3．若对圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－4] B.[－4,6]‎ C．(－∞，－4]∪[6，＋∞) D．[6，＋∞)‎ 解析：选D　|3x－4y－9|表示点P到直线l1：3x－4y－9＝0的距离的5倍，|3x－4y＋a|表示点P到直线l2：3x－4y＋a＝0的距离的5倍，|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，即点P到直线l1，l2的距离之和与点P的位置无关，所以直线3x－4y＋a＝0与圆相离或相切，并且l1和l2在圆的两侧，所以≥1，且a＞0，解得a≥6，故选D.‎ ‎4．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为______________________．‎ 解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a), 半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋2＝.‎ 答案：x2＋2＝ ‎5．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．‎ 解析：设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x＋y)max＝(＋1)2＝36，∴dmax＝74.‎ 答案：74‎ ‎(二)交汇专练——融会巧迁移 ‎6．[与基本不等式交汇]已知圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最小值是(　　)‎ A．2 B. C．4 D. 解析：选D　由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知，其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，∵圆 x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a－3b＋3＝0，∴a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，‎ ‎∴＋＝(a＋3b)＝≥＝，‎ 当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选D.‎ ‎7．[与线性规划交汇]已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为____________________．‎ 解析：如图，不等式表示的平面区域是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，‎ ‎∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．‎ ‎∵△OPQ为直角三角形，‎ ‎∴圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r＝＝，‎ 因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5‎ ‎8．[与函数交汇]如果直线2ax－by＋14＝0(a＞0，b＞0)和函数f(x)＝mx＋1＋1(m＞0，m≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x－a＋1)2＋(y＋b－2)2＝25的内部或圆上，那么的取值范围为________．‎ 解析：易知函数f(x)＝mx＋1＋1(m＞0，m≠1)的图象过定点(－1,2)，∴直线2ax－by＋14＝0(a＞0，b＞0)过定点(－1，2)，∴a＋b＝7，①‎ 又定点(－1,2)在圆(x－a＋1)2＋(y＋b－2)2＝25的内部或圆上，∴a2＋b2≤25，②‎ 由①②解得3≤a≤4，∴≤≤，‎ ‎∴＝＝－1∈.‎ 答案： ‎9．[与向量交汇]已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．‎ 解：(1)设圆C的圆心C(a，b)，由已知得M(－2，－2)，‎ 则解得 则圆C的方程为x2＋y2＝r2，‎ 将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.‎ ‎(2)设Q(x0，y0)，则x＋y＝2，‎ ·＝(x0－1，y0－1)·(x0＋2，y0＋2)‎ ‎＝x＋y＋x0＋y0－4＝x0＋y0－2.‎ 令x0＝cos θ，y0＝sin θ，‎ 所以·＝x0＋y0－2‎ ‎＝(sin θ＋cos θ)－2‎ ‎＝2sin－2，‎ 又min＝－1，‎ 所以·的最小值为－4.‎ ‎(三)难点专练——适情自主选 ‎10．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.‎ ‎(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．‎ 解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1,0)，B(x2,0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8.x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C(0,2m)．‎ ‎(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－.‎ 此时C(0，－1)，AB的中点M即圆心，‎ 半径r＝|CM|＝，‎ 故所求圆的方程为2＋y2＝.‎ ‎(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，‎ 将点C(0,2m)代入可得E＝－1－2m，‎ 所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0.‎ 整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.‎ 令可得或 故过A，B，C三点的圆过定点(0,1)和.‎