2010中考数学试题分类汇编45 压轴题02及答案

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2010中考数学试题分类汇编45 压轴题02及答案

‎2010年部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题(二)‎ B F A P E O x y ‎(第24题图)‎ ‎ 24. (金华卷)如图,把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中,A,B两点坐标分别为(3,0)和(0,3).动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动,点P在AO,OB,BA上运动的面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查,速度分别为1,,2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动(即移动过程中保持l∥x轴),且分别与OB,AB交于E,F两点﹒设动点P与动直线l同时出发,运动时间为t秒,当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时,直线l和动点P同时停止运动.‎ ‎ 请解答下列问题:‎ ‎ (1)过A,B两点的直线解析式是 ▲ ;‎ ‎(2)当t﹦4时,点P的坐标为 ▲ ;当t ﹦ ▲ ,点P与点E重合; ‎ ‎ (3)① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中,若形成的四边形PEP′F为菱形,则t的值是多少?‎ ‎② 当t﹦2时,是否存在着点Q,使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ 解:(1);………4分 (2)(0,),;……4分(各2分)‎B F A P E O x y G P′‎ P′‎ ‎(图1)‎ ‎ (3)①当点在线段上时,过作⊥轴,为垂足(如图1)‎ ‎ ∵,,∠∠90°‎ ‎ ∴△≌△,∴﹒‎ 又∵,∠60°,∴‎ B F A P E O x y M P′‎ H ‎(图2)‎ ‎ 而,∴,‎ ‎ 由得 ;…………………1分 ‎ 当点P在线段上时,形成的是三角形,不存在菱形;‎ ‎ 当点P在线段上时,‎ 过P作⊥,⊥,、分别为垂足(如图2)‎ ‎ ∵,∴,∴‎ ‎ ∴, 又∵‎ ‎ 在Rt△中,‎ ‎ 即,解得.…………………………………………………1分 B F A P E O x Q′‎ B′‎ Q C C1‎ D1‎ ‎(图3)‎ y ‎②存在﹒理由如下:‎ ‎ ∵,∴,,‎ 将△绕点顺时针方向旋转90°,得到 ‎△(如图3)‎ ‎ ∵⊥,∴点在直线上,‎ ‎ C点坐标为(,-1)‎ ‎ 过作∥,交于点Q,‎ 则△∽△‎ ‎ 由,可得Q的坐标为(-,)………………………1分 根据对称性可得,Q关于直线EF的对称点(-,)也符合条件.……1分 ‎24.( 绍兴市)如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是-2.‎ 第24题图 ‎ (1)求的值及点B的坐标; ‎ ‎(2)点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,‎ 在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点M的 直线为,且与x轴交于点N.‎ ‎① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为 ‎(1, 2),求点N的横坐标;‎ ‎② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横 坐标的取值范围.‎ 解:(1)∵ 点A在抛物线C1上,∴ 把点A坐标代入得 =1. ‎ ‎∴ 抛物线C1的解析式为,‎ ‎ 设B(-2,b), ∴ b=-4, ∴ B(-2,-4) . ‎ ‎(2)①如图1,‎ ‎∵ M(1, 5),D(1, 2), 且DH⊥x轴,∴ 点M在DH上,MH=5. ‎ 过点G作GE⊥DH,垂足为E,‎ 由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1,‎ 第24题图1‎ ‎∴ ME=4. ‎ 设N ( x, 0 ), 则 NH=x-1,‎ 由△MEG∽△MHN,得 ,‎ ‎∴ , ∴ ,‎ ‎∴ 点N的横坐标为. ‎ 第24题图2‎ ‎② 当点D移到与点A重合时,如图2,‎ 直线与DG交于点G,此时点N的横坐标最大.‎ 过点G,M作x轴的垂线,垂足分别为点Q,F,‎ 设N(x,0),‎ ‎∵ A (2, 4), ∴ G (, 2),‎ ‎∴ NQ=,NF =, GQ=2, MF =5.‎ ‎∵ △NGQ∽△NMF,‎ ‎∴ ,‎ 第24题图3‎ 图4‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ . ‎ 当点D移到与点B重合时,如图3,‎ 直线与DG交于点D,即点B, ‎ 此时点N的横坐标最小.‎ ‎ ∵ B(-2, -4), ∴ H(-2, 0), D(-2, -4),‎ 设N(x,0), ‎ ‎∵ △BHN∽△MFN, ∴ ,‎ ‎∴ , ∴ . ‎ ‎∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤. ‎ ‎24. (丽水市卷)△ABC中,∠A=∠B=30°,AB=.把△ABC放在平面直角坐标系中,使AB的中点位于坐标原点O(如图),△ABC可以绕点O作任意角度的旋转.‎ O y x C B A ‎(第24题)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎(1) 当点B在第一象限,纵坐标是时,求点B的横坐标;‎ ‎(2) 如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C,请你探究:‎ ‎① 当,,时,A,B两点是否都 在这条抛物线上?并说明理由;‎ ‎② 设b=-2am,是否存在这样的m的值,使A,B两点不 可能同时在这条抛物线上?若存在,直接写出m的值;‎ 若不存在,请说明理由.‎ 解:‎ O y x C B A ‎(甲)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎. ……1分 由此,可求得点C的坐标为(,), ……1分 点A的坐标为(,),‎ ‎∵ A,B两点关于原点对称,‎ O y x C B A ‎(乙)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎∴ 点B的坐标为(,).‎ 将点A的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点A的纵坐标;‎ 将点B的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点B的纵坐标.‎ ‎∴ 在这种情况下,A,B两点都在抛物线上.  ……2分 情况2:设点C在第四象限(如图乙),则点C的坐标为(,-),‎ 点A的坐标为(,),点B的坐标为(,).‎ 经计算,A,B两点都不在这条抛物线上.    ……1分 ‎(情况2另解:经判断,如果A,B两点都在这条抛物线上,那么抛物线将开口向下,而已知的抛物线开口向上.所以A,B两点不可能都在这条抛物线上)‎ ‎② 存在.m的值是1或-1.  ……2分 ‎(,因为这条抛物线的对称轴经过点C,所以-1≤m≤1.当m=±1时,点C在x轴上,此时A,B两点都在y轴上.因此当m=±1时,A,B两点不可能同时在这条抛物线上)‎ ‎20.(益阳市)如图9,在平面直角坐标系中,已知A、B、C三点的坐标分别为A(-2,0),B(6,0),C(0,3).‎ ‎(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;‎ ‎(2)过C点作CD平行于轴交抛物线于点D,写出D点的坐标,并求AD、BC的交点E的坐标;‎ ‎(3)若抛物线的顶点为P,连结PC、PD,判断四边形CEDP的形状,并说明理由.‎ 解:⑴ 由于抛物线经过点,可设抛物线的解析式为,则,         ‎ ‎ 解得 ‎∴抛物线的解析式为   ……………………………4分 ‎⑵ 的坐标为 ……………………………5分 直线的解析式为 直线的解析式为 ‎ 由 ‎ 求得交点的坐标为        ……………………………8分 ‎⑶ 连结交于,的坐标为 又∵,‎ ‎  ∴,且 ‎    ∴四边形是菱形          ……………………………12分 ‎26.(丹东市)如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点H的坐标为(-8,0),点N的坐标为(-6,-4).‎ ‎(1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A, 点N的对应点为B, 点H的对应点为C);‎ ‎(2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式; ‎ ‎(3)截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;面积S是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;‎ ‎ (4)在(3)的情况下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由.‎ 解:(1) 利用中心对称性质,画出梯形OABC. 1分 ‎∵A,B,C三点与M,N,H分别关于点O中心对称,‎ ‎∴A(0,4),B(6,4),C(8,0) 3分 ‎(写错一个点的坐标扣1分)‎ O M N H A C E F D B ‎↑‎ ‎→‎ ‎-8‎ ‎(-6,-4)‎ x y ‎(2)设过A,B,C三点的抛物线关系式为,‎ ‎∵抛物线过点A(0,4), ‎ ‎∴.则抛物线关系式为. 4分 将B(6,4), C(8,0)两点坐标代入关系式,得 ‎ 5分 ‎ 解得 6分 所求抛物线关系式为:. 7分 ‎(3)∵OA=4,OC=8,∴AF=4-m,OE=8-m. 8分 ‎ ∴ ‎ ‎ OA(AB+OC)AF·AGOE·OFCE·OA ‎ ‎ ‎ ( 0<<4) 10分 ‎∵. ∴当时,S的取最小值.‎ 又∵0<m<4,∴不存在m值,使S的取得最小值. 12分 ‎(4)当时,GB=GF,当时,BE=BG. 14分 ‎25.(威海市12分) ‎ ‎(1)探究新知:‎ ‎①如图,已知AD∥BC,AD=BC,点M,N是直线CD上任意两点.‎ A B D C M N 图 ①‎ 求证:△ABM与△ABN的面积相等. ‎ ‎②如图,已知AD∥BE,AD=BE,AB∥CD∥EF,点M是直线CD上任一点,点G是直线EF上任一点.试判断△ABM与△ABG的面积是否相等,并说明理由. ‎ C 图 ②‎ A B D M F E G ‎(2)结论应用: ‎ 如图③,抛物线的顶点为C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点D.试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等? 若存在,请求出此时点E的坐标,若不存在,请说明理由. ‎ ‎﹙友情提示:解答本问题过程中,可以直接使用“探究新知”中的结论.﹚ ‎ A 图 ③‎ C D B O x y 解:﹙1﹚①证明:分别过点M,N作 ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为点E,F. ‎ A B D C M N 图 ①‎ E F ‎∵ AD∥BC,AD=BC, ‎ ‎∴ 四边形ABCD为平行四边形. ‎ ‎∴ AB∥CD. ‎ ‎∴ ME= NF. ‎ ‎∵S△ABM=,S△ABN=, ‎ ‎∴ S△ABM= S△ABN. ……………………………………………………………………1分 ‎②相等.理由如下:分别过点D,E作DH⊥AB,EK⊥AB,垂足分别为H,K.‎ H C 图 ②‎ A B D M F E G K 则∠DHA=∠EKB=90°. ‎ ‎∵ AD∥BE, ‎ ‎∴ ∠DAH=∠EBK. ‎ ‎∵ AD=BE, ‎ ‎∴ △DAH≌△EBK. ‎ ‎∴ DH=EK. ……………………………2分 ‎ ‎∵ CD∥AB∥EF, ‎ ‎∴S△ABM=,S△ABG=, ‎ ‎∴ S△ABM= S△ABG. …………………………………………………………………3分 ‎﹙2﹚答:存在. …………………………………………………………………………4分 解:因为抛物线的顶点坐标是C(1,4),所以,可设抛物线的表达式为.‎ 又因为抛物线经过点A(3,0),将其坐标代入上式,得,解得.‎ ‎∴ 该抛物线的表达式为,即. ………………………5分 ‎∴ D点坐标为(0,3).‎ 设直线AD的表达式为,代入点A的坐标,得,解得.‎ ‎∴ 直线AD的表达式为. ‎ 过C点作CG⊥x轴,垂足为G,交AD于点H.则H点的纵坐标为. ‎ ‎∴ CH=CG-HG=4-2=2. …………………………………………………………6分 设点E的横坐标为m,则点E的纵坐标为. ‎ 过E点作EF⊥x轴,垂足为F,交AD于点P,则点P的纵坐标为,EF∥CG.‎ A 图 ③-1‎ C D B O x y H P G F P E 由﹙1﹚可知:若EP=CH,则△ADE与△ADC的面积相等. ‎ ‎①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚,‎ 则PF=,EF=. ‎ ‎∴ EP=EF-PF==. ‎ ‎∴ . ‎ 解得,. ……………………………7分 ‎ 当时,PF=3-2=1,EF=1+2=3. ‎ ‎∴ E点坐标为(2,3). ‎ 同理 当m=1时,E点坐标为(1,4),与C点重合. ………………………………8分 ‎②若E点在直线AD的下方﹙如图③-2,③-3﹚, ‎ 则. ……………………………………………9分 ‎∴.解得,. ………………………………10分 当时,E点的纵坐标为; ‎ 当时,E点的纵坐标为. ‎ ‎∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等,E点的坐标为E1(2,3);;. ………………12分 ‎﹙其他解法可酌情处理﹚ ‎ A 图③-3‎ C D B O x y H P G F P E A 图③-2‎ C D B O x y H P G F P E ‎ ‎ ‎24.(荆门市本题满分12分)已知:如图一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,0)‎ ‎(1)求二次函数的解析式;‎ ‎(2)求四边形BDEC的面积S;‎ ‎(3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由.‎ 第24题图 解:(1)将B(0,1),D(1,0)的坐标代入y=x2+bx+c得 得解析式y=x2-x+1……………………………………………………3分 ‎(2)设C(x0,y0),则有 解得∴C(4,3).……………………………………………6分 由图可知:S=S△ACE-S△ABD.又由对称轴为x=可知E(2,0).‎ ‎∴S=AE·y0-AD×OB=×4×3-×3×1=…………………………………8分 第24题图 当P为直角顶点时,如图:过C作CF⊥x轴于F.‎ ‎∵Rt△BOP∽Rt△PFC,∴.即.‎ 整理得a2-‎4a+3=0.解得a=1或a=3‎ ‎∴所求的点P的坐标为(1,0)或(3,0)‎ 综上所述:满足条件的点P共有二个………………………………………………………12分 ‎(3)设符合条件的点P存在,令P(a,0):‎ ‎23.(济宁市10分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,顶点为(,)的抛物线交轴于点,交轴于,两点(点在点的左侧). 已知点坐标为(,).‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)过点作线段的垂线交抛物线于点, 如果以点为圆心的圆与直线相切,请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系,并给出证明;‎ ‎(第23题)‎ ‎(3)已知点是抛物线上的一个动点,且位于,两点之间,问:当点运动到什么位置时,的面积最大?并求出此时点的坐标和的最大面积.‎ 解:(1)设抛物线为.‎ ‎∵抛物线经过点(0,3),∴.∴.‎ ‎∴抛物线为. ……………………………3分 ‎ (2) 答:与⊙相交. …………………………………………………………………4分 证明:当时,,.‎ ‎ ∴为(2,0),为(6,0).∴.‎ 设⊙与相切于点,连接,则.‎ ‎∵,∴.‎ 又∵,∴.∴∽.‎ ‎∴.∴.∴.…………………………6分 ‎∵抛物线的对称轴为,∴点到的距离为2.‎ ‎∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………7分 ‎(第23题)‎ ‎(3) 解:如图,过点作平行于轴的直线交于点.‎ 可求出的解析式为.…………………………………………8分 设点的坐标为(,),则点的坐标为(,).‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴当时,的面积最大为.‎ ‎ 此时,点的坐标为(3,). …………………………………………10分 ‎22.(中山市)如图(1),(2)所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2.动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动.连接FM、FN,当F、N、M不在同一直线时,可得△FMN,过△FMN三边的中点作△PWQ.设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒.试解答下列问题:‎ ‎(1)说明△FMN∽△QWP;‎ ‎(2)设0≤x≤4(即M从D到A运动的时间段).试问x为何值时,△PWQ为直角三角形?当x在何范围时,△PQW不为直角三角形?‎ ‎(3)问当x为何值时,线段MN最短?求此时MN的值.‎ 第22题图(2)‎ A B C D F 第22题图(1)‎ A B M C F D N W P Q M N W P Q ‎24.(青岛市本小题满分12分)已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.∠ACB = ∠EDF = 90°,∠DEF = 45°,AC = ‎8 cm,BC = ‎6 cm,EF = ‎9 cm.‎ 如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以‎1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以‎2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移动.DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s)(0<t<4.5).解答下列问题:‎ ‎(1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?‎ ‎(2)连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;是否存在某一时刻t,使面积y最小?若存在,求出y的最小值;若不存在,说明理由.‎ A D B C F ‎(‎ E ‎)‎ 图(1)‎ A D B C F E 图(2)‎ P Q ‎(3)是否存在某一时刻t,使P、Q、F三点在同一条直线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.(图(3)供同学们做题使用)‎ A B C 图(3)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解:(1)∵点A在线段PQ的垂直平分线上,‎ ‎∴AP = AQ.‎ ‎ ∵∠DEF = 45°,∠ACB = 90°,∠DEF+∠ACB+∠EQC = 180°,‎ ‎∴∠EQC = 45°.‎ 图(2)‎ Q A D B C F E P M ‎ ∴∠DEF =∠EQC.‎ ‎ ∴CE = CQ. ‎ ‎ 由题意知:CE = t,BP =2 t, ‎ ‎ ∴CQ = t.‎ ‎ ∴AQ = 8-t.‎ ‎ 在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB = ‎10 cm .‎ ‎ 则AP = 10-2 t.‎ ‎ ∴10-2 t = 8-t.‎ ‎ 解得:t = 2.‎ ‎ 答:当t = 2 s时,点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分 ‎ (2)过P作,交BE于M,‎ ‎∴.‎ 在Rt△ABC和Rt△BPM中,,‎ ‎ ∴ . ∴PM = .‎ ‎ ∵BC = ‎6 cm,CE = t, ∴ BE = 6-t.‎ ‎ ∴y = S△ABC-S△BPE =-= -‎ ‎= = .‎ ‎∵,∴抛物线开口向上.‎ ‎∴当t = 3时,y最小=.‎ 答:当t = 3s时,四边形APEC的面积最小,最小面积为cm2. 8分 ‎ (3)假设存在某一时刻t,使点P、Q、F三点在同一条直线上.‎ 过P作,交AC于N,‎ C E A D B F 图(3)‎ P Q N ‎∴.‎ ‎∵,∴△PAN ∽△BAC.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴,.‎ ‎∵NQ = AQ-AN,‎ ‎∴NQ = 8-t-() = .‎ ‎∵∠ACB = 90°,B、C(E)、F在同一条直线上,‎ ‎∴∠QCF = 90°,∠QCF = ∠PNQ.‎ ‎∵∠FQC = ∠PQN,‎ ‎∴△QCF∽△QNP .‎ ‎∴ . ∴ . ‎ ‎∵ ∴‎ 解得:t = 1.‎ 答:当t = 1s,点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分 ‎22、(南充市)已知抛物线上有不同的两点E和F.‎ ‎(1)求抛物线的解析式.‎ ‎(2)如图,抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B,M为AB的中点,∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转,且∠PMQ=45°,MP交y轴于点C,MQ交x轴于点D.设AD的长为m(m>0),BC的长为n,求n和m之间的函数关系式.‎ ‎(3)当m,n为何值时,∠PMQ的边过点F.‎ B A M C D O P Q x y 解:(1)抛物线的对称轴为. ……..(1分) ∵ 抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同, ∴ 点E和点F关于抛物线对称轴对称,则 ,且k≠-2. ∴ 抛物线的解析式为.            ……..(2分) (2)抛物线与x轴的交点为A(4,0),与y轴的交点为B(0,4), ∴ AB=,AM=BM=.                ……..(3分) 在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中,∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°, 在△BCM中,∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°,即∠BMC+∠BCM=135°, 在直线AB上,∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°,即∠BMC+∠AMD=135°. ∴ ∠BCM=∠AMD. 故 △BCM∽△AMD.                     ……..(4分) ‎ ‎ ∴ ,即 ,. 故n和m之间的函数关系式为(m>0).          ……..(5分) (3)∵ F在上,    ∴ ,‎ ‎  化简得,,∴ k1=1,k2=3.       即F1(-2,0)或F2(-4,-8).             ……..(6分)   ①MF过M(2,2)和F1(-2,0),设MF为,   则   解得, ∴ 直线MF的解析式为.   直线MF与x轴交点为(-2,0),与y轴交点为(0,1).   若MP过点F(-2,0),则n=4-1=3,m=;   若MQ过点F(-2,0),则m=4-(-2)=6,n=.   ……..(7分)   ②MF过M(2,2)和F1(-4,-8),设MF为,   则  解得, ∴ 直线MF的解析式为.   直线MF与x轴交点为(,0),与y轴交点为(0,).   若MP过点F(-4,-8),则n=4-()=,m=;   若MQ过点F(-4,-8),则m=4-=,n=.  ……..(8分)  故当  或时,∠PMQ的边过点F.‎ ‎24. ((衢州卷)本题12分)‎ O y x C B A ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎△ABC中,∠A=∠B=30°,AB=.把△ABC放在平面直角坐标系中,使AB的中点位于坐标原点O(如图),△ABC可以绕点O作任意角度的旋转.‎ ‎(1) 当点B在第一象限,纵坐标是时,求点B的横坐标;‎ ‎(2) 如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C,请你探究:‎ ‎① 当,,时,A,B两点是否都在这条抛物线上?并说明理由;‎ ‎② 设b=-2am,是否存在这样的m的值,使A,B两点不可能同时在这条抛物线上?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.‎ O y x C B A ‎(甲)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎. ……1分 由此,可求得点C的坐标为(,), ……1分 点A的坐标为(,),‎ ‎∵ A,B两点关于原点对称,‎ O y x C B A ‎(乙)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎∴ 点B的坐标为(,).‎ 将点A的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点A的纵坐标;‎ 将点B的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点B的纵坐标.‎ ‎∴ 在这种情况下,A,B两点都在抛物线上.  ……2分 情况2:设点C在第四象限(如图乙),则点C的坐标为(,-),‎ 解:(1)  ∵ 点O是AB的中点, ∴ . ……1分 设点B的横坐标是x(x>0),则, ……1分 解得 ,(舍去). ‎ ‎∴ 点B的横坐标是. ……2分 ‎(2) ① 当,,时,得  ……(*)‎ ‎. ……1分 以下分两种情况讨论.‎ 情况1:设点C在第一象限(如图甲),则点C的横坐标为,‎ 点A的坐标为(,),点B的坐标为(,).‎ 经计算,A,B两点都不在这条抛物线上.    ……1分 ‎(情况2另解:经判断,如果A,B两点都在这条抛物线上,那么抛物线将开口向下,而已知的抛物线开口向上.所以A,B两点不可能都在这条抛物线上)‎ ‎② 存在.m的值是1或-1.  ……2分 ‎(,因为这条抛物线的对称轴经过点C,所以-1≤m≤1.当m=±1时,点C在x轴上,此时A,B两点都在y轴上.因此当m=±1时,A,B两点不可能同时在这条抛物线上)‎ ‎24.(莱芜市本题满分12分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线交轴于两点,交轴于点.‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)若此抛物线的对称轴与直线交于点D,作⊙D与x轴相切,⊙D交轴于点E、F两点,求劣弧EF的长;‎ ‎(3)P为此抛物线在第二象限图像上的一点,PG垂直于轴,垂足为点G,试确定P点的位置,使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.‎ ‎(第24题图)‎ x y O A C B D E F 解:(1)∵抛物线经过点,,.‎ ‎∴, 解得.‎ ‎∴抛物线的解析式为:. …………………………3分 ‎(2)易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8,∴点D的坐标为(4,8).‎ ‎∵⊙D与x轴相切,∴⊙D的半径为8. …………………………4分 连结DE、DF,作DM⊥y轴,垂足为点M.‎ 在Rt△MFD中,FD=8,MD=4.∴cos∠MDF=.‎ ‎∴∠MDF=60°,∴∠EDF=120°. …………………………6分 ‎∴劣弧EF的长为:. …………………………7分 ‎(3)设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点.‎ ‎∴,解得.∴直线AC的解析式为:. ………8分 设点,PG交直线AC于N,‎ 则点N坐标为.∵.‎ x y O A C B D E F P G N M ‎∴①若PN︰GN=1︰2,则PG︰GN=3︰2,PG=GN.‎ 即=.‎ 解得:m1=-3, m2=2(舍去).‎ 当m=-3时,=.‎ ‎∴此时点P的坐标为. …………………………10分 ‎②若PN︰GN=2︰1,则PG︰GN=3︰1, PG=3GN.‎ 即=.‎ 解得:,(舍去).当时,=.‎ ‎∴此时点P的坐标为.‎ 综上所述,当点P坐标为或时,△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分. …………………12分 ‎24. (舟山卷 本题12分)△ABC中,∠A=∠B=30°,AB=.把△ABC放在平面直角坐标系中,使AB的中点位于坐标原点O(如图),△ABC可以绕点O作任意角度的旋转.‎ ‎(1) 当点B在第一象限,纵坐标是时,求点B的横坐标;‎ ‎(2) 如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C,请你探究:‎ ‎① 当,,时,A,B两点是否都在这条抛物线上?并说明理由;‎ ‎② 设b=-2am,是否存在这样的m的值,使A,B两点不可能同时在这条抛物线上?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.‎ O y x C B A ‎(第24题)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ 解:(1)  ∵ 点O是AB的中点, ∴ . ……1分 设点B的横坐标是x(x>0),则, ……1分 解得 ,(舍去). ‎ ‎∴ 点B的横坐标是. ……2分 ‎(2) ① 当,,时,得  ……(*)‎ ‎. ……1分 以下分两种情况讨论.‎ 情况1:设点C在第一象限(如图甲),则点C的横坐标为,‎ O y x C B A ‎(甲)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎. ……1分 由此,可求得点C的坐标为(,), ……1分 点A的坐标为(,),‎ ‎∵ A,B两点关于原点对称,‎ O y x C B A ‎(乙)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎∴ 点B的坐标为(,).‎ 将点A的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点A的纵坐标;‎ 将点B的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点B的纵坐标.‎ ‎∴ 在这种情况下,A,B两点都在抛物线上.  ……2分 情况2:设点C在第四象限(如图乙),则点C的坐标为(,-),‎ 点A的坐标为(,),点B的坐标为(,).‎ 经计算,A,B两点都不在这条抛物线上.    ……1分 ‎(情况2另解:经判断,如果A,B两点都在这条抛物线上,那么抛物线将开口向下,而已知的抛物线开口向上.所以A,B两点不可能都在这条抛物线上)‎ ‎② 存在.m的值是1或-1.  ……2分 ‎(,因为这条抛物线的对称轴经过点C,所以-1≤m≤1.当m=±1时,点C在x轴上,此时A,B两点都在y轴上.因此当m=±1时,A,B两点不可能同时在这条抛物线上)‎ ‎25.(2010.十堰)(本小题满分10分)已知关于x的方程mx2-(‎3m-1)x+‎2m-2=0‎ ‎(1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根.‎ ‎(2)若关于x的二次函数y= mx2-(‎3m-1)x+‎2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2时,求抛物线的解析式.‎ ‎(3)在直角坐标系xoy中,画出(2)中的函数图象,结合图象回答问题:当直线y=x+b与(2)中的函数图象只有两个交点时,求b的取值范围.‎ 解:(1)分两种情况讨论:‎ ‎①当m=0 时,方程为x-2=0,∴x=2 方程有实数根 ‎②当m≠0时,则一元二次方程的根的判别式 ‎△=[-(‎3m-1)]2-‎4m(‎2m-2)=m2+‎2m+1=(m+1)2≥0‎ 不论m为何实数,△≥0成立,∴方程恒有实数根 综合①②,可知m取任何实数,方程mx2-(‎3m-1)x+‎2m-2=0恒有实数根.‎ ‎(2)设x1,x2为抛物线y= mx2-(‎3m-1)x+‎2m-2与x轴交点的横坐标.‎ 则有x1+x2=,x1·x2=‎ 由| x1-x2|====,‎ 由| x1-x2|=2得=2,∴=2或=-2‎ ‎∴m=1或m=‎ ‎∴所求抛物线的解析式为:y1=x2-2x或y2=x2+2x- 即y1= x(x-2)或y2=(x-2)(x-4)其图象如右图所示.‎ ‎(3)在(2)的条件下,直线y=x+b与抛物线y1,y2组成的图象只有两个交点,结合图象,求b的取值范围.‎ ‎,当y1=y时,得x2-3x-b=0,△=9+4b=0,解得b=-;‎ 同理,可得△=9-4(8+3b)=0,得b=-.‎ 观察函数图象可知当b<-或b>-时,直线y=x+b与(2)中的图象只有两个交点.‎ 由 当y1=y2时,有x=2或x=1‎ 当x=1时,y=-1‎ 所以过两抛物线交点(1,-1),(2,0)的直线y=x-2,‎ 综上所述可知:当b<-或b>-或b=-2时,直线y=x+b与(2)中的图象只有两个交点.‎
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