全国高考理科数学试题及答案北京

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全国高考理科数学试题及答案北京

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷)‎ 本试卷共5页,150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ ‎1.已知集合P={x︱x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是 ‎ A.(-∞, -1] B.[1, +∞) ‎ ‎ C.[-1,1] D.(-∞,-1] ∪[1,+∞)‎ ‎2.复数 ‎ A.i B.-i C. D.‎ ‎3.在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. (1,0) D.(1,)‎ ‎4.执行如图所示的程序框图,输出的s值为 ‎ A.-3‎ ‎ B.-‎ ‎ C.‎ ‎ D.2‎ ‎5.如图,AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F,‎ 延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论:‎ ‎ ①AD+AE=AB+BC+CA;‎ ‎ ②AF·AG=AD·AE ‎ ③△AFB ~△ADG ‎ 其中正确结论的序号是 ‎ A.①② B.②③‎ ‎ C.①③ D.①②③‎ ‎6.根据统计,一名工作组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为 (A,C为常数)。已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么C和A的值分别是 ‎ A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16‎ ‎7.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中,最大的是 ‎ A.8 B. C.10 D.‎ ‎8.设,,,.记为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数的值域为 ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ 第二部分 (非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎9.在中。若b=5,,tanA=2,则sinA=____________;a=_______________。‎ ‎10.已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,)。若a-2b与c共线,则k=___________________。‎ ‎11.在等比数列{an}中,a1=,a4=-4,则公比q=______________;____________。‎ ‎12.用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有__________个。(用数字作答)‎ ‎13.已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根,则数k的取值范围是_______‎ ‎14.曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F¬2(1,0)的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论:‎ ‎ ① 曲线C过坐标原点;‎ ‎ ② 曲线C关于坐标原点对称;‎ ‎ ③若点P在曲线C上,则△FPF的面积大于a。‎ 其中,所有正确结论的序号是 。‎ 三、解答题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。‎ ‎15.(本小题共13分)‎ ‎ 已知函数。‎ ‎ (Ⅰ)求的最小正周期:‎ ‎ (Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值。‎ ‎16.(本小题共14分)‎ ‎ 如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面 ‎ (Ⅱ)若求与所成角的余弦值;‎ ‎ (Ⅲ)当平面与平面垂直时,求的长.‎ ‎17.本小题共13分 以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示。‎ ‎ (Ⅰ)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差;‎ ‎ (Ⅱ)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。‎ ‎ (注:方差,其中为,,…… 的平均数)‎ ‎18.(本小题共13分)‎ ‎ 已知函数。‎ ‎ (Ⅰ)求的单调区间;‎ ‎ (Ⅱ)若对于任意的,都有≤,求的取值范围。‎ ‎19.(本小题共14分)‎ ‎ 已知椭圆.过点(m,0)作圆的切线I交椭圆G于A,B两点.‎ ‎ (I)求椭圆G的焦点坐标和离心率;‎ ‎ (II)将表示为m的函数,并求的最大值.‎ ‎20.(本小题共13分)‎ ‎ 若数列满足,数列为数列,记=.‎ ‎ (Ⅰ)写出一个满足,且〉0的数列;‎ ‎ (Ⅱ)若,n=2000,证明:E数列是递增数列的充要条件是=2011;‎ ‎ (Ⅲ)对任意给定的整数n(n≥2),是否存在首项为0的E数列,使得=0?如果存在,写出一个满足条件的E数列;如果不存在,说明理由。‎ 参考答案 一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)‎ ‎(1)C (2)A (3)B (4)D ‎(5)A (6)D (7)C (8)C 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎(9) (10)1‎ ‎(11)—2 (12)14‎ ‎(13)(0,1) (14)②③‎ 三、解答题(共6小题,共80分)‎ ‎(15)(共13分)‎ ‎ 解:(Ⅰ)因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以的最小正周期为 ‎ (Ⅱ)因为 ‎ 于是,当时,取得最大值2;‎ ‎ 当取得最小值—1.‎ ‎(16)(共14分)‎ ‎ 证明:(Ⅰ)因为四边形ABCD是菱形,‎ 所以AC⊥BD.‎ 又因为PA⊥平面ABCD.‎ 所以PA⊥BD.‎ 所以BD⊥平面PAC.‎ ‎(Ⅱ)设AC∩BD=O.‎ 因为∠BAD=60°,PA=PB=2,‎ 所以BO=1,AO=CO=.‎ 如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O—xyz,则 P(0,—,2),A(0,—,0),B(1,0,0),C(0,,0).‎ 所以 设PB与AC所成角为,则 ‎.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知 设P(0,-,t)(t>0),‎ 则 设平面PBC的法向量,‎ 则 所以 令则 所以 同理,平面PDC的法向量 因为平面PCB⊥平面PDC,‎ 所以=0,即 解得 所以PA=‎ ‎(17)(共13分)‎ 解(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10,‎ 所以平均数为 方差为 ‎(Ⅱ)当X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是:9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有4×4=16种可能的结果,这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果,因此P(Y=17)=‎ 同理可得 所以随机变量Y的分布列为:‎ Y ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ P EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21)=17×+18×+19×+20×+21×‎ ‎=19‎ ‎(18)(共13分)‎ 解:(Ⅰ)‎ 令,得.‎ 当k>0时,的情况如下 x ‎()‎ ‎(,k)‎ k ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎0‎ ‎↗‎ 所以,的单调递减区间是()和;单高层区间是当k<0时,的情况如下 x ‎()‎ ‎(,k)‎ k ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎↘‎ ‎0‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 所以,的单调递减区间是()和;单高层区间是 ‎(Ⅱ)当k>0时,因为,所以不会有 当k<0时,由(Ⅰ)知在(0,+)上的最大值是 所以等价于 解得.‎ 故当时,k的取值范围是 ‎(19)(共14分)‎ 解:(Ⅰ)由已知得 所以 所以椭圆G的焦点坐标为 离心率为 ‎(Ⅱ)由题意知,.‎ 当时,切线l的方程,点A、B的坐标分别为 此时 当m=-1时,同理可得 当时,设切线l的方程为 由 设A、B两点的坐标分别为,则 又由l与圆 所以 由于当时,‎ 所以.‎ 因为 且当时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.‎ ‎(20)(共13分)‎ 解:(Ⅰ)0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列A5。‎ ‎(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列A5)‎ ‎(Ⅱ)必要性:因为E数列A5是递增数列,‎ 所以.‎ 所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.‎ 所以a2000=12+(2000—1)×1=2011.‎ 充分性,由于a2000—a1000≤1,‎ a2000—a1000≤1‎ ‎……‎ a2—a1≤1‎ ‎ 所以a2000—a≤19999,即a2000≤a1+1999.‎ ‎ 又因为a1=12,a2000=2011,‎ ‎ 所以a2000=a1+1999.‎ ‎ 故是递增数列.‎ ‎ 综上,结论得证。‎ ‎ (Ⅲ)令 ‎ 因为 ‎ ……‎ ‎ ‎ 所以 因为 所以为偶数,‎ 所以要使为偶数,‎ 即4整除.‎ 当 时,有 当的项满足,‎ 当不能被4整除,此时不存在E数列An,‎ 使得
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