高考卷 98届 普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案(文)

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高考卷 98届 普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案(文)

更多内容见微信公众号或小编微信空间 ‎1998年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文史类)‎ 一.选择题:本大题共15小题;第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-第(15)题每小题5分,65分.在每小题给出四项选项,只一项符合题目要求的 ‎(1) sin600º ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) -‎ ‎(C) ‎ ‎(D) -‎ ‎(2) 函数y=a|x|(a>1)的图像是 ( )‎ ‎(3) 已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4相切,那么a的值是 ( )‎ ‎(A) 5‎ ‎(B) 4‎ ‎(C) 3‎ ‎(D) 2‎ ‎(4) 两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是 ( )‎ ‎(A) A1A2+B1B2=0‎ ‎(B) A1A2-B1B2=0‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(5) 函数f(x)=( x≠0)的反函数f-1(x)= ( )‎ ‎(A) x(x≠0)‎ ‎(B) (x≠0)‎ ‎(C) -x(x≠0)‎ ‎(D) -(x≠0)‎ ‎(6) 已知点P(sinα-cosα,tgα)在第一象限,则[ 0,2π]内α的取值范围是 ( )‎ ‎(A) ()∪()‎ ‎(B) ()∪()‎ ‎(C) ()∪()‎ ‎(D) ()∪()‎ ‎(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为 ( )‎ 微信公众号: 数学第六感 ; 微信号: AA-teacher 更多内容见微信公众号或小编微信空间 ‎(A) 120º ‎(B) 150º ‎(C) 180º ‎(D) 240º ‎(8) 复数-i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是 ( )‎ ‎(A)i ‎(B) -i ‎(C) ±i ‎(D) ±i ‎(9) 如果棱台的两底面积是S,S′,中截面的面积是S0,那么 ( )‎ ‎(A) 2‎ ‎(B) S0=‎ ‎(C) 2S0=S+S′‎ ‎(D) ‎ ‎(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共 ( )‎ ‎(A) 6种 ‎(B) 12种 ‎(C) 18种 ‎(D) 24种 ‎(11) 向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图像如右图所示,那么水瓶的形状是 ( )‎ ‎(12) 椭圆=1的焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是 ( )‎ ‎(A) ±‎ ‎(B) ±‎ ‎(C) ±‎ ‎(D) ±‎ ‎(13) 球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为 微信公众号: 数学第六感 ; 微信号: AA-teacher 更多内容见微信公众号或小编微信空间 ‎,经过这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为 ( )‎ ‎(A) 4‎ ‎(B)2‎ ‎(C) 2‎ ‎(D) ‎ ‎(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角的正弦值为 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(15) 等比数列{an}的公比为-,前n项的和Sn满足Sn=,那么的值为 ( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)±‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ 二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.‎ ‎(16) 设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点,圆心在双曲线上,则圆心到双曲线中心距离是__________‎ ‎(17) (x+2)10(x2-1)的展开的x10系数为____________(用数字作答)‎ ‎(18) 如图,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件____________时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考试所有可能的情形)‎ ‎(19) 关于函数f (x)=4sin(2x+)(x∈R),有下列命题 ‎①y=f (x)的表达式可改写为y=4cos(2x-);‎ ‎②y=f (x)是以2π为最小正周期的周期函数;‎ ‎③y=f (x)的图像关于点对称;‎ ‎④y=f (x)的图像关于直线x=-对称.‎ 其中正确的命题的序号是______ (注:把你认为正确的命题的序号都填上.)‎ 微信公众号: 数学第六感 ; 微信号: AA-teacher 更多内容见微信公众号或小编微信空间 三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎(20) (本小题满分10分)‎ 设a≠b,解关于x的不等式a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2.‎ ‎(21) (本小题满分11分)‎ 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,设a+c=2b,A-C=,求sinB的值.以下公式供解题时参考:‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(22) (本小题满分12分)‎ 如图,直线l1和l2相交于点M,l1 ⊥l2,点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线C的方程.‎ ‎(23) (本小题满分12分)‎ 已知斜三棱柱ABC-A1 B1 C1的侧面A1 ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=90º,BC=2,AC=2,且AA1 ⊥A1C,AA1= A1 C1.‎ ‎(Ⅰ)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;‎ ‎(Ⅱ)求侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的大小;‎ ‎(Ⅲ)求侧棱B1B和侧面A1 ACC1的距离.‎ ‎(24) (本小题满分12分) ‎ 如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.‎ 微信公众号: 数学第六感 ; 微信号: AA-teacher 更多内容见微信公众号或小编微信空间 现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计).‎ ‎(25) (本小题满分12分)‎ 已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=100.‎ ‎(Ⅰ)求数列{bn}的能项bn;‎ ‎(Ⅱ)设数列{an}的通项an =lg(1+),记Sn是数列{an}的前n项的和.试比较Sn与lgbn+1的大小,并证明你的结论.‎ ‎1998年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准 一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分.满分65分.‎ ‎(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.‎ ‎(16) (17) -5120‎ ‎(18) AC⊥BD,或任何能推导出这个条件的其他条件.例如ABCD是正方形,菱形等 ‎(19)①,③注:第(19)题多填、漏填的错填均给0分.‎ 三.解答题:‎ ‎(20)本小题主要考查不等式基本知识,不等式的解法.满分10分.‎ 解:将原不等式化为 ‎(a2-b2)x+b2≥(a-b)2x2+2(a-b)bx+b2, ‎ 移项,整理后得 (a-b)2(x2-x) ≤0,‎ ‎∵ a≠b 即 (a-b)2>0, ‎ ‎∴ x2-x≤0, ‎ 微信公众号: 数学第六感 ; 微信号: AA-teacher 更多内容见微信公众号或小编微信空间 即 x(x-1) ≤0. ‎ 解此不等式,得解集 {x|0≤x≤1}. ‎ ‎(21) 本小题考查正弦定理,同角三角函数基本公式,诱导公式等基础知识,考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.满分11分.‎ 解:由正弦定理和已知条件a+c=2b得 sinA+sinC=2sinB. ‎ 由和差化积公式得. ‎ 由A+B+C=π,得 =,‎ ‎ 又A-C=,得cos=sinB,‎ ‎∴ cos=2sincos. ‎ ‎∵ 0<<, ≠0, ‎ ‎∴sin=,‎ 从而cos== ‎ ‎∴ sinB== ‎ ‎(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系,求曲线方程的解析几何的基本思想.考查抛物线的概念和性质,曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力.满分12分.‎ 解法一:如图建立坐标系,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点.‎ 依题意知:曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛线段的一段,其中A、B分别为C的端点.‎ 设曲线段C的方程为 y2=2px (p>0),(xA≤x≤xB,y>0),其中xA,xB分别为A,B的横坐标,P=|MN|.‎ 微信公众号: 数学第六感 ; 微信号: AA-teacher 更多内容见微信公众号或小编微信空间 所以 M (-,0),N (,0). ‎ 由 |AM|=,|AN|=3得 ‎(xA+)2+2PxA=17, ①‎ ‎(xA-)2+2PxA=9. ② ‎ 由①、②两式联立解得xA=,再将其代入①式并由p>0解得 或.‎ 因为△AMN是锐角三角形,所以>xA,故舍去.‎ ‎∴ P=4,xA=1.‎ 由点B在曲线段C上,得xB=|BN|-=4.‎ 综上得曲线段C的方程为y2=8x (1≤x≤4,y>0).‎ 解法二:如图建立坐标系,分别以l1、l2为x、y轴,M为坐标原点.‎ 作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分别为E、D、F.‎ 设 A (xA,yA)、B (xB,yB)、N (xN,0).‎ 依题意有 xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,‎ yA=|DM|==2,由于△AMN为锐角三角形,故有 xN=|AE|+|EN|=4.‎ ‎=|ME|+=4‎ XB=|BF|=|BN|=6. ‎ 设点P (x,y)是曲线段C上任一点,则由题意知P属于集合 ‎{(x,y)|(x-xN)2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0}. ‎ 故曲线段C的方程 y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0). ‎ 微信公众号: 数学第六感 ; 微信号: AA-teacher 更多内容见微信公众号或小编微信空间 ‎(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,棱柱的性质,空间的角和距离的概念,逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.满分12分.‎ 注:题中赋分为得到该结论时所得分值,不给中间分.‎ 解:(Ⅰ)作A1D⊥AC,垂足为D,由面A1ACC1⊥面ABC,得A1D⊥面ABC,‎ ‎∴ ∠A1AD为A1A与面ABC所成的角. ‎ ‎∵ AA1⊥A1C,AA1=A1C,‎ ‎∴ ∠A1AD=45º为所求. ‎ ‎(Ⅱ)作DE⊥AB,垂足为E,连A1E,则由A1D⊥面ABC,得A1E⊥AB.‎ ‎∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角. ‎ 由已知,AB⊥BC,得ED∥BC.又D是AC的中点,BC=2,AC=2,‎ ‎∴ DE=1,AD=A1D=,tgA1ED==.‎ 故∠A1ED=60º为所求. ‎ ‎(Ⅲ) 作BF⊥AC,F为垂足,由面A1ACC1⊥面ABC,知BF⊥面A1ACC1.‎ ‎∵ B1B∥面A1ACC1,‎ ‎∴ BF的长是B1B和面A1ACC1的距离.‎ 在Rt△ABC中,,‎ ‎∴ 为所求.‎ ‎(24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识.满分12分.‎ 解法一:设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=,其中k>0为比例系数,依题意,即所求的a,b值使y值最小.‎ 根据题设,有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0), ‎ 得 (0<a<30=, ①‎ 微信公众号: 数学第六感 ; 微信号: AA-teacher 更多内容见微信公众号或小编微信空间 于是 ‎ 当a+2=时取等号,y达最小值. ‎ 这时a=6,a=-10(舍去).‎ 将a=6代入①式得b=3.‎ 故当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.‎ 解法二:依题意,即所求的a,b的值使ab最大.‎ 由题设知 4a+2ab+2a=60 (a>0,b>0) ‎ 即 a+2b+ab=30 (a>0,b>0).‎ ‎∵ a+2b≥2,‎ ‎∴ 2+ab≤30,‎ 当且仅当a=2b时,上式取等号.‎ 由a>0,b>0,解得0<ab≤18.‎ 即当a=2b时,ab取得最大值,其最大值18. ‎ ‎∴ 2b2=18.解得b=3,a=6.‎ 故当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.‎ ‎(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法,考查对数函数性质,考查归纳,推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.满分12分.‎ 解:(Ⅰ)设数列工{bn}的公差为d,由题意得 微信公众号: 数学第六感 ; 微信号: AA-teacher 更多内容见微信公众号或小编微信空间 b1=1,‎ ‎10b1+=100.‎ 解得 b1=1,‎ d=2.‎ ‎∴ bn=2n-1. ‎ ‎(Ⅱ)由bn=2n-1,知 Sn=lg(1+1)+lg(1+)+…+lg(1+)‎ ‎ =lg[(1+1)(1+)· … ·(1+)],‎ lgbn+1=lg.‎ 因此要比较Sn与lgbn+1的大小,可先比较(1+1)(1+)· … ·(1+)与的大小.‎ 取n=1有(1+1)>,‎ 取n=2有(1+1)(1+)>‎ 由此推测(1+1)(1+)· … ·(1+)>. ① ‎ 若①式成立,则由对数函数性质可判定:‎ Sn>lgbn+1. ‎ 下面用数学归纳法证明①式.‎ ‎(i)当n=1时已验证①式成立.‎ ‎(ii)假设当n=k (k≥1)时,①式成立,即 ‎(1+1)(1+)· … ·(1+)>, ‎ 那么,当n=k+1时,‎ ‎(1+1)(1+)· … ·(1+)(1+)‎ ‎>(1+)‎ ‎=(2k+2).‎ 微信公众号: 数学第六感 ; 微信号: AA-teacher 更多内容见微信公众号或小编微信空间 ‎∵ [(2k+2)]2-[]2‎ ‎=‎ ‎=>0,‎ ‎∴ (2k+2) >=.‎ 因而 (1+1)(1+)· … ·(1+)(1+)>.‎ 这就是说①式当n=k+1时也成立.‎ 由(i),(ii)知①式对任何正整数n都成立.‎ 由此证得:Sn>lgbn+1. ‎ 微信公众号: 数学第六感 ; 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