【数学】山东省安丘市实验中学2019-2020学年高一下学期期中考试试题(解析版)

【数学】山东省安丘市实验中学2019-2020学年高一下学期期中考试试题(解析版)

山东省安丘市实验中学2019-2020学年 高一下学期期中考试试题 第I卷（选择题）‎ 一、单选题：本题共8个小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知角的终边经过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.设两个单位向量，的夹角为，则|3+4|＝（　　）‎ A．1 B． C． D．7‎ ‎3.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则角A的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，则xy的取值范围是（　　）‎ A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]‎ ‎5.已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ），ω＞0，|φ|＜，f（x）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（　　）‎ A．f（x）在(，)上单调递减 ‎ B．f（x）在(0，)上单调递减 ‎ C．f（x）在(0，)上单调递增 ‎ D．f（x）在(，)上单调递增 ‎6.在△ABC中，，，E是边BC的中点.O为△ABC所在平面内一点且满足，则的值为（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎7.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且B为锐角，若，，，则b=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案及解析：‎ ‎8.已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）‎ A. －6 B. －‎3 ‎C. －4 D. －2‎ 二、 多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分 ‎9．已知，如下四个结论正确的是（ ）‎ A．； B．四边形为平行四边形；‎ C．与夹角的余弦值为； D．‎ ‎10.下列各式中，值为的是（ ）‎ A． B． C．‎ D． E.‎ ‎11.已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）‎ A．若，则一定是等边三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是锐角三角形 ‎12．已知函数，则下面结论正确的是（　　）‎ A．为偶函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为2 D．在上单调递增 第II卷（非选择题)‎ 三、填空题:本大题共4小题,，每小题5分，共20分。‎ ‎13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为_____________．‎ ‎14.已知，则 . ‎ ‎15.已知函数，若对任意都有（）成立，则的最小值为__________．‎ ‎16.设非零向量，的夹角为，记，若，均为单位向量，且，则向量与的夹角为__________．‎ 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设两个非零向量与不共线.‎ ‎（1）若，，求证:A、B、D三点共线；‎ （2） 试确定实数k，使与共线.‎ ‎18.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且 ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若角边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．‎ ‎19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．‎ ‎（l）求角B的大小；‎ ‎（2）已知，且△ABC的外接圆的半径为，若，求的值．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 设向量，，其中，，函数 的图象在轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与轴的第一个交点为.‎ ‎（Ⅰ）求函数的表达式；‎ ‎（Ⅱ）在中，角A，B，C的对边分别是，若，且，求边长．‎ ‎21.已知两个不共线的向量a，b满足，，．‎ ‎（1）若，求角θ的值；‎ ‎（2）若与垂直，求的值；‎ （2） 当时，存在两个不同的θ使得成立，求正数m的取值范围.‎ ‎22.已知，，，且，其中 （1） 若与的夹角为，求的值；‎ （2） 记，是否存在实数，使得对任意的恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，试说明理由.、‎ 参考答案 第I卷（选择题）‎ 一、单选题：本题共8个小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知角的终边经过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案及解析：‎ 1. A ‎【详解】因为，，所以．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查已知角终边上一点，利用三角函数定义求三角函数值，属于基础题．‎ ‎2.设两个单位向量，的夹角为，则|3+4|＝（　　）‎ A．1 B． C． D．7‎ 答案及解析：‎ ‎2.B 解：两个单位向量的夹角为，‎ 则＝9+24•+16＝9×12+24×1×1×cos+16×12＝13，‎ 所以＝．‎ 故选：B．‎ ‎3.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则角A的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案及解析：‎ ‎3.C ‎【详解】由正弦定理得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 本题正确选项：C ‎【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用，属于基础题.‎ ‎4.已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，则xy的取值范围是（　　）‎ A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]‎ 答案及解析：‎ ‎4.D ‎【解答】解：D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，‎ 可得x+y＝1，x，y∈[，]，‎ 则xy≤＝，当且仅当x＝y＝时取等号，‎ 并且xy＝x（1﹣x）＝x﹣x2，函数的开口向下，对称轴为：x＝，当x＝或x＝时，取最小值，‎ xy的最小值为：．‎ 则xy的取值范围是：[，]．‎ ‎5.已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ），ω＞0，|φ|＜，f（x）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（　　）‎ A．f（x）在(，)上单调递减 ‎ B．f（x）在(0，)上单调递减 ‎ C．f（x）在(0，)上单调递增 ‎ D．f（x）在(，)上单调递增 答案及解析：‎ ‎5.A ‎【解答】解：∵f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）＝sin（ωx+φ+），‎ ‎∵f（x）是奇函数，，‎ ‎∴φ+＝0，得φ＝﹣，‎ 则f（x）＝sinωx，‎ 由sinωx＝得sinωx＝1，‎ ‎∵直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，‎ ‎∴T＝，0即＝，得ω＝4，‎ 即f（x）＝sin4x，‎ 由2kπ﹣≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+，当k＝0时，函数的 递增区间为[﹣，]，k＝1时，递增区间为[，]‎ 由2kπ+≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ+≤x≤kπ+，当k＝0时，函数的递减区间为[，]，当k＝1时，函数的递减区间为[，]‎ ‎6.在△ABC中，，，E是边BC的中点.O为△ABC所在平面内一点且满足，则的值为（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎6.D ‎【详解】为中点 ‎ ‎ 和为等腰三角形 ‎，同理可得：‎ 本题正确选项：D ‎【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.‎ ‎7.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且B为锐角，若，，，则b=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案及解析：‎ ‎7.D ‎【详解】由于，有正弦定理可得： ，即 由于在中，，，所以，‎ 联立 ，解得：，‎ 由于为锐角，且，所以 所以在中，由余弦定理可得：，故（负数舍去）‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题 ‎8.已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）‎ A. －6 B. －‎3 ‎C. －4 D. －2‎ 答案及解析：‎ ‎8.A ‎【详解】由题意，以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，‎ 则，‎ 设，则，‎ 所以 ‎，‎ 所以当时，取得最小值为，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ 二、 多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分 ‎9．已知，如下四个结论正确的是（ ）‎ A．； B．四边形为平行四边形；‎ C．与夹角的余弦值为； D．‎ ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 所以，，， ,‎ 对于A，，故A错误；‎ 对于B，由，，则，‎ 即与平行且相等，故B正确； ‎ 对于C，，故C错误；‎ 对于D，，故D正确；‎ 故选：BD ‎10.下列各式中，值为的是（ ）‎ A． B． C．‎ D． E.‎ ‎【答案】BCE ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：A不符合，；‎ B符合，；‎ C符合，；‎ D不符合，；‎ E符合，．‎ 故选：．‎ ‎11.已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）‎ A．若，则一定是等边三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是锐角三角形 ‎【答案】AC ‎【详解】‎ 由，利用正弦定理可得，即，是等边三角形，A正确；‎ 由正弦定理可得，或，‎ 是等腰或直角三角形，B不正确；‎ 由正弦定理可得，即，‎ 则等腰三角形，C正确；‎ 由正弦定理可得，角为锐角，角不一定是锐角，D不正确，故选AC.‎ ‎12．已知函数，则下面结论正确的是（　　）‎ A．为偶函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为2 D．在上单调递增 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将化简为，选项A，的定义域为，，故A正确。根据的周期和最值可判断B正确，C不正确。根据可判定D正确。‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 选项A，的定义域为，‎ ‎，故A正确。‎ B选项，的最小正周期为，故B正确。‎ C选项，，故C不正确。‎ D选项， 由的图像， ‎ 由图可知：在上单调递增，故D正确。‎ 故选ABD ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，同时考查三角函数最值和单调区间，属于中档题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 三、填空题:本大题共4小题,，每小题5分，共20分。‎ ‎13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为_____________．‎ 答案及解析：‎ ‎13.30°‎ ‎14.已知，则 . ‎ 答案及解析：‎ ‎14.‎ ‎15.已知函数，若对任意都有（）成立，则的最小值为__________．‎ 答案及解析：‎ ‎15.4π ‎【详解】因为对任意成立，所以取最小值，取最大值；‎ 取最小值时，与必为同一周期内的最小值和最大值的对应的，则，且，故.‎ ‎【点睛】任何一个函数，若有对任何定义域成立，此时必有：，.‎ ‎16.设非零向量，的夹角为，记，若，‎ 均为单位向量，且，则向量与的夹角为__________．‎ 答案及解析：‎ ‎16.【详解】由题设知，若向量，的夹角为，则，的夹角为.由题意可得，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎∵，，，，向量与夹角为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】这个题目考查了向量数量积的应用，以及向量夹角的求法，平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设两个非零向量与不共线.‎ ‎（1）若，，求证:A、B、D三点共线；‎ ‎（2）试确定实数k，使与共线.‎ 答案及解析：‎ ‎17.（1）见解析；（2）.‎ ‎（1）证明：∵，‎ ‎∴...........4分 ‎∴与共线，又它们有公共点，∴三点共线............5分 ‎（2）若和共线 ‎∴存在实数，使 ‎ 即..........8分 ‎∴ 解得...........10分 ‎18.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且 ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若角边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．‎ 答案及解析：‎ ‎.每问6分 ‎19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．‎ ‎（l）求角B的大小；‎ ‎（2）已知，且△ABC的外接圆的半径为，若，求的值．‎ 答案及解析：‎ ‎19.（l）；（2）9.‎ ‎【详解】（1）‎ 由余弦定理可得，，..........5分 ‎．..........6分 ‎（2），△ABC外接圆的半径为，‎ ‎∴由正弦定理可得：，可得：，。。。。。8分 ‎，①‎ ‎∴由余弦定理可得：，‎ 解得：，②‎ ‎∴联立①②可得：，或，‎ 由，可得：，。。。。。。。。。。。10分 ‎，‎ ‎．。。。。。。。。。。。。。。。12分 ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，平面向量数量积的运算，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 设向量，，其中，，函数 的图象在轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与轴的第一个交点为.‎ ‎（Ⅰ）求函数的表达式；‎ ‎（Ⅱ）在中，角A，B，C的对边分别是，若，且，求边长．‎ 答案及解析：‎ ‎20.（I）因为， -----------------------------1分 ‎ 由题意， -----------------------------3分 将点代入，得，‎ 所以，又因为 -------------------5分 即函数的表达式为． ---------------------6分 ‎（II）由，即 又 ------------------------8分 由 ，知，‎ 所以 -----------------10分 由余弦定理知 ‎ ‎ ‎ 所以 ----------------------------------------------------12分 ‎21.已知两个不共线的向量a，b满足，，．‎ ‎（1）若，求角θ的值；‎ ‎（2）若与垂直，求的值；‎ ‎（3）当时，存在两个不同的θ使得成立，求正数m的取值范围.‎ 答案及解析：‎ ‎21.（1）（2）（3）‎ ‎【详解】（1）由题得 所以角的集合为 .。。。。。。。。。。。。。4分 ‎（2）由条件知， ，又与垂直，‎ 所以，所以.‎ 所以，故. 。。。。。。。。。。。。8分 ‎（3）由，得，‎ 即，‎ 即，，‎ 所以.‎ 由得，又要有两解，结合三角函数图象可得，‎ ‎，即，‎ 又因为，所以.‎ 即m的范围..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 ‎【点睛】本题主要考查向量平行垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，考查三角函数图像和性质的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.‎ ‎22.已知，，，且，其中 （1） 若与的夹角为，求的值；‎ （2） 记，是否存在实数，使得对任意的恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，试说明理由.、‎ ‎22.解：（1），由，‎ 得，即 ‎。。。。。。。。。。。。。。。。（6分）‎ （2） 由（1）得，‎ ‎，即可得，‎ ‎，因为对于任意恒成立，又因为，。。。。。。。。8分 所以，即对于任意恒成立，构造函数。。。。。10分 从而由此可知不存在实数使之成立。。。。。。。。12分