2020年浙江省台州市中考数学试卷

2020年浙江省台州市中考数学试卷

2020 年浙江省台州市中考数学试卷 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．请选出各题中一个符合题意的正确 选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（4 分）计算1 3 的结果是 ( ) A．2 B． 2 C．4 D． 4 2．（4 分）用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是 ( ) A． B． C． D． 3．（4 分）计算 2 42 3a a 的结果是 ( ) A． 65a B． 85a C． 66a D． 86a 4．（4 分）无理数 10 在 ( ) A．2 和 3 之间 B．3 和 4 之间 C．4 和 5 之间 D．5 和 6 之间 5．（4 分）在一次数学测试中，小明成绩 72 分，超过班级半数同学的成绩，分折得出这个 结论所用的统计量是 ( ) A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 6．（4 分）如图，把 ABC 先向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位得到 DEF ，则顶点 (0, 1)C  对应点的坐标为 ( ) A． (0,0) B． (1,2) C． (1,3) D． (3,1) 7．（4 分）如图，已知线段 AB ，分别以 A ， B 为圆心，大于 1 2 AB 同样长为半径画弧，两 弧交于点 C ， D ，连接 AC ， AD ， BC ， BD ， CD ，则下列说法错误的是 ( ) A． AB 平分 CAD B．CD 平分 ACB C． AB CD D． AB CD 8．（4 分）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③ 它是一个矩形．下列推理过程正确的是 ( ) A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③ C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出② 9．（4 分）如图 1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过 程中，小球的运动速度 v （单位： / )m s 与运动时间 t （单位： )s 的函数图象如图 2，则该小 球的运动路程 y （单位： )m 与运动时间 t （单位： )s 之间的函数图象大致是 ( ) A． B． C． D． 10．（4 分）把一张宽为1cm的长方形纸片 ABCD 折叠成如图所示的阴影图案，顶点 A ，D 互 相重合，中间空白部分是以 E 为直角顶点，腰长为 2cm的等腰直角三角形，则纸片的长 AD （单位： )cm 为 ( ) A． 7 3 2 B． 7 4 2 C．8 3 2 D．8 4 2 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11．（5 分）因式分解： 2 9x   ． 12．（5 分）计算 1 1 3x x  的结果是 ． 13．（5 分）如图，等边三角形纸片 ABC 的边长为 6， E ， F 是边 BC 上的三等分点．分别 过点 E ， F 沿着平行于 BA ， CA 方向各剪一刀，则剪下的 DEF 的周长是 ． 14．（5 分）甲、乙两位同学在 10 次定点投篮训练中（每次训练投 8 个），各次训练成绩（投 中个数）的折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为 2s甲 与 2S乙 ，则 2s甲 2S乙 ．（填“  ”、 “  ”、“  ”中的一个） 15．（5 分）如图，在 ABC 中， D 是边 BC 上的一点，以 AD 为直径的 O 交 AC 于点 E ， 连接 DE ．若 O 与 BC 相切， 55ADE   ，则 C 的度数为 ． 16．（5 分）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正 方形地砖面积为 a，小正方形地砖面积为b ，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形 ABCD ．则正方形 ABCD 的面积为 ．（用含 a ，b 的代数式表示） 三、解答题（本题有 8 小题，第 17～20 题每题 8 分，第 21 题 10 分，第 22，23 题每题 12 分，第 24 题 14 分，共 80 分） 17．（8 分）计算：| 3| 8 2   ． 18．（8 分）解方程组： 1, 3 7. x y x y      19．（8 分）人字折叠梯完全打开后如图 1 所示， B ，C 是折叠梯的两个着地点， D 是折叠 梯最高级踏板的固定点．图 2 是它的示意图， AB AC ， 140BD cm ， 40BAC  ，求点 D 离地面的高度 DE ．（结果精确到 0.1cm ；参考数据 sin70 0.94  ， cos70 0.34  ， sin 20 0.34  ， cos20 0.94)  20．（8 分）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难 度相当．当训练次数不超过 15 次时，完成一次训练所需要的时间 y （单位：秒）与训练次 数 x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第 3 次训练所需时间为 400 秒． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当 x 的值为 6，8，10 时，对应的函数值分别为 1y ， 2y ， 3y ，比较 1 2( )y y 与 2 3( )y y 的大小： 1 2y y 2 3y y ． 21．（10 分）如图，已知 AB AC ， AD AE ， BD 和CE 相交于点 O ． （1）求证： ABD ACE   ； （2）判断 BOC 的形状，并说明理由． 22．（12 分）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学 生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽 取 40 人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 参与度 人数 方式 0.2 ~ 0.4 0.4 ~ 0.6 0.6 ~ 0.8 0.8 ~1 录播 4 16 12 8 直播 2 10 16 12 （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由． （2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在 0.8 及以 上的概率是多少？ （3）该校共有 800 名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1:3 ，估计参与度在 0.4 以下的共有多少人？ 23．（12 分）如图，在 ABC 中， 90ACB   ，将 ABC 沿直线 AB 翻折得到 ABD ，连接 CD 交 AB 于点 M ． E 是线段 CM 上的点，连接 BE ． F 是 BDE 的外接圆与 AD 的另一个 交点，连接 EF ， BF ． （1）求证： BEF 是直角三角形； （2）求证： BEF BCA ∽ ； （3）当 6AB  ，BC m 时，在线段 CM 上存在点 E ，使得 EF 和 AB 互相平分，求 m 的值． 24．（14 分）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1) ． 科学原理：如图 2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为 H （单位： )cm ，如果在离 水面竖直距离为 h（单位： )cm 的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流 落地点离小孔的水平距离） s （单位： )cm 与 h 的关系为 2 4 ( )s h H h  ． 应用思考：现用高度为 20cm 的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保 证它始终盛满水，在离水面竖直距高 hcm处开一个小孔． （1）写出 2s 与 h 的关系式；并求出当 h 为何值时，射程 s 有最大值，最大射程是多少？ （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为 a ， b ，要使两孔射出水的 射程相同，求 a ， b 之间的关系式； （3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水 面的竖直距离． 2020 年浙江省台州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．请选出各题中一个符合题意的正确 选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（4 分）计算1 3 的结果是 ( ) A．2 B． 2 C．4 D． 4 【分析】根据有理数的加减法法则计算即可判断． 【解答】解：1 3 1 ( 3) 2      ． 故选： B ． 【点评】本题主要考查了有理数的减法法则，减去一个数，等于加上这个数的相反数． 2．（4 分）用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是 ( ) A． B． C． D． 【分析】从正面看所得到的图形即为主视图，因此选项 A 的图形符合题意． 【解答】解：根据主视图的意义可知，选项 A 符合题意， 故选： A ． 【点评】考查简单几何体的三视图的画法，从不同方向对问题进行正投影所得到的图形分别 为主视图、左视图、俯视图． 3．（4 分）计算 2 42 3a a 的结果是 ( ) A． 65a B． 85a C． 66a D． 86a 【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案． 【解答】解： 2 4 62 3 6a a a ． 故选： C ． 【点评】此题主要考查了单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4．（4 分）无理数 10 在 ( ) A．2 和 3 之间 B．3 和 4 之间 C．4 和 5 之间 D．5 和 6 之间 【分析】由 9 10 16  可以得到答案． 【解答】解： 3 10 4  ， 故选： B ． 【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键． 5．（4 分）在一次数学测试中，小明成绩 72 分，超过班级半数同学的成绩，分折得出这个 结论所用的统计量是 ( ) A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【分析】根据中位数的意义求解可得． 【解答】解：班级数学成绩排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的 中位数， 半数同学的成绩位于中位数或中位数以下， 小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数， 故选： A ． 【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定 义和意义． 6．（4 分）如图，把 ABC 先向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位得到 DEF ，则顶点 (0, 1)C  对应点的坐标为 ( ) A． (0,0) B． (1,2) C． (1,3) D． (3,1) 【分析】利用平移规律进而得出答案． 【解答】解：把 ABC 先向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位得到 DEF ，顶点 (0, 1)C  ， (0 3, 1 2)C    ， 即 (3,1)C ， 故选： D ． 【点评】此题主要考查了坐标与图形变化  平移，正确得出对应点位置是解题关键． 7．（4 分）如图，已知线段 AB ，分别以 A ， B 为圆心，大于 1 2 AB 同样长为半径画弧，两 弧交于点 C ， D ，连接 AC ， AD ， BC ， BD ， CD ，则下列说法错误的是 ( ) A． AB 平分 CAD B．CD 平分 ACB C． AB CD D． AB CD 【分析】根据作图判断出四边形 ACBD 是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一 组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案． 【解答】解：由作图知 AC AD BC BD   ， 四边形 ACBD 是菱形， AB 平分 CAD 、 CD平分 ACB 、 AB CD ， 不能判断 AB CD ， 故选： D ． 【点评】本题主要考查作图  基本作图，解题的关键是掌握菱形的判定与性质． 8．（4 分）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③ 它是一个矩形．下列推理过程正确的是 ( ) A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③ C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出② 【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断． 【解答】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形， 故①  ②，①  ③错误， 故选项 B ， C ， D 错误， 故选： A ． 【点评】本题考查正方形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知 识解决问题，属于中考常考题型． 9．（4 分）如图 1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过 程中，小球的运动速度 v （单位： / )m s 与运动时间 t （单位： )s 的函数图象如图 2，则该小 球的运动路程 y （单位： )m 与运动时间 t （单位： )s 之间的函数图象大致是 ( ) A． B． C． D． 【分析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程 y 是 t 的二次函数，图象是先缓 后陡，由此即可判断． 【解答】解：小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程 y 是 t 的二次函数，图象是 先缓后陡， 在右侧上升时，情形与左侧相反， 故选： C ． 【点评】本题考查动点问题函数图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．（4 分）把一张宽为1cm的长方形纸片 ABCD 折叠成如图所示的阴影图案，顶点 A ，D 互 相重合，中间空白部分是以 E 为直角顶点，腰长为 2cm的等腰直角三角形，则纸片的长 AD （单位： )cm 为 ( ) A． 7 3 2 B． 7 4 2 C．8 3 2 D．8 4 2 【分析】如图，过点 M 作 MH A R  于 H ，过点 N 作 NJ AW  于 J ．想办法求出 AR ，RM ， MN ， NW ，WD 即可解决问题． 【解答】解：如图，过点 M 作 MH A R  于 H ，过点 N 作 NJ AW  于 J ． 由题意 EMN 是等腰直角三角形， 2EM EN  ， 2 2MN  ， 四边形 EMHK 是矩形， 1EK A K MH     ， 2KH EM  ， RMH 是等腰直角三角形， 1RH MH   ， 2RM  ，同法可证 2NW  ， 由题意 4AR RA AW WD      ， 4 2 2 2 2 4 8 4 2AD AR RM MN NW DW             ， 故选： D ． 【点评】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关 键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11．（5 分）因式分解： 2 9x   ( 3)( 3)x x  ． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式 ( 3)( 3)x x   ， 故答案为： ( 3)( 3)x x  ． 【点评】此题考查了因式分解  运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 12．（5 分）计算 1 1 3x x  的结果是 2 3x ． 【分析】先通分，再相减即可求解． 【解答】解： 1 1 3 1 2 3 3 3 3x x x x x     ． 故答案为： 2 3x ． 【点评】考查了分式加减法，把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经 过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 13．（5 分）如图，等边三角形纸片 ABC 的边长为 6， E ， F 是边 BC 上的三等分点．分别 过点 E ， F 沿着平行于 BA ， CA 方向各剪一刀，则剪下的 DEF 的周长是 6 ． 【分析】根据三等分点的定义可求 EF 的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解． 【解答】解：等边三角形纸片 ABC 的边长为 6， E ， F 是边 BC 上的三等分点， 2EF  ， / /DE AB ， / /DF AC ， DEF 是等边三角形， 剪下的 DEF 的周长是 2 3 6  ． 故答案为：6． 【点评】考查了等边三角形的性质，平行线的性质，关键是证明 DEF 是等边三角形． 14．（5 分）甲、乙两位同学在 10 次定点投篮训练中（每次训练投 8 个），各次训练成绩（投 中个数）的折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为 2s甲 与 2S乙 ，则 2s甲  2S乙 ．（填“  ”、 “  ”、“  ”中的一个） 【分析】利用折线统计图可判断乙同学的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲、乙 的方差的大小． 【解答】解：由折线统计图得乙同学的成绩波动较大， 所以 2 2s S 乙甲 ． 故答案为：  ． 【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成 长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．也考查了方差的意义． 15．（5 分）如图，在 ABC 中， D 是边 BC 上的一点，以 AD 为直径的 O 交 AC 于点 E ， 连接 DE ．若 O 与 BC 相切， 55ADE   ，则 C 的度数为 55 ． 【分析】由直径所对的圆周角为直角得 90AED   ，由切线的性质可得 90ADC  ，然后 由同角的余角相等可得 55C ADE     ． 【解答】解： AD 为 O 的直径， 90AED   ， 90ADE DAE     ； O 与 BC 相切， 90ADC   ， 90C DAE     ， C ADE   ， 55ADE   ， 55C   ． 故答案为： 55 ． 【点评】本题考查了切线的性质、圆的相关概念及性质及互余关系等知识点，熟练掌握圆的 相关性质是解题的关键． 16．（5 分）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正 方形地砖面积为 a，小正方形地砖面积为b ，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形 ABCD ．则正方形 ABCD 的面积为 a b ．（用含 a ，b 的代数式表示） 【分析】如图，连接 DK ， DN ，证明 1 4DKNDMNTS S a 四边形 即可解决问题． 【解答】解：如图，连接 DK ， DN ， 90KDN MDT     ， KDM NDT   ， DK DN ， 45DKM DNT     ， ( )DKM DNT ASA   ， DKM DNTS S   ， 1 4DKNDMNTS S a  四边形 ， 正方形 ABCD 的面积 14 4 a b a b     ． 故答案为 a b ． 【点评】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键灵 活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本题有 8 小题，第 17～20 题每题 8 分，第 21 题 10 分，第 22，23 题每题 12 分，第 24 题 14 分，共 80 分） 17．（8 分）计算：| 3| 8 2   ． 【分析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质化简得出答案． 【解答】解：原式 3 2 2 2   3 2  ． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键． 18．（8 分）解方程组： 1, 3 7. x y x y      【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解： 1 3 7 x y x y      ① ② ， ①  ②得： 4 8x  ， 解得： 2x  ， 把 2x  代入①得： 1y  ， 则该方程组的解为 2 1. x y    【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与 加减消元法． 19．（8 分）人字折叠梯完全打开后如图 1 所示， B ，C 是折叠梯的两个着地点， D 是折叠 梯最高级踏板的固定点．图 2 是它的示意图， AB AC ， 140BD cm ， 40BAC  ，求点 D 离地面的高度 DE ．（结果精确到 0.1cm ；参考数据 sin70 0.94  ， cos70 0.34  ， sin 20 0.34  ， cos20 0.94)  【分析】过点 A 作 AF BC 于点 F ，根据等腰三角形的三线合一性质得 BAF 的度数，进 而得 BDE 的度数，再解直角三角形得结果． 【解答】解：过点 A 作 AF BC 于点 F ，则 / /AF DE ， BDE BAF   ， AB AC ， 40BAC  ， 20BDE BAF     ， cos20 140 0.94 131.6( )DE BD cm      ． 答：点 D 离地面的高度 DE 约为131.6cm ． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，关键是构造直角三角形求得 BDE 的度数． 20．（8 分）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难 度相当．当训练次数不超过 15 次时，完成一次训练所需要的时间 y （单位：秒）与训练次 数 x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第 3 次训练所需时间为 400 秒． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当 x 的值为 6，8，10 时，对应的函数值分别为 1y ， 2y ， 3y ，比较 1 2( )y y 与 2 3( )y y 的大小： 1 2y y  2 3y y ． 【分析】（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为： ky x  ，把 (3,400) 代入 ky x  即可得到结论， （2）把 6x  ，8，10 分别代入 1200y x  得到求得 1y ， 2y ， 3y 值，即可得到结论． 【解答】解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为： ky x  ， 把 (3,400) 代入 ky x  得， 400 3 k ， 解得： 1200k  ， y 与 x 之间的函数关系式为 1200y x  ； （2）把 6x  ，8，10 分别代入 1200y x  得， 1 1200 2006y   ， 2 1200 1508y   ， 3 1200 12010y   ， 1 2 200 150 50y y    ， 2 3 150 120 30y y    ， 50 30 ， 1 2 2 3y y y y    ， 故答案为：  ． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质， 正确的理解题意是解题的关键． 21．（10 分）如图，已知 AB AC ， AD AE ， BD 和CE 相交于点 O ． （1）求证： ABD ACE   ； （2）判断 BOC 的形状，并说明理由． 【分析】（1）由“ SAS ”可证 ABD ACE   ； （2）由全等三角形的性质可得 ABD ACE   ，由等腰三角形的性质可得 ABC ACB   ， 可求 OBC OCB   ，可得 BO CO ，即可得结论． 【解答】证明：（1） AB AC ， BAD CAE   ， AD AE ， ( )ABD ACE SAS   ； （2） BOC 是等腰三角形， 理由如下： ABD ACE   ， ABD ACE   ， AB AC ， ABC ACB   ， ABC ABD ACB ACE       ， OBC OCB   ， BO CO  ， BOC 是等腰三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用全等三 角形的性质是本题的关键． 22．（12 分）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学 生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽 取 40 人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 参与度 人数 方式 0.2 ~ 0.4 0.4 ~ 0.6 0.6 ~ 0.8 0.8 ~1 录播 4 16 12 8 直播 2 10 16 12 （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由． （2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在 0.8 及以 上的概率是多少？ （3）该校共有 800 名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1:3 ，估计参与度在 0.4 以下的共有多少人？ 【分析】（1）根据表格数据得出两种教学方式参与度在 0.6 以上的人数，比较即可作出判断； （2）用表格中“直播”教学方式学生参与度在 0.8 以上的人数除以被调查的总人数即可估 计对应概率； （3）先根据“录播”和“直播”的人数之比为1:3 及该校学生总人数求出“直播”、“录播” 人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在 0.4 以下人数所占比例求出对应人数，再相加即 可得出答案． 【解答】解：（1）“直播”教学方式学生的参与度更高： 理由：“直播”参与度在 0.6 以上的人数为 28 人，“录播”参与度在 0.6 以上的人数为 20 人， 参与度在 0.6 以上的“直播”人数远多于“录播”人数， 所以“直播”教学方式学生的参与度更高； （2）12 40 0.3 30%   ， 答：估计该学生的参与度在 0.8 及以上的概率是 30% ； （3）“录播”总学生数为 1800 2001 3   （人 ) ，“直播”总学生数为 3800 6001 3   （人 ) ， 所以“录播”参与度在 0.4 以下的学生数为 4200 2040   （人 ) ， “直播”参与度在 0.4 以下的学生数为 2600 3040   （人 ) ， 所以参与度在 0.4 以下的学生共有 20 30 50  （人 ) ． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位 置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势 来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 23．（12 分）如图，在 ABC 中， 90ACB   ，将 ABC 沿直线 AB 翻折得到 ABD ，连接 CD 交 AB 于点 M ． E 是线段 CM 上的点，连接 BE ． F 是 BDE 的外接圆与 AD 的另一个 交点，连接 EF ， BF ． （1）求证： BEF 是直角三角形； （2）求证： BEF BCA ∽ ； （3）当 6AB  ，BC m 时，在线段 CM 上存在点 E ，使得 EF 和 AB 互相平分，求 m 的值． 【分析】（1）想办法证明 90BEF   即可解决问题（也可以利用圆内接四边形的性质直接 证明）． （2）根据两角对应相等两三角形相似证明． （3）证明四边形 AFBE 是平行四边形，推出 1 2 2 mFJ BD  ，EF m ，由 ABC CBM ∽ ， 可得 2 6 mBM  ，由 BEJ BME ∽ ，可得 2 mBE  ，由 BEF BCA ∽ ，推出 AC BC EF BE  ，由 此构建方程求解即可． 【解答】（1）证明： EFB EDB   ， EBF EDF   ， 90EFB EBF EDB EDF ADB          ， 90BEF  ， BEF 是直角三角形． （2）证明： BC BD ， BDC BCD   ， EFB EDB   ， EFB BCD   ， AC AD ， BC BD ， AB CD  ， 90AMC   ， 90BCD ACD ACD CAB         ， BCD CAB   ， BFE CAB   ， 90ACB FEB     ， BEF BCA ∽ ． （3）解：设 EF 交 AB 于 J ．连接 AE ． EF 与 AB 互相平分， 四边形 AFBE 是平行四边形， 90EFA FEB     ，即 EF AD ， BD AD ， / /EF BD ， AJ JB ， AF DF  ， 1 2 2 mFJ BD   ， EF m  ， ABC CBM  ∽ ， : :BC MB AB BC  ， 2 6 mBM  ， BEJ BME  ∽ ， : :BE BM BJ BE  ， 2 mBE  ， BEF BCA  ∽ ，  AC BC EF BE  ， 即 236 2 m m mm   ， 解得 2 3m  （负根已经舍弃）． 【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质平行四边形的判 定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 24．（14 分）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1) ． 科学原理：如图 2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为 H （单位： )cm ，如果在离 水面竖直距离为 h（单位： )cm 的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流 落地点离小孔的水平距离） s （单位： )cm 与 h 的关系为 2 4 ( )s h H h  ． 应用思考：现用高度为 20cm 的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保 证它始终盛满水，在离水面竖直距高 hcm处开一个小孔． （1）写出 2s 与 h 的关系式；并求出当 h 为何值时，射程 s 有最大值，最大射程是多少？ （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为 a ， b ，要使两孔射出水的 射程相同，求 a ， b 之间的关系式； （3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水 面的竖直距离． 【分析】（1）将 2 4 (20 )s h h  写成顶点式，按照二次函数的性质得出 2s 的最大值，再求 2s 的算术平方根即可； （2）设存在 a ，b ，使两孔射出水的射程相同，则 4 (20 ) 4 (20 )a a b b   ，利用因式分解变 形即可得出答案； （3）设垫高的高度为 m ，写出此时 2s 关于 h 的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1） 2 4 ( )s h H h  ， 当 20H  时， 2 24 (20 ) 4( 10) 400s h h h      ， 当 10h  时， 2s 有最大值 400， 当 10h  时， s 有最大值 20cm ． 当 h 为何值时，射程 s 有最大值，最大射程是 20cm ； （2） 2 4 (20 )s h h  ， 设存在 a， b ，使两孔射出水的射程相同，则有： 4 (20 ) 4 (20 )a a b b   ， 2 220 20a a b b    ， 2 2 20 20a b a b    ， ( )( ) 20( )a b a b a b     ， ( )( 20) 0a b a b     ， 0a b   ，或 20 0a b   ， a b  或 20a b  ； （3）设垫高的高度为 m ，则 2 2 2204 (20 ) 4( ) (20 )2 ms h m h h m        ， 当 20 2 mh  时， 20 20 16maxs m    ， 16m  ，此时 20 182 mh   ． 垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的 性质是解题的关键．