中考数学真题分类汇编套专题四十九判断说理型问题
解答题
1．(2010江苏苏州) (本题满分9分)如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知A、B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设M(m，n)是抛物线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；
(3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是
否总成立?请说明理由．
【答案】
2．（10湖南益阳）如图9，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(2)过Ｃ点作CD平行于轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；
(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC、ＰD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由.
【答案】
解：⑴ 由于抛物线经过点，可设抛物线的解析式为，则，
解得
∴抛物线的解析式为 ……………………………4分
⑵ 的坐标为 ……………………………5分
直线的解析式为
直线的解析式为
由
求得交点的坐标为 ……………………………8分
⑶ 连结交于，的坐标为
又∵，
∴，且
∴四边形是菱形 ……………………………12分
3．（2010辽宁丹东市）如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动） ．
（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN
与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．
图①
图②
图③
第25题图
A
·
B
C
D
E
F
·
·
·
【答案】（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上， 3分
（说明：答对一个给2分）
（2）成立． 4分
证明：
法一：连结DE，DF． 5分
∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE． 7分
在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，
∴△DMF≌△DNE． 8分
N
C
A
B
F
M
D
E
N
C
A
B
F
M
D
E
∴MF=NE． 9分
法二：
延长EN，则EN过点F． 5分
∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三边的中点， ∴EF=DF=BF．
∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN． 7分
又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°，
∴△DBM≌△DFN． 8分
∴BM=FN．
∵BF=EF， ∴MF=EN． 9分
法三：
连结DF，NF． 5分
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AC．
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DF为三角形的中位线，∴DF=AC=AB=DB．
又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN． 7分
在△DBM和△DFN中，DF=DB，
DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．
∴∠B=∠DFN=60°． 8分
又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，
∴∠DFE=60°．
∴可得点N在EF上，
∴MF=EN． 9分
（3）画出图形（连出线段NE）， 11分
MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）． 12分
4．（2010山东日照）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米 ．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距8米．
（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点 ．
【答案】
23．（本题满分10分）
解：（1）在Rt△AOC中，
∵∠AOC=30 o ，OA=8，
∴AC=OA·sin30o=8×=，
OC=OA·cos30o=8×=12．
∴点A的坐标为（12，）． …………………………………2分
设OA的解析式为y=kx，把点A（12，）的坐标代入得：
=12k ，
∴k= ，
∴OA的解析式为y=x； …………………… ……………………4分
(2) ∵顶点B的坐标是（9，12）, 点O的坐标是（0，0）
∴设抛物线的解析式为y=a(x-9)+12，…………………………………6分
把点O的坐标代入得：
0=a（0-9）+12，解得a= ，
∴抛物线的解析式为y= (x-9)+12
及y= x+ x； …………………………………………………8分
(3) ∵当x=12时，y= ，
∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点． …………10分
5．（2010山东济宁）(第22题)
数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过作直线平行于交，分别于，，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得与的比值.
(1) 请按照小明的思路写出求解过程.
(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了
的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.
【答案】
（1）解：过作直线平行于交，分别于点，，
则，，.
∵，∴. 2分
∴，.
∴. 4分
（2）证明：作∥交于点， 5分
则，.
∵，
∴.
∵，，
∴.∴. 7分
∴. 8分(第22题)
6．（2010四川凉山）已知：抛物线，顶点，与轴交于A、B两点，。
（1） 求这条抛物线的解析式；
（2） 如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于点F，依次连接A、D、B、E，点Q为线段AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作于，于，请判断是否为定值；若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；
（3） 在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作，分别与边、相交于、，（与、不重合，与、
不重合），请判断是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。
第26题图
A
B
x
G
F
M
H
E
N
Q
O
D
C
y
【答案】
7．（2010 嵊州市）（10分）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系。
（1）如图1，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系是什么；
（2）如图2，若AB＝BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；
（3）如图3，若AB＝kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明。
【答案】（1）AE＝EF
（2）猜想：（1）中结论没有发生变化，即仍然为AE＝EF（过点E作EH∥AB，可证
△AEH≌△FEC）
（3）猜想：（1）中的结论发生变化，为AE＝kEF
8．（2010 浙江省温州市）(本题l2分)如图，抛物线y=ax2+bx经过点A(4，0)，B(2，2)。连结OB，AB．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求证：△OAB是等腰直角三角形；
(3)将△OAB绕点0按顺时针方向旋转l35°得到△0A′B′，写出△0A′B′的中点
P的出标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．
【答案】
9．（2010 福建德化）（12分）在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0<α<120°),得△A1BC1，交AC于点E，AC分别交A1C1、BC于D、F两点．
（1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图②，当=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求ED的长．
C1
A1
F
E
D
C
B
A
图①
C1
A1
F
E
D
C
B
A
图②
【答案】(1)；提示证明
（2）①菱形（证明略）
（3）过点E作EG⊥AB，则AG=BG=1
在中，
由（2）知AD=AB=2 ∴
10．（2010山东临沂）如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与轴交于点.
（1）求该抛物线的解析式，并判断的形状；
（2）在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
第26题图
【答案】解：根据题意，将A（,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中，
得
解这个方程，得
所以抛物线的解析式为y=-x2+x+1.
当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。
所以在△AOC中，AC==.
在△BOC中，BC==.
AB=OA+OB=.
因为AC2+BC2=.
所以△ABC是直角三角形。
图1
（2）点D的坐标是.
（3）存在。
由（1）知，AC⊥BC,
① 若以BC为底边，则BC∥AP,如图（1）所示，可求得直线BC的解析式为
.
直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线AP的解析式为，
将A（,0）代入直线AP的解析式求得b=,所以直线AP的解析式为.
因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=.
解得（不合题意，舍去）.
图2
当x=时，y=.
所以点P的坐标为（，）.
②若以AC为底边，则BP∥AC，如图（2）所示，可求得直线AC的解析式为
.
直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为，
将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线BP的解析式为y=2x-4.
因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=2x-4
解得（不合题意，舍去）.
当x=-时，y=-9.
所以点P的坐标为（-，-9）.
综上所述，满足题目的点P的坐标为（，）或（-，-9）.
11．（2010湖南衡阳）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：
（1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由．
（2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由．
【答案】不变，理由是：在Rt△ABE和Rt△AHE中，AB=AH，AE=AE，所以Rt△ABE∽Rt△AHE，所以HE=BE，同理HF=DF.所以△ECF的周长=EF+CE+CF=BC+DC.可见△ECF的周长等于正方形边长的两倍.
12．（2010 黄冈）（15分）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.
【答案】（1）a＝－1，b＝2，c＝0
（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.
（3）不存在.因为当t＜，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，PM与PN不可能相等.
13．（2010 山东莱芜）在 平行四边形 ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.
（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是 ；
（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是 ；
（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.
H
G
F
E
O
D
C
B
A
图①
H
G
F
E
O
D
C
B
A
图②
A
B
C
D
O
E
F
G
H
图③
A
B
C
D
O
E
F
G
H
图④
（第23题图）
【答案】解：（1）四边形EGFH是平行四边形．
证明：∵ ABCD的对角线AC、BD交于点O．
∴点O是 ABCD的对称中心．
∴EO=FO，GO=HO．
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）菱形．
（3）菱形．
（4）四边形EGFH是正方形．
证明：∵AC=BD，∴ ABCD是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴ ABCD是菱形．
∴ ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC．
∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF．
∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF．
由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH.
∴四边形EGFH是正方形．
14．（2010江西）如图，已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m(m>0)个单位，所得抛物线与x轴交与C、D两点，与原抛物线交与点P.
（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）
（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；
（3）△CDP的面积为S，求S关于m的关系式。
x
y
D
A
C
O
P
【答案】解：（1）令-2x2+4x=0得x1=0，x2=2
∴点A的坐标是（2，0），
△PCA是等腰三角形，
（2）存在。
OC=AD=m,OA=CD=2，
（3）当0
2时，如图2
作PH⊥x轴于H，设,
∵A（2，0），C（m,0）,
∴AC=m-2，∴AH=
∴=OH= = ,
把把=代入y=-2x2+4x，得
得, =
∵CD=OA=2，
∴．
15．（2010 武汉 ）如图1，抛物线经过点A（－1，0），C（0，）两点，且与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若抛物线的顶点为点M，点P为线段AB上一动点（不与B重合），Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设OP=x，MQ=，求于x的函数关系式，并且直接写出自变量的取值范围；
（3）如图2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于E、G两点，与（2）中的函数图像交于F、H两点，问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求出m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由．
图 1
图 2
25．【答案】（1）；
（2）由顶点M（1，2）知∠PBM=45°，易证△MBP∽△MPQ得，得，即；
（3）存在，设点E、G是抛物线分别与直线x=m，x=n的交点，则、，同理、，．由四边形EFHG为平行四边形得EG=FH，即，由，因此，四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m+n=2（0≤m≤2，且m≠1）．
16．（2010浙江湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上任意一点（不含端点A，D），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于E．（第25题）
（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，
求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．
【答案】（1）存在，理由如下：假设存在这样的点Q，∵FE⊥PC，∴∠APE＋∠DPC＝90°，∵∠D＝90°，
∴∠DPC＋∠DCP＝90°，∴△PAE∽△PDC，∴，∴，同理可得，∴，即，
∴，∴，
∴
∵AP≠AQ，∴AP＋AQ＝3.∵AP≠AQ，∴AP≠，即P不能是AD的中点，∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在，故，当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP＋AQ＝3．
（2）设AP＝x，BE＝y，则DP＝3－x，AE＝2－y，又PE⊥PC，∴△PAE∽△PDC，∴，即，∴，当时，y有最小值，y的最小值为，又E在AB上运动，且AB＝2，∴BE的取值范围是≤BE＜2．
17．（2010湖北荆门）已知一次函数y＝的图象与x轴交于点A．与轴交于点；二次函数图象与一次函数y＝的图象交于、两点，与轴交于、两点且点的坐标为
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEF的面积S；
（3）在轴上是否存在点P，使得△是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）∵ 由题意知:当x=0时,y=1, ∴B（0，1）,当y=0时,x=－2, ∴A（－2，0）
∴解得,所以
（2）当y=0时, ,解得x1=1,x2=2, ∴D(1,0) E(2,0) ∴AO=3,AE=4. S=S△CAE－S△ABD，S=，S=4.5,
(3)存在点P(a,0),当P为直角顶点时,如图,过C作CF⊥x轴于F, ∵Rt△BOP∽Rt△PFC,
由题意得，AD＝6，OD＝1，易知，AD∥BE，
∴．即,整理得:a2－4a－3=0,解得a=1或a=3,所以所求P点坐标为(1,0)或(3,0).综上所述,满足条件的点P有两个.
18．（2010湖南常德）如图10，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.
（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.
① 求证：AG⊥CH；
B
A
C
D
E
F
G
H
图12
A
B
C
D
E
F
G
图11
②当AD=4，DG=时，求CH的长.
A
B
C
D
E
F
G
图10
M
【答案】解：（1）成立．
四边形、四边形是正方形，
∴
∠∠.
∴∠90°-∠∠.
∴△△.
∴.
A
B
C
D
E
F
G
图11
B
A
C
D
E
F
G
1
2
图12
H
P
M
（2）①类似（1）可得△△，
∴∠1＝∠2
又∵∠＝∠.
∴∠∠＝.
即
② 解法一: 过作于,
由题意有,
∴，则∠1＝.
而∠1＝∠2，∴∠2＝＝∠1＝.
∴ ，即.
在Rt中，＝＝,
而∽,∴, 即,
∴.
再连接，显然有,
∴.
所求的长为.
B
A
C
D
E
F
G
1
2
图12
H
P
M
解法二：研究四边形ACDG的面积
过作于,
由题意有,
∴,.
而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1,
,
∴4×1+4×4=×CH+4 ×1.
∴=.
19．（2010湖南郴州）如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.
（1）求点A的坐标；
（2)当b=0时（如图（2）），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？
（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.
第26题
图（1）
图（2）
【答案】（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）
（2）当b＝0时，直线为，由解得，
所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2）
，
所以（利用同底等高说明面积相等亦可）
当时，仍有成立. 理由如下
由，解得，
所以B、C的坐标分别为（－，－+b），（，+b），
作轴，轴，垂足分别为F、G，则，
而和是同底的两个三角形，
所以.
（3）存在这样的b.
因为
所以
所以，即E为BC的中点
所以当OE=CE时，为直角三角形
因为
所以 ，而
所以，解得，
所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形.
20．（2010江苏常州）如图，已知二次函数的图像与轴相交于点A、C，与轴相较于点B，A（），且△AOB∽△BOC。
（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数的关系是；
（2）在线段AC上是否存在点M（）。使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
【答案】
21．（2010四川 巴中）如图12已知△ABC中，∠ACB＝90°以AB 所在直线为x 轴，过c 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系．此时，A 点坐标为（一1 ， 0）， B 点坐标为（4，0 ）
（1）试求点C 的坐标
（2）若抛物线过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式．
（3）点D（ 1，m ）在抛物线上，过点A 的直线y=－x－1 交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B 的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由。
D
G
H
【答案】（1）∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，△ACO∽△CBO，∴，CO=2，
则C（0，2）；
（2）抛物线过△ABC的三个顶点，则，∴，抛物线的解析式为；
（3）点D（ 1，m ）在抛物线上，，∴D（1，3），把直线y=－x－1与抛物线联立成方程组∴，
∴E（5，－6）,过点D作DH垂直于x轴,过点E作EG垂直于x轴,DH=BH=3,∴∠DBH=45°,
BD=,AG=EG=6, ∴∠EAG=45°,AE=,
当P在B的右侧时,∠DBP=135°≠∠ABE,两个三角形不相似,所以P点不存在；
当P 在B的左侧时
ⅰ) △DPB∽△EBA时，，，∴P的坐标为（，0），
ⅱ) △DPB∽△BEA时， ，，∴P的坐标为（，0），
所以点P的坐标为（，0）或（，0）。
22．（2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰Rt△AOC
放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当
△APE的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最
大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）由题意知：A（0，6），C（6，0），
设经过点A、B、C的抛物线解析式为y=ax2+bx+c
24题图
则：
解得：
∴该抛物线的解析式为
（2）如图：设点P（x，0），
∵PE∥AB，∴△CPE∽△ABC，
∴
又∵S△ABC=BC×OA=27
∴
∴S△CPE==
S△ABP＝BP×OA=3x+9
设△APE的面积为S
则S= S△ABC—S△ABP—S△CPE=
当x=时，S最大值为
∴点P的坐标为（，0）
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（3）假设存在点G（x，y），使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等．
在（2）中，△APE的最大面积为，过点G做GF垂直y轴与点F．
①当y＞6时，S△AGC=S梯形GFOC—S△GFA—S△AOC=（x+6）y—x（y-6）—×6×6
=3x+3y-18
即3x+3y-18=，
又∵点G在抛物线上，，
∴3x+3-18=
解得：，当x=时，y=，当x=时，y=．
又∵y＞6，∴
点G的坐标为（，）
②当y＜6时，如图：
S△AGC=S△GAF+S梯形GFOC—S△AOC=x（6—y）+-18=3x+3y-18
即3x+3y-18=，
又∵点G在抛物线上，，
∴3x+3-18=
解得：，当x=时，y=，当x=时，y=．
又因为y＜6，所以点G的坐标为（，）．
综和①②所述，点G的坐标为（，）和（，）．
（3）解法2：可以向x轴作垂线，构成了如此下图的图形:
则阴影部分的面积等于S△AGC=S△GCF+S梯形AGFO—S△AOC
下面的求解过程略．这样作可以避免了分类讨论．
23．（2010邵阳）阅读下列材料，然后解答问题。
经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。
如图（十三），已知正四边形ABCD的外接圆⊙O，⊙O的面积为S，正四边形ABCD的面积为S，以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON=90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别与⊙O相交于点E、F，分别与正四边形ABCD的边相交于点G、H。设OE、OF、及正四边形ABCD的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为S
（1）当OM经过点A时（如图①），则S、S、S之间的关系为：S＝ （用含S、S的代数式表示）；
（2）当OM⊥AB时（如图②），点G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由。
（3）当∠MON旋转到任意位置时（如图③，）则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．
图（十三）
【答案】解：（1）
（2）成立。理由：连OB，可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图①的阴影部分的面积
（3）成立。过点O分别作AB、BC的垂线交AB、BC于点P、Q，交圆于点X、Y，可证直角三角形OPG全等于直角三角形OQH，可说明两阴影部分面积之和等于图①的阴影部分面积．
24．（2010湖北恩施自治州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
【答案】解：（1）将B、C两点的坐标代入得
解得：
所以二次函数的表达式为：
（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，），
PP交CO于E
若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，
∴OE=EC=
∴=．
∴=
解得=，=（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，）…………………………8分
（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，
设P（x，），
易得，直线BC的解析式为
则Q点的坐标为（x，x－3）.
=
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的
面积．
25．（2010云南红河哈尼族彝族自治州）如图6，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点，（G与B、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论.
【答案】解：根据题目条件可判断DE//BF.
证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF+∠2=90°.
∵AF=AE+EF，又AF=BF+EF
∴AE=BF
∵∠1=∠2，∴△ABF≌△DAE（SAS）.
∴∠AFB=∠DEA，∠BAF=∠ADE.
∴∠ADE+∠2=90°，
∴∠AED=∠BFA=90°.
∴DE//BF.
26．（2010河南）如图，直线y=x+6与反比例函数y=等(x>0)的图象交于A(1,6)，B(a,3)两点.
（1）求、的值；
(2)直接写出x +6一 >0时的取值范围；
(3)如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD,OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于E，CE和反比例函数的图象交于点P.当梯形OBCD的面积为l2时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由.
【答案】（1）由题意知 k2 = 1×6 = 6
∴反比例函数的解析式为 y = .
又B（a，3）在y = 的图象上，∴a = 2 ∴B（2,3）.
∵ 直线y = k1x + b 过A（1,6），B（2,3）两点，
∴ ∴
（2）x 的取值范围为1< x < 2.
（3）当S梯形OBCD = 12时，PC= PE
设点P的坐标为（m，n），∵BC∥OD，CE⊥OD，BO = CD，B（2,3）.
∴C（m，3），CE = 3，BC = m – 2，OD = m +2.
∴当S梯形OBCD = ,即12 =
∴m = 4 .又mn = 6 ，∴n = .即PE = CE.
∴PC = PE.
27．（2010四川乐山）在△ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，直线l过点O.过A、B、C三点分别做直线l的垂线，垂足分别是G、E、F，设AG=h1，BE=h2，CF=h3.
（1）如图（12.1），当直线l⊥AD时（此时点G与点O重合）.求证：h2+h3= 2h1；
（2）将直线l绕点O旋转，使得l与AD不垂直.
①如图（12.2），当点B、C在直线l的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立，请说明你的理由；
②如图（12.3），当点B、C在直线l的异侧时，猜想h1、h2、h3满足什么关系.（只需写出关系，不要求说明理由）
h2
h1
E
F
G
O
C
A
B
D
h3
l
h3
h1
h2
E
F
l
C
A
B
D
O
(G)
O
h2
h1
h3
F
E
G
l
C
A
B
D
图（12.3）
图（12.2）
图（12.1）
【答案】25.（1）证明：∵BE⊥l，GF⊥l，
∴四边形BCFE是梯形.
又∵GD⊥l，D是BC的中点，
∴DG是梯形的中位线，
∴BE+CF=2DG.
又O为AD的中点，∴AG=DG，
∴BE+CF=2AG.
即h2+h3= 2h1.
（2）成立.
证明：过点D作DH⊥l，垂足为H，
∴∠AGO=∠DHO=Rt∠，∠AOG=∠DOH，OA=OD，
∴△AGO≌△DHO，
∴DH=AG.
又∵D为BC的中点，由梯形的中位线性质，
得2 DH=BE+CF，即2 AG =BE+CF，
∴h2+h3= 2h1成立.
（3）h1、h2、h3满足关系：h2－h3= 2h1.
（说明：（3）问中，只要是正确的等价关系都得分）
28．（2010江苏徐州）如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
(1)点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ；
(2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?
【答案】
29．（2010云南昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为：
由题意得：
解得：
∴抛物线的解析式为：
（2）存在
l′
抛物线的顶点坐标是，作抛物线和⊙M（如图），
设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C
连接MC，过C作CD⊥ x 轴于D
∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, CM⊥BC
∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0)
在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30°
∴DM = 1, CD = = ∴ C (1, )
设切线 l 的解析式为:，点B、C在 l 上，可得：
解得：
∴切线BC的解析式为：
∵点P为抛物线与切线的交点
由 解得：
∴点P的坐标为：，
∵ 抛物线的对称轴是直线
此抛物线、⊙M都与直线成轴对称图形
于是作切线 l 关于直线的对称直线 l′(如图)
得到B、C关于直线的对称点B1、C1
l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点：
，即为所求的点.
∴这样的点P共有4个：，，，
30．（2010四川内江）如图，抛物线y＝mx2―2mx―3m(m＞0)与x轴交于A、B两点， 与y轴交于C点.
（1）请求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；
（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由..
x
M
A
B
C
y
O
【答案】解：（1）∵y＝mx2―2mx―3m＝m(x2―2x―3)＝m(x－1)2―4m,
∴抛物线顶点M的坐标为（1，―4m） 2分
∵抛物线y＝mx2―2mx―3m(m＞0)与x轴交于A、B两点，
∴当y＝0时，mx2―2mx―3m＝0，
∵m＞0，
∴x2―2x―3＝0，
解得x1＝－1，x,2＝3，
∴A，B两点的坐标为（－1,0）、（3,0）. 4分
（2）当x＝0时，y＝―3m，
∴点C的坐标为（0，－3m）,
∴S△ABC＝×|3－(－1)|×|－3m|＝6|m|＝6m， 5分
过点M作MD⊥x轴于D，则OD＝1，BD＝OB－OD＝2，MD＝|－4m |＝4m.
x
M
A
B
C
y
O
D
N
∴S△BCM＝S△BDM ＋S梯形OCMD－S△OBC
＝BD·DM＋(OC＋DM)·OD－OB·OC
＝×2×4m＋(3m＋4m)×1－×3×3m＝3m， 7分
∴ S△BCM：S△ABC＝1∶2. 8分
（3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线.
过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为Rt△，CN＝OD＝1，DN＝OC＝3m,
∴MN＝DM－DN＝m,
∴CM2＝CN2＋MN2＝1＋m2，
在Rt△OBC中，BC2＝OB2＋OC2＝9＋9m2，
在Rt△BDM中，BM2＝BD2＋DM2＝4＋16m2.
①如果△BCM是Rt△，且∠BMC＝90°时，CM2＋BM2＝BC2,
即1＋m2＋4＋16m2＝9＋9m2，
解得 m＝±,
∵m＞0，∴m＝.
∴存在抛物线y＝x2－x－使得△BCM是Rt△; 10分
②①如果△BCM是Rt△，且∠BCM＝90°时，BC2＋CM2＝BM2.
即9＋9m2＋1＋m2＝4＋16m2，
解得 m＝±1,
∵m＞0，∴m＝1.
∴存在抛物线y＝x2－2x－3使得△BCM是Rt△;
③如果△BCM是Rt△，且∠CBM＝90°时，BC2＋BM2＝CM2.
即9＋9m2＋4＋16m2＝1＋m2，
整理得 m2＝－，此方程无解,
∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在.
（或∵9＋9m2＞1＋m2，4＋16m2＞1＋m2，∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在.）
综上的所述，存在抛物线y＝x2－x－和y＝x2－2x－3使得△BCM是Rt△.
31．（2010 福建三明）已知抛物线经过点B（2，0）和点C（0，8），且它的对称轴是直线。
（1）求抛物线与轴的另一交点A坐标；（2分）
（2）求此抛物线的解析式；（3分）
（3）连结AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B）不重合，过点E作EF∥AC交BC于点F，连结CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若
存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的
坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请
说明理由。
【答案】（1）∵抛物线的对称轴是直线
∴由对称性可得A点的坐标为（-6，0） …………2分
（2）∵点C（0，8）在抛物线的图象上
将A（-6，0）、B（2，0）代入表达式得
解得 ∴所求解析式为
[也可用] …………5分
（3）依题意，AE=m，则BE=8-m
∵OA=6，OC=8，∴AC=10
∵EF//AC ∴≌
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则
…………10分
（4）存在.理由如下：
∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8 …………12分
∵m=4
∴点E的坐标为（——-2，0）
为等腰三角形 …………14分
32．（2010 湖北孝感） 如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线与二次函数的图像交于A、B两点，其中点A在y轴上。
（1）二次函数的解析式为y= ；（3分）
（2）证明点不在（1）中所求的二次函数的图像上；（3分）
（3）若C为线段AB的中点，过C点作轴于E点，CE与二次函数的图像交于D点。
①y轴上存在点K，使以K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是 ；（2分）
②二次函数的图像上是否存在点P，使得
？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由。（4分）
【答案】（1）解： …………3分
（2）证明：设点的图像上，
则有： …………4分
整理得
∴原方程无解 …………5分
的图象上 …………6分
说明：由
从而判断点不在二次函数图像上的同样给分。
（3）解：①； …………8分
②二次函数的图象上存在点P，使得
如图，过点B作轴于F，则BF//CE//AO，又C为AB中点，
…………9分
设，由题意有：
…………10分
解得 …………11分
33．（2010 云南玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是
△POD的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
图a
O
图b
（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；
（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
图c
图d
【答案】解：（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D.
延长BP交CD于点E,
∵AB∥CD. ∴∠B=∠BED.
又∠BPD=∠BED+∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D. …………4分
（2）结论： ∠BPD=∠BQD+∠B+∠D. …………7分
（3）由（2）的结论得：∠AGB=∠A+∠B+∠E.
又∵∠AGB=∠CGF.
∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D∠E+∠F=360°. …………11分
34．（2010 云南玉溪）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，） ，△
AOB的面积是.
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）中轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
y
A
0
B
图10
【答案】解：（1）由题意得:
∴B（－2，0） …………3分
（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+2)，代入点A（1, ），得，
∴ …………6分
C
A
B
O
y
x
（3）存在点C.过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线
的对称轴x= - 1交x轴于点E.当点C位于对称轴
与线段AB的交点时，△AOC的周长最小.
∵ △BCE∽△BAF,
…………9分
（4）存在. 如图，设p(x,y)，直线AB为y=kx+b,则
，
∴直线AB为，
= |OB||YP|+|OB||YD|=|YP|+|YD|
=.
∵S△AOD= S△AOB-S△BOD =-×2×∣x+∣=-x+.
∴==.
∴x1=- , x2=1(舍去).
∴p(-,-) .
y
x
A
O
D
B
P
又∵S△BOD =x+,
∴ == .
∴x1=- , x2=-2.
P(-2,0)，不符合题意.
∴ 存在，点P坐标是（-，-）. …………12分
35．（2010 重庆江津）如图，抛物线与轴交于两点A（－1，0），B（1，0），与轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；
(3)在轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MN⊥轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）把A B代入得：
解得：
………………………………………………………………………3分
（2）令，得 ∴ ……………………………………………4分
∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=ABC =
∵BD∥CA， ∴ABD=BAC
过点D作DE轴于E，则BDE为等腰直角三角形
令 ，则 ∴
∵点D在抛物线上 ∴
解得，（不合题意，舍去）
∴DE=
(说明：先求出直线BD的解析式，再用两个解析式联立求解得到点D的坐标也可)
∴四边形ACBD的面积=AB•OC +AB•DE
………………………………7分
（说明：也可直接求直角梯形ACBD的面积为4）
(3)存在这样的点M……………………………………………………………………8分
∵ABC=ABD= ∴DBC=
∵MN轴于点N， ∴ANM=DBC =
在Rt△BOC中，OB=OC= 有BC=
在Rt△DBE中，BE=DE= 有BD=
设M点的横坐标为，则M
①点M在轴左侧时，则
(ⅰ) 当AMN CDB时，有
∵
即 解得：（舍去）
则
(ⅱ) 当AMN DCB时，有
即 解得（舍去） （舍去）…………10分
② 点M在轴右侧时，则
(ⅰ) 当AMN DCB时，有
∵
∴
解得（舍去）
∴
(ⅱ) 当AMN CDB时，有
即 解得：（舍去）
∴
∴M点的坐标为…………………………12分
36．（2010青海西宁）八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.
【答案】解：（1）方案（Ⅰ）不可行.缺少证明三角形全等的条件. ……………………………2分
（2）方案（Ⅱ）可行. ……………………………3分
证明：在△OPM和△OPN中
∴△OPM≌△OPN(SSS)
∴∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等) ……………………………5分
（3）当∠AOB是直角时，此方案可行. ……………………………6分
∵四边形内角和为360°，又若PM⊥OA,PN⊥OB, ∠OMP=∠ONP=90°, ∠MPN=90°,
∴∠AOB=90°
∵若PM⊥OA,PN⊥OB,
且PM=PN
∴OP为∠AOB的平分线.(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上)
当∠AOB不为直角时，此方案不可行. …………8分
37．（2010鄂尔多斯）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记用N点。
（1） 求N点、M点的坐标；
（2）将抛物线y=x2-36向右平移a个（0
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