2014年全国高考理科数学试题及答案-新课标1

2014年全国高考理科数学试题及答案-新课标1

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试 全国课标1理科数学 注意事项：‎ ‎1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.‎ ‎3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.‎ ‎4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1. 已知集合A={|}，B={|－2≤＜2＝，则=‎ ‎.[-2,-1] .[-1,2） .[-1,1] .[1,2）‎ ‎2. =‎ ‎. . . .‎ ‎3. 设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是 ‎.是偶函数 .||是奇函数 ‎.||是奇函数 .||是奇函数 ‎4. 已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为 ‎. .3 . .‎ ‎5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 ‎. . . .‎ ‎6. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为 ‎ ‎ ‎7. 执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=‎ ‎. . . .‎ ‎8. 设，，且，则 ‎. .‎ ‎. .‎ ‎9. 不等式组的解集记为.有下面四个命题：‎ ‎：，：,‎ ‎：，：.‎ 其中真命题是 ‎.， .， .， .，‎ ‎10. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与 的一个焦点，若，则=‎ ‎. . .3 .2‎ ‎11. 已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为 ‎.（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1）‎ ‎12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 ‎. . .6 .4‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。‎ ‎13. 的展开式中的系数为 .(用数字填写答案)‎ ‎14. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 .‎ ‎15. 已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为 .‎ ‎16. 已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17. (本小题满分12分)已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.‎ ‎18. （本小题满分12分）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.‎ ‎（i）利用该正态分布，求；‎ ‎（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求.‎ 附：≈12.2.‎ 若～，则=0.6826，=0.9544.‎ ‎19. （本小题满分12分）如图三棱锥中，侧面为菱形，.‎ ‎（Ⅰ） 证明：；‎ ‎（Ⅱ）若，，AB=Bc，求二面角的余弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.‎ ‎21.（本小题满分12分）设函数，曲线在点（1，处的切线为. (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：.‎ 请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE ‎（Ⅰ）证明：∠D=∠E； ‎ ‎（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.‎ ‎24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若，且.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.‎ 参考答案 一、选择题 ‎ ‎1—5 ADCAD  6—10 CDCBB  11. C  12. B ‎ 二、填空题 ‎13. -20 14. A   15. 16. ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17. (本小题满分12分) ‎ 解： ‎ ‎（Ⅰ）由题设，‎ 两式相减得，‎ 由于， ………………………………………6分 ‎（Ⅱ），而，解得 ，‎ 由（Ⅰ）知 令，解得。‎ 故，由此可得 是首项为1，公差为4的等差数列，；‎ 是首项为3，公差为4的等差数列，。‎ 所以，‎ 因此存在，使得为等差数列。…………………………………12分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为 ‎………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，，从而 ‎……………………9分 ‎（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的赶驴为0.6826，依题意知（100，0.6826），所以……………………………12分 ‎19. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）连接，交于点，连结，因为侧面为菱形，所以，且为及的中点。‎ 又，所以，由于，故，‎ 又，故……………………………………6分 ‎（Ⅱ）因为，且为的中点，所以，‎ 又因为，所以，故，从而两两互相垂直，‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 因为，所以为等边三角形，又，则 设是平面的法向量，则 即 所以可取 设是平面的法向量，则 同理可取，‎ 则 所以二面角的余弦值为……………………………………12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设，由条件知，，得，‎ 又，所以 故的方程为………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）当轴时不合题意，故设，，将代入得 当，即时，‎ 从而 又点到直线的距离，所以的面积 ‎……………………9分 设，则，‎ 因为，当且仅当，即时等号成立，且满足 所以当的面积最大时，的方程为 或……………………………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为，‎ 由题意可得 故………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，从而等价于 设函数，则，‎ 所以当时，；当时，‎ 故在单调递减，在单调递增，从而在的最小值为 ‎……………………………8分 设函数，则 所以，当时，；当时，，故在单调递增，在单调递减，从而在的最大值为 综上，当时，，即……………………………12分 ‎22.（本小题满分10分）‎ ‎（Ⅰ）证明：由题设得，A，B，C，D四点共圆，所以，‎ 由已知得，故............5分 ‎（Ⅱ）设BC的中点为N，连结，则由知，故在直线上 又不是的直径，为的中点，故，即 所以，故 又，故，由（Ⅰ）知，，所以为等边三角形 ‎……………………………………………………………………………………10分 ‎23.（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）曲线的参数方程为（为参数）‎ 直线的普通方程为…………………………………………5分 ‎（Ⅱ）曲线上任意一点到的距离为 则，其中为锐角，且 当时，取得最小值，最小值为………………………10分 ‎24. （本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）由，得，且当时等号成立 故，且当时等号成立 所以的最小值为…………………………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 由于，从而不存在，使得……………………………10分