中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义24 相似形（教师版）

中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义24 相似形（教师版）

专题 24 相似形 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 相似图形及比例线段 相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形. 相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似 多边形。 特征：对应角相等，对应边成比例。 比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 a:b=c:d，我 们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【基础题型】 1．（2019·上海中考模拟）如果 a：b＝3：2，且 b 是 a、c 的比例中项，那么 b：c 等于（ ） A．4：3 B．3：4 C．2：3 D．3：2 【答案】D 【详解】 解：∵a：b=3：2，b 是 a 和 c 的比例中项， 即 a：b=b：c， ∴b：c=3：2． 故选：D． 2．（2019·上海中考模拟）下列四条线段能成比例线段的是（ ） A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，2，3，3 D．2，3，4，5 【答案】C 【解析】 A 选项中，因为 1：1 2：3，所以 A 中的四条线段不是成比例线段； B 选项中，因为 1：2 3：4，所以 B 中的四条线段不是成比例线段； C 选项中，因为 2：2=3：3，所以 C 中的四条线段是成比例线段； D 选项中，因为 2：3 3：4，所以 D 中的四条线段不是成比例线段. 故选 C. 3．（2018·安徽中考模拟）若 䁕 ，则 䁕 等于 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据比例的基本性质得： 5x=3（x+y），即 2x=3y， 即得 䁕 ， 那么下列比例式中正确的是 交 AB 于 F， ࢜࢜hטט ， ࢜࢜thט ，中，D、E 分别在边 AB、AC 上 th 1．（2019·上海中考模拟）如图，在△ 考查题型一 利用平行线分线段成比例定理求线段长度 【考查题型汇总】 故选：A． 所以 2 2 6 8 4a b     ． ． 所以 ． 䁪 解得 aa   ， 得到： 4 143 所以由 ab  ． 3 所以 4 知3 4b a ， ǣ ǣ 解：由 a：b＝3：4 【详解】 【答案】A A．4 B．2 C．20 D．14 的值是（ ） 䁪 ，则 ，且 ǣ ǣ 5．（2019·四川中考真题）若 故选 D． D、两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故 D 选项符合要求， C、两个正方形形状相同，符合相似形的定义，故 C 选项不符合要求； B、两个等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故 B 选项不符合要求； A、两个不等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故 A 选项不符合要求； 【详解】 【答案】D A． B． C． D． 4．（2019·河北中考模拟）下列图案中花边的内外边缘（每个图形边缘等宽）所围成的图形不相似的是（ ） 故选 A． ．故选 D ，能得到 DE∥BC，故本选项符合题意； h t ט D．由 不能得到 DE∥BC，故本选项不合题意；， ט טh t t C．由 ，不能得到 DE∥BC，故本选项不合题意； h ט t B．由 ，不能得到 DE∥BC，故本选项不合题意； th ט t A．由 【详解】 h【答案】D t ט ．D ט טh t t C． h ט t B． th ט t A． 的是（ ） 2．（2019·上海中考模拟）如图，点 D、E 分别在△ABC 的边 AB、AC 上，下列条件中能够判定 DE∥BC 故选 C. ，故本选项错误. t t ט ∴，，∵AD≠DF t ט ∴， h ט ט ， h ט t D、∵EF∥CD，DE∥BC，∴ ，故本选项正确； th ט h טט ∴， h ט h טט ， h ט th ט ∴，C、∵EF∥CD，DE∥BC 故本选项错误；， ט ט t ט ∴，，∵AD≠DF t ט ט ∴， t hט ט ， hט ט ט ט ∴，B、∵EF∥CD，DE∥BC ，故本选项错误； th ט ט ט ∴，，∵CE≠AC th ט h ט ， hט ט ט ט ∴，A、∵EF∥CD，DE∥BC 【详解】 t【答案】C t ט ．D th ט h טט ．C ט ט t ט ．B th ט ט ט ．A  ，则 EC 的长是 4 3 DB 已知 AE=6， AD 5．（2018·浙江省宁波市鄞州实验中学中考模拟）如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，DE∥BC， 故选 A. . th טh 即， טhטt טh ∴ ， טt טh ∴ ， hט טt ∴ ， hט טt hט ט ， t hט ט ∴ ，∵DE∥BC，EF∥AB 【解析】 【答案】A A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5 且 AD∶DB＝3∶5，那么 CF∶CB 等于( ) 4．（2017·重庆中考模拟）如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别是边 AB，AC，BC 上的点，DE∥BC，EF∥AB， 所以 D 选项是正确的. . h ט 或 hט ט 即 , DE ∥ BD 时, h ט t 或 hט ט t 解：当 【详解】 【答案】D ＝ h ט ．D ＝ h ט ．C ＝ th ט ．B ＝ th ט ．A 件能够判定 DE∥BC 的是( ) 河北中考模拟）在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，如果 AD＝2，BD＝3，那么由下列条·2019）．3 ， h t ，即 h t h t ∴ ∵直线 a∥b∥c， ∴HF=GE=AD=4， 易得四边形 AGED、四边形 AHFD 为平行四边形， 作 AH∥n 分别交 b、c 于 G、H，如图， 【解析】 【答案】B D．不能确定 C．小于 B．大于 A．等于 的值应该（ ） טh טt 别交直线 a、b、c 于点 D、E、F，若 AB=2，AD=BC=4，则 1．（2018·浙江中考模拟）如图，已知直线 a∥b∥c，直线 m 分别交直线 a、b、c 于点 A、B、C，直线 n 分 考查题型二 作平行线构造成比例线段的方法 。故选 B。 EC EC 䁪 ，∴ DB AD 又∵AE=6， 。 DB AD EC AE 【解析】∵DE∥BC，∴ 【答案】B。 A．4.5 B．8 C. 10.5 D．14 ( )E 是 BC 的中点，连接 DE 交 AB 于点 F，则 AF：FB 的值为 3．（2019·山西中考模拟）如图，ΔABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，延长 CA 至点 D，使 AD＝AC，点 故选 D． ， ט ט = טh ט ∴ ，则 AE=4DF， = ט ט ∴ ，AG：GD=4：1∵ ， = ט ט ∴ ，∵DF∥AE DF， 则 CE=， = טh ט ∴ ，而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD ， th t = טh ט ∴ ∵DF∥CE 如图，过点 D 作 DF∥CA 交 BE 于 F， 【详解】 【答案】D A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5 2．（2018·广西中考真题）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ） 故选：B． ． ＜ טh טt ∴ ， h h ） h （ h h h t טh טt ∴ .判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似 判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 相似三角形的判定: 相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比 “相似于”。 相似图形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”，读作 相似图形的概念：形状相同的图形叫做相似图形。 知识点二 相似三角形 故选：A. ∴ AF：FB=1:2. h∵ AC=AD， tט ט ∴ ，∵BE=CE ， tט ט טt ， hט h ∴ 解：过点 AD 作 AG∥BC，与 DE 交于点 G． 【详解】 【答案】A D． C． B． A． 判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（五）：斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 相似三角形的性质： 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3.相似三角形的面积比等于相似比的平方． 相似三角形与实际应用： 关键：巧妙利用相似三角形性质，构建相似三角形求解。 【考查题型汇总】 ． ACB ∽△ ADE ∴△ ， ∠ ，且∠ AB AE AC AD ∵ 中， ACB 与△ ADE 解:在 【详解】 h【答案】A th ט ．D t ט th ט ．C h t ט ．B t ט h A． 相似的是（ ） ht 与△ ט 能判定 不平行．下列条件中， th 与 ט 上，且 h 、 t 的边 th 分别在 ט 、 2．（2019·上海中考模拟）如图，点 故选 D. 时，公共角不是夹角，不能推断△ADE∽△ABC；故本选项符合题意， th ט ＝ t D，当 时，△ADE∽△ABC(SAS)；故本选项不符合题意； t ט ＝ h C, 当 B，当∠ADE＝∠C 时，△ADE∽△ABC(AAA)；故本选项不符合题意； A，当∠AED＝∠B 时，△ADE∽△ABC(AAA)；故本选项不符合题意； 解： 【详解】 th【答案】D ט t D． t ט h A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． 个条件，不一定能使△ADE 与△ABC 相似，那么添加的这个条件是( ) 1．（2019·上海中考模拟）如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在△ABC 的边 AB、AC 上，如果添加下列某 考查题型三 相似三角形的判定方法 （ ），EF 与 AC 交于点 G，则是相似三角形共有 ∥ th ， h ∥ טט ∥ t 5．（2019·广西中考真题）如图， 故选 A. ，与△ABC 的各边对应成比例，所以两三角形相似； ,1, A 中三角形的各边长为： ，同理求得： , 设每个小正方形的边长为 1,则△ABC 的各边长分别为：2, 【解析】 【答案】A A． B． C． D． 则与△ABC 相似的三角形图形为（ ） 4．（2019·四川中考模拟）以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形， 故选 A． ， hט ט ， th ט ， t ∴ ∵BD=2AD， ， th ט h ט t ∴ ∴△ADE∽△ABC， ∵DE∥BC， 【解析】 【答案】B th ט ．D hט ．C hט ט ．B t A． （ ） 3．（2019·浙江中考模拟）如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，若 BD=2AD，则 故选:A． （ ）形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为 1．（2018·甘肃中考模拟）有一块直角边 AB=3cm，BC=4cm 的 Rt△ABC 的铁片，现要把它加工成一个正方 考查题型四 利用相似三角形的性质进行计算 综上所述，①，②都正确。故选 D。 。∴B1C1=B2C2。∴△A1B1C1≌△A2B2C2（ASA）。故②正确。 A2B2C2的周长 A1B1C1的周长 B2C2 ∴B1C1 ②∵∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2。 ∴B1C1=B2C2。∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS）。故①正确。 ①∵A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，且△A1B1C1 与△A2B2C2 的周长相等， 【解析】 【答案】D A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ） ②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2， ①若 A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2； 6．（2013·浙江中考真题）已知△A1B1C1，△A2B2C2 的周长相等，现有两个判断： ht故选：C． טh ， h ht ， טh h ， ht ט ， טh ט ， h ט ∴：ht共有 6 个组合分别为 ∼ טh ∽ h ∼ ט ∴ ∥ th ， h ∥ טט ∥ t ∵ ， ht ， טh ， h ， ט ：图中三角形有 【详解】 【答案】C A．3 对 B．5 对 C．6 对 D．8 对 【答案】C A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6 S 四边形 FCDE 为( ) 2．（2019·上海中考模拟）如图，已知▱ABCD 中，E 是边 AD 的中点，BE 交对角线 AC 于点 F，那么 S△AFE： 故选 D． ， 䁪 解得 x= ， 䁪 设 DE=x，则有： ． t t h ט ∴ ，∴△BDE∽△BAC ∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C， ∵DE∥AC， ． h tth ∴BP= AC•BP， AB•BC= ∵S△ABC= 试题解析：如图，过点 B 作 BP⊥AC，垂足为 P，BP 交 DE 于 Q． 【解析】 【答案】D 䁪 D． C． B． 䁪 A． ，∵点 F 是 BC 的中点 ∴ / /AD BC ， BC AD 3x  ， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ 3AD x ， ∵ : 1:3DE AD  ， 解：设 DE x ， 【详解】 【答案】D A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9 于点 G，则 :DEG CFGS S ＝（ ） 3．（2019·四川中考真题）如图▱ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 : 1:3DE AD  ，连结 EF 交 DC 故选：C． 所以 S△AFE：S 四边形 FCDE 为 1：5． ∴四边形 FCDE 面积为 5x， ∴△DEC 面积=△AEC 面积=3x． ∵E 为 AD 中点， 设△AEF 面积为 x，则△AEC 面积为 3x， ∴△FEC 面积是△AEF 面积的 2 倍． ． hט ט th ט ∴ ，解：连接 CE，∵AE∥BC，E 为 AD 中点 详解】】 ∴ 1 3 2 2CF BC x  ， ∵ / /AD BC ， ∴ DEG CFG ∽ ， ∴ 2 2 4 3 9 2 DEG CFG S DE x S CF x               V V ， 故选：D． 4．（2019·山东中考真题）如图，在 th 中， h ， 4BC  ， 为 th 边上的一点，且 h t ．若 h 的面积为 ，则 t 的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ∵ h t ，∠ h ∠ th ， ∴ h th ， ∴ h th h t ，即 th ， 解得， th 的面积为 ， ∴ t 的面积为： 䁪 ， 故选：C． 5．（2019·江苏中考真题）若 th ～ t h ，相似比为 ǣ ，则 th 与 t h 的周长的比为（ ） A． ǣ B． ǣ C． ǣ D． ǣ【答案】B 【详解】 th ～ t h ，相似比为 ǣ ， th 与 t h 的周长的比为 ǣ ． 故选：B． 6．（2018·黑龙江中考真题）两个相似三角形的最短边分别是 㮀࢞ 和 㮀࢞ ，它们的周长之差为 㮀࢞ ，那么 小三角形的周长为（ ）． A． 㮀࢞ B． 䁪㮀࢞ C． 㮀࢞ D． 㮀࢞【答案】C 【解析】 由题可得，两个相似三角形的周长比等于相似比，也就是两个最短边的比为 ǣ ，设两三角形周长分别为 cm ， cm ，则5 3 12x x  ，解得 䁪 ，所以3 18x  ，即小三角形周长为 㮀࢞ ．故选 h ． 7．（2019·云南中考模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE：EC=3：1，连接 AE 交 BD 于点 F，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ） A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 【答案】B 【详解】 ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴DC∥AB， ∴△DFE∽△BFA， ∵DE：EC=3：1， ∴DE：DC=3：4， ∴DE：AB=3：4， ∴S△DFE：S△BFA=9：16． 故选 B． 8．（2011·浙江中考真题）（11·台州）若两个相似三角形的面积之比为 1∶4，则它们的周长之比为（ ） A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶16 【答案】A 【解析】 试题分析：根据相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，利用面积之比是 1:4，求出 相似比，然后再根据相似三角形的周长之比等于相似比，即可求出它们的相似比. ， FG ，即 AD FC DG FG ， DGA Δ FGC Δ ， AD ∥ CD 四边形 ABCD 是平行四边形， (2) ； BF CF ， BC AD BF ， AD BF BE=AB，AE=AB+BE，∵ ， ט טt טt ∴ ， EAD Δ EBF Δ ， AD BC ， AD ∥ CD 四边形 ABCD 是平行四边形， (1) 【详解】 【答案】(1)证明见解析；(2)FG=2. ，求 FG 的长． ， th 䁪 若(2) ； טh טt (1)求证： 连接 DE，分别交 BC，AC 交于点 F，G． 1．（2019·湖南中考真题）如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，延长 AB 至点 E，使 BE AB ， 考查题型五 ；利用相似三角形的判定和性质求线段或角度 故选择 A. ∴两个相似三角形的周长之比是 1:2. ∴两个相似三角形的相似比是 1:2. 两个相似三角形的面积之比是 1:4，∵ ．∴DE=AE-AD=4.9 AE=16.9，∴ ， ט 䁪香 即 ， ט ט t ∴ ∵△ABM∽△EFA， AM=6.5， ∴AF= ∵F 是 AM 的中点， ∴AM= 2 212 5 =13，AD=12， （2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5， ∴△ABM∽△EFA； ∴∠B=∠AFE， ∴∠AFE=90°， 又∵EF⊥AM， ∴∠AMB=∠EAF， ∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC， （1）∵四边形 ABCD 是正方形， 【详解】 【答案】（1）见解析；（2）4.9 （2）若 AB=12，BM=5，求 DE 的长． （1）求证：△ABM∽△EFA； F，交 AD 的延长线于点 E，交 DC 于点 N． 2．（2016·山东中考模拟）如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，F 是 AM 的中点，EF⊥AM，垂足为 ． FG 解得， ．  CD BD 4．（2017·江苏中考模拟）如图，△ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 AD CD AF=∴ ט 䁪 ∴ h ט ט ∴ 䁪∵△ADF∽△DEC ט =在 Rt△ADE 中，DE 又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD ∴AD∥BC CD=AB=4 (2)解：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴△ADF∽△DEC ∴∠AFD=∠C ,∠AFE=∠B ∵∠AFE+∠AFD= ∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∴AD∥BC AB∥CD （1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形 【详解】 【答案】（1）见解析（2）AF=2 ,AE＝3,求 AF 的长. (2)若 AB＝4,AD＝3 (1)求证：△ADF∽△DEC 线段 DE 上一点，且∠AFE＝∠B． 辽宁中考模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，连接 DE，F 为·2019）．3 （1）求证：△ACD∽△CBD； （2）求∠ACB 的大小． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°． 【解析】 （1）∵CD 是边 AB 上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°， ∵ AD CD CD BD  ． ∴△ACD∽△CBD； （2）∵△ACD∽△CBD， ∴∠A=∠BCD， 在△ACD 中，∠ADC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠BCD+∠ACD=90°， 即∠ACB=90°． 5．（2013·山东中考真题）如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E 为 AB 的中点， （1）求证：AC2=AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若 AD=4，AB=6，求 的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） AC AF ． 【详解】 解：（1）证明：∵AC 平分∠DAB ∴∠DAC=∠CAB． ∵∠ADC=∠ACB=90° ∴△ADC∽△ACB． ∴ AD AC AC AB即 AC2=AB•AD． （2）证明：∵E 为 AB 的中点 ∴CE= AB=AE ∴∠EAC=∠ECA． ∵∠DAC=∠CAB ∴∠DAC=∠ECA ∴CE∥AD． （3）∵CE∥AD ∴△AFD∽△CFE ∴ AD CE AF CF ． ∵CE= AB ∴CE= ×6=3． ∵AD=4 ∴ AF CF ∴ AC AF ． 考查题型六 利用相似三角形测量河宽 1．（2019·吉林中考模拟）如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度 t 的长，他过 、 t 两点画两条相交 ，∴∠CBA＝∠EDA＝90° 【详解】∵CB⊥AD，ED⊥AD， 【答案】河宽为 17 米． 关测量信息，求河宽 AB． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得 BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相 点竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆 DE，使得点 E 与点 C、A 共线． 了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在 B 2．（2018·陕西中考真题）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择 米 香䁪 之间的距离为 t 、 所以，可以求出 米． t 香䁪 解得 ， t 香 ∴ ， ט t ט ∴ ， ט t ∴ 对顶角相等），） ט t ， ט t 解：∵ 【详解】 【答案】可以求出 A、B 之间的距离为 111.6 米. 的距离吗？若能，请你帮他算出来；若不能，请你帮他设计一个可行方案． 之间 t 、 米，他能求出 香 ט 若测得， ט t 使， ט 、 的射线，在射线上取两点 于点 为了测量舍利塔的高度，在地面上的 C 处垂直于地面竖立了高度为 2 米的标杆 CD，这时地面上的点 E，标 由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组 1．（2018·陕西省西安高新第一中学初中校区中考模拟）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位， 考查题型七 利用相似三角形测量物高 答：河的宽度为 18 米． ， 解得 ， 代入得 DE ， BD ， BC 又 ， DE BC AD AB ， ADE ∽ ABC ， DE࢜࢜BC 解：设宽度 AB 为 x 米， 【详解】 【答案】河的宽度为 18 米． 米，求河的宽度 AB 为多少米？ DE 米， BD BC 米， 经测量 DE࢜࢜BC香 ，点 A、C、E 也在一条直线上，且 AD ⊥ DE D、E、C，使点 A、B、D 在一条直线上，且 3．（2019·安徽中考模拟）为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点 A，在近岸分别取点 B、 即河宽为 17 米． ∴AB＝17， ， 香 t t香 ∴ 又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5， ， th ט t ∴ ∴∆ABC∽∆ADE， CAB＝∠EAD，∠∵ ？点 C，小明眼睛距地面的高度 AB＝1.2 米，那么该古城墙的高度是 果镜子 P 与古城墙的距离 PD＝12 米，镜子 P 与小明的距离 BP＝1.5 米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端 2．（2019·芜湖市第二十九中学中考模拟）如图是小明设计利用光线来测量某古城墙 CD 高度的示意图，如 答：舍利塔的高度 AB 为 55 米． ∴AB=55 米. ， 䁪 t ∴ ， ט hט t h 又 ∴AC=106 米， ， h ͻh 䁪 即 ， ט hט ט ט ， h 又 ， ט hט t h ט ט t ∵△EDC∽△EBA，△FHC∽△FBA, 【详解】 【答案】55 米 请你根据以上数据，计算舍利塔的高度 AB． 处的点 A 在同一直线上），这时测得 FG＝6 米，GC＝53 米． 时地面上的点 F，标杆的顶端点 H，舍利塔的塔尖点 B 正好在同一直线上（点 F，点 G，点 E，点 C 与塔底 杆的顶端点 D，舍利塔的塔尖点 B 正好在同一直线上，测得 EC＝4 米，将标杆 CD 向后平移到点 C 处，这 ．求路灯杆 AB 的高度 自己的影长 DF＝3m，沿 BD 方向从 D 后退 4 米到 G 处，测得自己的影长 GH＝5，如果小亮的身高为 1.7m， 4．（2019·西安交通大学附属中学中考模拟）如图，河对岸有一路灯杆 AB，在灯光下，小亮在点 D 处测得 答：树高为 5.5 米. ∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米） ∴CB＝4（m）， ， ht 香 香 ∴ ∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m， ， ht טט h ט ∴ ∴△DEF∽△DCB ∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D， 【详解】 【答案】树高为 5.5 米 测得边 DF 离地面的高度 AC=1.5m，CD=8m，求树高． 位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=0.4m，EF=0.2m， 3．（2019·广东中考模拟）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的 答：该古城墙的高度是 9.6m． 解得：PD＝9.6（米）． 即： ＝ ， ∴ ＝ ， ∴△ABP∽△CDP 解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP， 【详解】 答案】9.6 米】 【【解析 【答案】路灯的高 CD 的长约为 6.1 m. 立时的身高为 1.75 m，求路灯的高 CD 的长．(结果精确到 0.1 m) 续向前走，走到点 B 处时，李明直立时身高 BN 的影子恰好是线段 AB，并测得 AB＝1.25 m，已知李明直 图，当李明走到点 A 处时，张龙测得李明直立身高 AM 与其影子长 AE 正好相等，接着李明沿 AC 方向继 5．（2018·广西柳州八中中考模拟）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯 D 的高度．如 答：路灯杆 AB 高 5.1m． 解得 AB＝5.1． ， 䁪 ＝ t 香 ∴ 解得 BD＝6， ， ͻt ＝ t ∴ ， t ＝ טt ט ∴ ， t ＝ t ט 同理可得 ， טt ט ＝ t h ∴ ∴△CDF∽△ABF， ∴CD∥AB， ∵CD⊥BF，AB⊥BF， 【详解】 答案】路灯杆 AB 高 5.1m．】 设路灯的高 CD 为 xm， ∵CD⊥EC，BN⊥EC， ∴CD∥BN， ∴△ABN∽△ACD，∴ t h t h ， 同理，△EAM∽△ECD， 又∵EA＝MA，∵EC＝DC＝xm， ∴ 香 香 䁪香 ，解得 x＝6.125≈6.1． ∴路灯的高 CD 约为 6.1m． 6．（2018·陕西西北工业大学附属中学中考模拟）数学活动小组的小颖、小明和小华利用皮尺和自制的两个 直角三角板测量学校旗杆 MN 的高度，如示意图，△ABC 和△A′B′C′是他们自制的直角三角板，且 △ABC≌△A′B′C′，小颖和小明分别站在旗杆的左右两侧，小颖将△ABC 的直角边 AC 平行于地面，眼睛 通过斜边 AB 观察，一边观察一边走动，使得 A、B、M 共线，此时，小华测量小颖距离旗杆的距离 DN=19 米，小明将△A′B′C′的直角边 B′C′平行于地面，眼睛通过斜边 B′A′观察，一边观察一边走动，使得 B′、A′、 M 共线，此时，小华测量小明距离旗杆的距离 EN=5 米，经测量，小颖和小明的眼睛与地面的距离 AD=1 米，B′E=1.5 米，（他们的眼睛与直角三角板顶点 A，B′的距离均忽略不计），且 AD、MN、B′E 均与地面垂 直，请你根据测量的数据，计算旗杆 MN 的高度. 【答案】11 米 【详解】 解：过点 C 作 CE⊥MN 于 E，过点 C′作 C′F⊥MN 于 F， ，∴FG：FH=BG：DH，即 FG•DH=FH•BG ∵BA⊥PC，CD⊥PC，∴AB∥CD， ∴BG=4.4m，DH=6.4m． ∵AB=6m，CD=8m，小强的眼睛与地面的距离为 1.6m， 设 FG=x 米．那么 FH=x+GH=x+AC=x+4（米）． 【解析】 【答案】前进 11.2 米时就恰好能看到树 CD 的树顶 D. 1.6m，当小强前进多少米时，就恰好不能看到 CD 的树顶 D? 部间的距离 AC=4m，小强正在距树 AB 的 20m 的点 P 处从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为 1．（2018·陕西省西安高新逸翠园学校中考模拟）如图，两棵树的高度分别为 AB=6m，CD=8m，两树的根 考查题型八 利用相似三角形解决盲区问题 香 答：旗杆 MN 的高度约为 11 米． ͻ טt ט ∴ט ט 香 טt ט ∵ ， ͻ ∴MF＝ 香ט ט ͻ ∴ ， טt ט ט ט ∴ ，∴△AMF∽△MB′F ∵∠AEM＝∠B′FM＝90°， ∴∠MAE＝∠B′MF， ∵△ABC≌△A′B′C′， 则 EF＝B′E−AD＝1.5−1＝0.5（m），AE＝DN＝19，B′F＝EN＝5， ∴x×6.4=（x+4）×4.4， 解得：x=8.8（米），20﹣8.8=11.2 米． 因此前进 11.2 米时就恰好能看到树 CD 的树顶 D． 考查题型九 利用相似三角形解决其它实际问题 1．（2018·河北中考模拟）一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边 BC＝12 cm，高 AD＝8 cm，把它加工成 矩形零件如图，要使矩形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上，且矩形的长与宽的比为 3∶2， 求这个矩形零件的边长． 【答案】个矩形零件的长为 6 cm，宽为 4 cm 或长为 cm，宽为 cm. 【解析】 ∵四边形 PQMN 是矩形， ∴BC∥PQ， ∴△APQ∽△ABC， ∴ th ， 由于矩形长与宽的比为 3：2， ∴分两种情况： ①若 PQ 为长，PN 为宽， 设 PQ=3k，PN=2k， 则 䁪 ， 解得：k=2， ∴PQ=6cm，PN=4cm； ②PN 为 6，PQ 为宽， 设 PN=3k，PQ=2k， 则 䁪 ， 解得：k= ， x x 120 80 ∴ 80  BC AD ∴ EF AK ∵AD⊥BC, , th טט ∴ ,∵EF// BC (2)解：设正方形零件的边长为 xmm，则 KD=EF=xmm, AK= (80-x) mm， ; th טט ∴ ∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C ∴ BC// EF, (1)证明：∵四边形 EGFH 为正方形， 【详解】 【答案】（1）见解析；（2）正方形零件的边长为 48mm (2)求这个正方形零件的边长; ; thטט ：(1)求证 形零件如图 1,使正方形的一边在 BC 上,其余两个顶点分别在 AB,AC 上. 2．（2018·陕西初三期末）一块材料的形状是锐角三角形 ABC,边 BC=120mm,高 4D=80mm, .把它加工成正方 cm． cm，宽为 综上所述：矩形的长为 6cm，宽为 4cm；或长为 cm； cm，PQ= PN=∴ 解得 x=48. 答：正方形零件的边长为 48mm. 考查题型十 利用相似三角形解决动态几何问题 1．（2017·天津中考模拟）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点 P 从点 A 出发， 沿 AC 向点 C 方向运动，动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CB 也向点 B 方向运动．如果点 P 的速度是 4cm/秒， 点 Q 的速度是 2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为 t 秒． （1）用含 t 的代数式表示 Rt△CPQ 的面积 S； （2）当 t＝3 秒时，P、Q 两点之间的距离是多少？ （3）当 t 为多少秒时，以点 C、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 【答案】 （ t- ） cm ； 㮀࢞ ； 秒或 秒时，以点 h 、 、 为顶点的三角形与 △ th 相似． 【详解】 （1）由题意得：AP=4t，CQ=2t，则 CP=20﹣4t，因此 Rt△CPQ 的面积为 S= CP×CQ= （ 䁪 ） 䁪 （0≤t≤5）； （2）由题意得：AP=4t，CQ=2t，则 CP=20﹣4t，当 t=3 秒时，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm． 在 Rt△CPQ 中，由勾股定理得：PQ= h h 䁪 㮀࢞ ； （3）由题意得：AP=4t，CQ=2t，则 CP=20﹣4t． 分两种情况讨论： ①当 Rt△CPQ∽Rt△CAB 时， h h h ht ，即 䁪 ，解得：t=3 秒； ②当 Rt△CPQ∽Rt△CBA 时， h ht h h ，即 䁪 ，解得：t= 秒． 因此 t=3 秒或 t= 秒时，以点 C、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似． 知识点三 位似 位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的 两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意： 1.位似图形是相似图形的一种特殊形式。 2.位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点，位似图形的对应边互相平行或者共线。 位似中心的位置：形内、形外、形上。 画位似图形的步骤： 1.确定位似中心. 2.确定原图形的关键点. 3.确定位似比. 4.根据对应点所在直线经过位似中心且到位似中心的距离之比等于位似比，作出关键点的对应点，再按照 原图的顺序连接各点 ( 对应点都在位似中心同侧，或两侧 ) . 在直角坐标系中的位似图形坐标关系：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形的 位似图形，使它与原图形的相似比为 k，若原图形上点的坐标为(x，y)，则位似图形上与它对应的点的坐标 为(kx，ky)或(-kx，-ky). 平移、轴对称、旋转、位似的区别： 1.平移：和原图形一模一样 （和原图形全等且能与原图形重合） 2.轴对称：面积和原图形一样 也是全等，和平移的不同点就是轴对称之后的图形不能与原图形重合，虽然 它们全等） 3.旋转：面积和原图形一样，也是全等，和轴对称的不同点是轴对称只有一个和原图形轴对称的图形，而 旋转可以旋转出无数个。 4.位似：位似出的图形只和原图形的角相等 边就不一定相等了。 【考查题型汇总】 考查题型十一 识别位似图形和位似中心 1．（2018·四川中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A1B1C1 是以点 P 为位似中心的位似图形， 且顶点都在格点上，则点 P 的坐标为（ ） A．（﹣4，﹣3） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣3，﹣3） D．（﹣4，﹣4） 【答案】A 【详解】 如图，点 P 的坐标为（-4，-3）． 故选 A． 2．（2018·河北中考模拟）如图，正方形 OEFG 和正方形 ABCD 是位似图形，且点 F 与点 C 是一对对应点， 点 F 的坐标是（1，1），点 C 的坐标是（4，2），则它们的位似中心的坐标是（ ） A．（0，0） B．（－1，0） C．（－2，0） D．（－3，0） 【答案】C 【解析】 ∵点 F 与点 C 是一对对应点，可知两个位似图形在位似中心同旁，位似中心就是 CF 与 x 轴的交点， 设直线 CF 解析式为 y=kx+b， 将 C（4，2），F（1，1）代入， 得 ， 解得 ， 即 y= x+ ， 令 y=0 得 x=﹣2， ∴O′坐标是（﹣2，0）； 故选 C． 3．（2015·四川中考真题）如图，△OAB 与△OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2，∠OCD=90°， CO=CD．若 B（1，0），则点 C 的坐标为（ ） A．（1，2） B．（1，1） C．（ ， ） D．（2，1） 【答案】B 【详解】 ∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰 Rt△OAB 与等腰 Rt△OCD 是位似图形，点 B 的坐标为(1， 0)， ∴BO=1，则 AO=AB=2 ， ∴A( ， )， ∵等腰 Rt△OAB 与等腰 Rt△OCD 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1:2， ∴点 C 的坐标为：(1，1). 故选 B. 4．（2018·河北中考模拟）如图， th 是 th 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的，若 th 的面 积与 th 的面积比是 4：9，则 t ：OB 为 A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9 【答案】A 【解析】 由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC， ∴△A′B′C′∽△ABC． ∵△A'B'C'与△ABC 的面积的比 4：9， ∴△A'B'C'与△ABC 的相似比为 2：3， ∴OB'：OB=2：3. 故选：A． 5．（2019·甘肃中考模拟） 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（1，3）、B（3，0），以原点为位似中 心，将线段 AB 放大得到线段 CD，若点 C 的坐标为（6，0），则点 D 的坐标为（ ） A．（3，6） B．（2，4.5） C．（2，6） D．（1.5，4.5） 【答案】C 【详解】 由题意得，△OAB 与△ODC 为位似图形， ∴△OAB∽△ODC， 由题意得，OB＝3，OC＝6， ∴△OAB 与△ODC 的相似比为 1：2， ∴点 D 的坐标为（1×2，3×2），即（2，6）， 故选 C． 6．（2019·陕西中考模拟）如图，在平面直角坐标中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心 的位似图形，且相似比为 ，点 A，B，E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 6，则 C 点坐标为（ ） A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2） 【答案】A 【详解】 ∵正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为 ， ∴ t = ， ∵BG=6， ∴AD=BC=2， ∵AD∥BG， ∴△OAD∽△OBG， ∴ OA OB = ， ∴ = ， 解得：OA=1，∴OB=3， ∴C 点坐标为：（3，2）， 故选 A． 7．（2018·广西中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（―3，6）、B（―9，一 3），以原点 O 为 位似中心，相似比为 ，把△ABO 缩小，则点 A 的对应点 A′的坐标是（ ） A．（―1，2） B．（―9，18） C．（―9，18）或（9，―18） D．（―1，2）或（1，―2） 【答案】D 【详解】 试题分析：方法一：∵△ABO 和△A′B′O 关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O 且 OA OA ＝ .∴ A E AD  ＝ E OD O ＝ .∴A′E＝ AD＝2，OE＝ OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得 A′′（1,―2）. 方法二：∵点 A（―3，6）且相似比为 ，∴点 A 的对应点 A′的坐标是（―3× ，6× ），∴A′（－1,2）. ∵点 A′′和点 A′（－1,2）关于原点 O 对称，∴A′′（1,―2）. 故答案选 D. 考查题型十二 位似图形的应用 1．（2013·浙江中考模拟）如图，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点 O 是位似中心，D，E，F 分 别是 OA，OB，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ） A． ǣ B． ǣ C． ǣ D． ǣ䁪【答案】B 【解析】 由题意可知△DEF 与△ABC 的位似比为 1︰2，∴其面积比是 1︰4，故选 B． 2．（2019·河北中考模拟）如图，以点 O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A′B′C′，已知 OB=3OB′，则 △A′B′C′与△ABC 的面积比为（ ） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9 【答案】D 【解析】 解：∵OB=3OB′， ∴OB′：OB=1：3， ∵以点 O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A′B′C′， ∴△A′B′C′∽△ABC， ∴A′B′：AB＝OB′：OB=1：3， ∴ th th ͻ . 故选 D 3．（2016·天津中考模拟）如图，在▱ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，若 EF：AF=2：5，则 S△DEF：S 四边形 EFBC 为（ ） （ ），则四边形 与四边形 的面积比为 5．（2017·四川中考真题）如图，四边形 和 是以点 为位似中心的位似图形，若 ∴Ｓ△ＡＯＤ︰Ｓ△ＢＯＣ=１︰９ ∵ＡＤ＝１，ＢＣ＝３ ∵ＡＤ∥ＢＣ, ∴Ｓ△ＡＯＤ与Ｓ△ＢＯＣ相似， 【解析】 【答案】D A．1：2 B．1：3 C．4：9 D．1：9 S△BOC 等于（ ） 4．（2012·广东中考模拟）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC、BD 交于点 O，AD=1，BC=3，则 S△AOD： 故选 C． DEF：S四边形 EFBC=4：31． S，所以S S﹣S= DEF= BDC﹣S S 因此可得S四边形 EFBC S， DBC= S ABD S，再由四边形 ABCD 为平行四边形，可得S S= S+ ABF= S ADF S ABD S S，所以 ADF= S，S ABF= DEF=S，则S 设S ， ט טט ， טt טט 间的关系 由此求得△DEF 和△AFE、△ABF 的面积之， ט טט טt ט 由平行四边形的性质可证明△DEF∽△BAF，可得 【解析】 【答案】C A．2：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 A．4：9 B．2：5 C．2：3 D． 【答案】A 【解析】 根据位似变换的性质，可知 ，然后根据相似图形的面积比等于相似比的平方，可知其面积 比为 4:9. 故选：A. 6．（2019·广西中考真题）如图， th 与 th 是以坐标原点 为位似中心的位似图形，若点 t ， h 䁪 ， t 䁪 则 th 的面积为__． 【答案】18． 【详解】 ∵ th 与 th 是以坐标原点 为位似中心的位似图形， 若点 t ， t 䁪 ， ∴位似比为： 䁪 ， ∵ ， h 䁪 ， ∴ h ， ∴ th 的面积为： 䁪 䁪 䁪 䁪 䁪 䁪 ， 故答案为：18．