中考数学专题二次函数的图象和性质

中考数学专题二次函数的图象和性质

‎2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）‎ 专题21：二次函数的图象和性质 一、选择题 ‎1. （2012重庆市4分）已知二次函数的图象如图所示对称轴为。下列结论中，正确的是【 】‎ ‎　A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系。‎ ‎【分析】A、∵二次函数的图象开口向上，∴＞0。‎ ‎∵二次函数的图象与轴交于负半轴，∴＜0。‎ ‎∵二次函数的图象对称轴在轴左侧，∴﹣＜0。∴＞0。∴。故本选项错误。‎ B、∵二次函数的图象对称轴：，∴，。故本选项错误。‎ C、从图象可知，当时，。故本选项错误。‎ D、∵二次函数的图象对称轴为，与轴的一个交点的取值范围为1＞1，‎ ‎∴二次函数的图象与轴的另一个交点的取值范围为2＜﹣2。‎ ‎∴当时，，即。故本选项正确。‎ 故选D。‎ ‎2. （2012浙江衢州3分）已知二次函数y=﹣x2﹣7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是【 】‎ ‎　　A．y1＞y2＞y3　　B．y1＜y2＜y3　　C．y2＞y3＞y1　　D．y2＜y3＜y1‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征。‎ ‎【分析】根据x1、x2、x3与对称轴的大小关系，判断y1、y2、y3的大小关系：‎ ‎∵二次函数，∴此函数的对称轴为：。‎ ‎∵＜0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0，‎ ‎∴对称轴右侧y随x的增大而减小。∴y1＞y2＞y3。故选A。‎ ‎3. （2012浙江义乌3分）如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：‎ ‎①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越小；‎ ‎③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是或．‎ 其中正确的是【 】‎ ‎　　A．①②　　B．①④　　C．②③　　D．③④‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】二次函数的图象和性质。‎ ‎【分析】①∵当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1。∴此判断错误。‎ ‎②∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，‎ 若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M。‎ ‎∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大。∴此判断错误。‎ ‎③∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），‎ 当x=0时，M=2，抛物线y1=﹣2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；∴此判断正确。‎ ‎④ ∵使得M=1时，‎ 若y1=﹣2x2+2=1，解得：x1=，x2=﹣；‎ 若y2=2x+2=1，解得：x=﹣。‎ 由图象可得出：当x=＞0，此时对应y1=M。‎ ‎∵抛物线y1=﹣2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（﹣1，0），‎ ‎∴当﹣1＜x＜0，此时对应y2=M，‎ ‎ ∴M=1时，x=或x=﹣。∴此判断正确。‎ 因此正确的有：③④。故选D。‎ ‎4. （2012江苏常州2分）已知二次函数，当自变量x分别取，3，0时，对应的值分别为，则的大小关系正确的是【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】 B。‎ ‎【考点】二次函数的图象和性质。‎ ‎【分析】由二次函数知，‎ 它的图象开口向上，对称轴为x=2，如图所示。‎ 根据二次函数的对称性，x=3和x=1时，y值相等。‎ 由于二次函数在对称轴x=2左侧，y随x的增大而减小，而0＜1＜，因此，。故选B。‎ ‎5. （2012江苏镇江3分）关于x的二次函数，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】二次函数的性质。‎ ‎【分析】∵，‎ ‎∴它的对称轴为。‎ ‎ 又∵对称轴在y轴的右侧，‎ ‎∴。故选D。‎ ‎5. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有【 】‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系。‎ ‎【分析】根据图象可得：a＞0，c＞0，对称轴：。‎ ‎①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴是x=1，‎ ‎∴。∴b+2a=0。故命题①错误。‎ ‎②∵a＞0，，∴b＜0。‎ ‎ 又c＞0，∴abc＜0。故命题②正确。‎ ‎③∵b+2a=0，∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c。‎ ‎∵a﹣b+c=0，∴4a﹣4b+4c=0。∴﹣4b+4c=﹣4a。‎ ‎∵a＞0，∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a＜0。故命题③正确。‎ ‎④根据图示知，当x=4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0。‎ 由①知，b=﹣2a，∴8a+c＞0。故命题④正确。‎ ‎∴正确的命题为：①②③三个。故选A。‎ ‎6. （2012湖北宜昌3分）已知抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【 】‎ A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点与对应的一元二次方程的解之间的关系，二次函数的性质。1419956‎ ‎【分析】∵抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点，∴△=4﹣4a＜0，解得：a＞1。‎ ‎∴抛物线的开口向上。‎ 又∵b=﹣2，∴抛物线的对称轴在y轴的右侧。‎ ‎∴抛物线的顶点在第一象限。故选D。‎ ‎7. （2012湖南郴州3分）抛物线的顶点坐标是【 】‎ A．（－1，2） B．（－1，－2） C．（1，－2） D．（1，2）‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】二次函数的性质。‎ ‎【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标：‎ ‎∵顶点式y=a（x－h）2＋k，顶点坐标是（h，k），‎ ‎∴抛物线的顶点坐标是（1，2）。故选D。‎ ‎8. （2012湖南衡阳3分）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：‎ ‎①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0‎ 其中正确的个数为【 】‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系。‎ ‎【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号：‎ ‎①∵图象开口向下，∴a＜0。说法错误。‎ ‎②∵对称轴为x=，∴，即2a+b=0。说法正确。‎ ‎③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0。说法正确。‎ ‎④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0。说法正确。‎ ‎∴说法正确的有3个。故选C。　‎ ‎9. （2012湖南株洲3分）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是【 】‎ ‎　　A．（﹣3，0）　　B．（﹣2，0）　　C．x=﹣3　　D．x=﹣2‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性。‎ ‎【分析】设抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0），‎ ‎∵抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，‎ ‎∴=﹣1，解得b=﹣3。∴B（﹣3，0）。故选A。‎ ‎10. （2012四川乐山3分）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是【 】‎ ‎　　A．0＜t＜1　　B．0＜t＜2　　C．1＜t＜2　　D．﹣1＜t＜1‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系。‎ ‎【分析】∵二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点（﹣1，0），‎ ‎∴a﹣b+1=0，a＜0，b＞0，‎ ‎∵由a=b﹣1＜0得b＜1，∴0＜b＜1①，‎ ‎∵由b=a+1＞0得a＞﹣1，∴﹣1＜a＜0②。‎ ‎∴由①②得：﹣1＜a+b＜1。∴0＜a+b+1＜2，即0＜t＜2。故选B。‎ ‎11. （2012四川广元3分） 若二次函数（a，b为常数）的图象如图，则a的值为 ‎【 】‎ A. 1 B. C. D. -2‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征 ‎【分析】由图可知，函数图象开口向下，∴a＜0，‎ 又∵函数图象经过坐标原点（0，0），∴a2－2=0，解得a1= （舍去），a2=－。故选C。‎ ‎12. （2012四川德阳3分）设二次函数，当时，总有，当时，总有，‎ 那么c的取值范围是【 】‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】二次函数的性质。‎ ‎【分析】∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，‎ ‎∴当x=1时，y=0，即1+b+c=0①。‎ ‎∵当1≤x≤3时，总有y≤0，‎ ‎∴当x=3时，y=9+3b+c≤0②。‎ ‎①②联立解得：c≥3。故选B。‎ ‎13. （2012四川巴中3分） 对于二次函数，下列说法正确的是【 】‎ A. 图象的开口向下 B. 当x>1时，y随x的增大而减小 C. 当x<1时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x=－1‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】二次函数的性质。‎ ‎【分析】把二次函数化为顶点式的形式，根据二次函数的性质进行解答：‎ 二次函数，‎ A、∵此二次函数中a=2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误；‎ B、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＞1时，y随x的增 大而增大，故本选项错误；‎ C、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＜1时，y随x的增 大而减小，故本选项正确；‎ D、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x=1，故本选项错误。‎ 故选C。‎ ‎14. （2012辽宁鞍山3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论是【 】‎ A．①④ B．①③ C．②④ D．①②‎ ‎15. （2012山东滨州3分）抛物线 与坐标轴的交点个数是【 】‎ ‎　　A．3　　B．2　　C．1　　D．0‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】抛物线与轴的交点，解一元一次、二次方程。‎ ‎【分析】∵抛物线解析式，‎ 令，解得：，∴抛物线与轴的交点为（0，4），‎ 令，得到， ‎ ‎∴抛物线与轴的交点分别为（，0），（1，0）。‎ 综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3。故选A。‎ ‎16. （2012山东济南3分）如图，二次函数的图象经过（－2，－1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是【 】‎ A．y的最大值小于0 　　　　 B．当x=0时，y的值大于1 ‎ C．当x=－1时，y的值大于1　 D．当x=－3时，y的值小于0 ‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】二次函数的图象和性质。‎ ‎【分析】根据图象的对称轴的位置、增减性及开口方向直接作答：由图象知，‎ A、点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；‎ B、当x=0时，y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y轴的交点在（1，1）点的左边，‎ 故y＜1，故本选项错误；‎ C、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y随x的增大而增大，∵－1＜1，∴x=－1时，y 的值小于x=1时，y的值1，即当x=－1时，y的值小于1；故本选项错误；‎ D、当x=－3时，函数图象上的点在点（－2，－1）的左边，所以y的值小于0；故本选项正确。‎ 故选D。‎ ‎17. （2012山东日照4分）二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b2－4ac>0；② 2a＋b<0；③ 4a－2b＋c=0；④ a︰b︰c= －1︰2︰3.其中正确的是【 】‎ ‎(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，。‎ ‎【分析】根据二次函数图象和性质分别作出判断：‎ ‎∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴对应的一元二次方程ax2＋bx＋c 有两个不相等的实数根。‎ ‎∴b2－4ac＞0。选项①正确。‎ 又∵对称轴为直线x=1，即，∴2a＋b=0。选项②错误。‎ ‎∵由图象知，x=－2对应的函数值为负数，∴当x=－2时，y=4a－2b＋c＜0。选项 ‎③错误。‎ ‎∵图象知，x=－1对应的函数值为0，∴当x=-1时，y=a＋b＋c=0。‎ 联立2a＋b=0和y=a＋b＋c=0可得：b=－2a，c=－3a。‎ ‎∴a：b：c=a：（－2a）：（－3a）=－1：2：3。选项④正确。‎ 综上所述，正确的选项有：①④。故选D。‎ ‎18. （2012山东泰安3分）二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最大值为【 】‎ ‎　　A．　　B．3　　C．　　D．9‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】抛物线与轴的交点。‎ ‎【分析】∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，‎ ‎∴＞0，，即。‎ ‎∵一元二次方程有实数根，‎ ‎∴△=，即，即，解得。‎ ‎∴的最大值为3。故选B。‎ ‎19. （2012山东泰安3分）设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为【 】‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎【答案】 A。‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征。‎ ‎【分析】∵函数的解析式是，如右图，‎ ‎∴对称轴是。‎ ‎∴点A关于对称轴的点A′是。，‎ 那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小，‎ ‎∴于是。故选A。‎ ‎20. （2012山东威海3分）已知二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是【 】‎ A.abc＞0 B.3a＞2b C.m（am＋b）≤a－b D.4a－2b＋c＜0‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】二次函数的图象和性质，不等式的性质。‎ ‎【分析】∵二次函数的图象的开口向下，对称轴为x=－1，与y轴的交点在x轴上方，‎ ‎ ∴a＜0，c＞0，且，即b=2a＜0。‎ ‎ ∴abc＞0。结论A正确。‎ ‎ ∵3a－2b=3a－4a=－a＞0，∴3a＞2b。结论B正确。‎ ‎ ∵.，‎ ‎ ∴m（am＋b）≤a－b。结论C正确。‎ ‎ 从图象可知，当x=－2时，y＞0，即4a－2b＋c＞0。结论D错误。‎ ‎ 故选D。‎ ‎21. （2012山东烟台3分）已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有【 】‎ ‎　　A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】二次函数的性质。‎ ‎【分析】结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可：‎ ‎①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本说法错误；‎ ‎②图象的对称轴为直线x=3，故本说法错误；‎ ‎③其图象顶点坐标为（3，1），故本说法错误；‎ ‎④当x＜3时，y随x的增大而减小，故本说法正确。‎ 综上所述，说法正确的有④共1个。故选A。‎ ‎22. （2012山东枣庄3分）抛物线经过点（2，4），则代数式的值为【 】‎ A．3 B．9 C． D． ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。‎ ‎【分析】∵抛物线经过点（2，4），∴，即。‎ ‎ ∴。故选C。‎ ‎23. （2012河北省3分）如图，抛物线y1=a（x＋2）2－3与y2=（x－3）2＋1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：‎ ‎①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2－y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是【 】‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程。‎ ‎【分析】∵（x－3）2≥0，∴y2=（x－3）2＋1＞0，即无论x取何值，y2的值总是正数。故结论①正确。‎ ‎ ∵ 两抛物线交于点A（1，3），∴3=a（1＋2）2－3，解得a=≠1。故结论②错误。‎ ‎【至此即可判断D正确】‎ 当x=0时，y2－y1=[（0－3）2＋1]－[（0＋2）2－3]= 。故结论③错误。‎ 解3=（x＋2）2－3得x=1或x=－5，∴B（1，－5）。∴AB=6，2AB=12。‎ 解3=（x－3）2＋1得x=1或x=5，∴B（1， 5）。∴BC=4，3BC=12。‎ ‎∴2AB=3AC。故结论④正确。‎ 因此，正确结论是①④。故选D。‎ ‎24. （2012甘肃白银3分）二次函数的图象如图所示，则函数值时x的取值范围是【 】‎ A． B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．或x＞3‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】二次函数的图象 ‎【分析】根据y＜0，则函数图象在x轴的下方，所以找出函数图象在x轴下方的x的取值范围即可：‎ 由图象可知，当－1＜x＜3时，函数图象在x轴的下方，y＜0。故选C。‎ ‎25. （2012甘肃兰州4分）抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是【 】‎ A．直线 B．直线 C．y轴 D．直线x＝2‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】二次函数的性质。‎ ‎【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴：‎ ‎∵抛物线y＝－2x2＋1的顶点坐标为(0，1)，∴对称轴是直线x＝0(y轴)。故选C。‎ ‎26. （2012甘肃兰州4分）已知二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值，则a，b 的大小关系为【 】‎ A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】二次函数的最值。‎ ‎【分析】∵二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值，∴a＞0。‎ ‎∵无论b为何值，此函数均有最小值，∴a、b的大小无法确定。故选D。‎ ‎27. （2012青海西宁3分）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(－1，1)、(2，－1)．下列关于这个 二次函数的叙述正确的是【 】‎ A．当x＝0时，y的值大于1 B．当x＝3时，y的值小于0‎ C．当x＝1时，y的值大于1 D．y的最大值小于0‎ ‎28. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠O)的图象如图所示，现有下列结论：①abc>0 ②b2－4ac<0 ⑤c<4b ④a＋b>0，则其中正确结论的个数是【 】‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系。‎ ‎【分析】由抛物线的开口向下，得到a＜0，‎ ‎∵＞0，∴b＞0。‎ 又∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0。‎ ‎∴abc＜0。结论①错误。‎ 又∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2－4ac＞0。结论②错误。‎ 又∵对称轴为直线x=1，∴，即b=－2a。结论④正确。‎ ‎∵当x=－2时，对应的函数值y＜0，‎ ‎∴4a－2b+c＜0，即－2b－2b+c＜0，即c＜＜4b。结论③正确。‎ ‎∴其中正确的结论有③④。故选B。‎ ‎29. （2012黑龙江牡丹江3分）抛物线与x轴的交点坐标是(－l，0)和(3，0)，则这条抛物线的对称轴是【 】．‎ A．直线x=－1 8．直线x=0 C．直线x=1 D．直线x= 3‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。‎ ‎【分析】由抛物线与x轴的交点坐标是(－l，0)和(3，0)，根据二次函数的性质，得这条抛物线的对称轴是x＝。故选C。‎ 二、填空题 ‎1. （2012广东深圳3分）二次函数的最小值是 ▲ ．‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】二次函数的性质。‎ ‎【分析】∵，∴当时，函数有最小值5。‎ ‎2. （2012江苏苏州3分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x－1）2+1的图象上，若 x1＞x2＞1，则y1 ▲ y2.‎ ‎【答案】>。‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质。‎ ‎【分析】由二次函数y=（x－1）2+1知，其对称轴为x=1。‎ ‎∵x1＞x2＞1，∴两点均在对称轴的右侧。‎ ‎∵此函数图象开口向上，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大。‎ ‎∵x1＞x2＞1，∴y1＞y2。‎ ‎3. （2012江苏无锡2分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为　 ▲ 　．‎ ‎【答案】y=﹣x2+4x﹣3。‎ ‎【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1。‎ ‎ 又∵抛物线y=a（x﹣2）2+1经过点B（1，0），∴（1，0）满足y=a（x﹣2）2+1。‎ ‎ ∴将点B（1，0）代入y=a（x﹣2）2得，0=a（1﹣2）2即a=﹣1。‎ ‎ ∴抛物线的函数关系式为y=﹣（x﹣2）2+1，即y=﹣x2+4x﹣3。‎ ‎4. （2012湖北咸宁3分）对于二次函数，有下列说法：‎ ‎①它的图象与轴有两个公共点；‎ ‎②如果当≤1时随的增大而减小，则；‎ ‎③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；‎ ‎④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．‎ 其中正确的说法是 ▲ ．（把你认为正确说法的序号都填上）‎ ‎【答案】①④。‎ ‎【考点】二次函数的性质，一元二次方程的判别式，平移的性质。‎ ‎【分析】由得，‎ ‎ ∴方程有两不相等的实数根，即二次函数 的图象与轴有两个公共点。故说法①正确。‎ ‎ ∵的对称轴为，而当≤1时随的增大而减小，‎ ‎ ∴。故说法②错误。‎ ‎ ∵ ，‎ ‎∴将它的图象向左平移3个单位后得。‎ ‎∵经过原点，∴，解得。故说法③错误。‎ ‎ ∵由时的函数值与时的函数值相等，得，‎ ‎ 解得，‎ ‎ ∴当时的函数值为。故说法④正确。‎ ‎ 综上所述，正确的说法是①④。‎ ‎5. （2012湖北孝感3分）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如 图所示．下列说法正确的是 ▲ (填正确结论的序号)．‎ ‎①abc＜0；②a－b＋c＜0；③3a＋c＜0；④当－1＜x＜3时，y＞0．‎ ‎【答案】①②③。‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系。‎ ‎【分析】由二次函数的图象可得：a＞0，b＜0，c＞0，对称轴x=1，则再结合图象判断正确的选项即可：‎ ‎ 由a＞0，b＜0，c＞0得abc＜0，故结论①正确。‎ ‎ ∵由二次函数的图象可得x=2.5时，y=0，对称轴x=1，∴x=－0.5时，y=0。‎ ‎ ∴x=－1时，y＜0，即a－b＋c＜0。故结论②正确。‎ ‎ ∵二次函数的图象的对称轴为x=1，即，∴。‎ ‎ 代入②a－b＋c＜0得3a＋c＜0。故结论③正确。‎ ‎∵由二次函数的图象和②可得，当－0.5＜x＜2.5时，y＞0；当x＜－0.5或 x＞2.5时，y＜0。‎ ‎∴当－1＜x＜3时，y＞0不正确。故结论④错误。‎ 综上所述，说法正确的是①②③。‎ ‎6. （2012辽宁营口3分）二次函数的部分图像如图所示，若关于的一元二次方程 的一个解为，则另一个解= ▲ ．‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】二次函数的性质，二次函数与轴的交点和对应的一元二次方程的关系。‎ ‎【分析】∵二次函数的对称轴为 ‎　　　　∴关于的对称点是5。∴的另一个解=5。‎ ‎7. （2012山东枣庄4分）二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是 ‎　　▲　　．‎ ‎【答案】－1＜x＜3。‎ ‎【考点】二次函数与不等式（组）‎ ‎【分析】根据二次函数的性质得出，y＜0，即是图象在x轴下方部分，从而得出x的取值范围：‎ ‎∵二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示，‎ ‎∴图象与x轴交在（－1，0），（3，0），‎ ‎∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：－1＜x＜3。‎ ‎8. （2012新疆区5分）当x=　 ▲ 　时，二次函数y=x2+2x﹣2有最小值．‎ ‎【答案】﹣1。‎ ‎【考点】二次函数的最值。‎ ‎【分析】用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解：‎ ‎∵二次函数y=x2+2x﹣2可化为y=（x+1）2﹣3，‎ ‎∴当x=﹣1时，二次函数y=x2+2x﹣2有最小值。（或用公式求解）　‎ ‎9. （2012吉林长春3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ▲ .‎ ‎【答案】18。‎ ‎【考点】二次函数的性质，等边三角形的性质。‎ ‎【分析】根据二次函数的性质，抛物线的对称轴为x=3。‎ ‎ ∵A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一 点，且AB∥x轴。‎ ‎ ∴A，B关于x=3对称。∴AB=6。‎ 又∵△ABC是等边三角形，∴以AB为边的等边三角形ABC的周长为6×3=18。‎ ‎10. （2012黑龙江牡丹江3分）若抛物线经过点(－1，10)，则= ▲ ．‎ ‎【答案】10。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】由抛物线经过点(－1，10)，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将 ‎(－1，10)代入得，即。‎ ‎11. （2012黑龙江大庆3分）已知二次函数y=－x－2x＋3的图象上有两点A(－7，)，B(－8，)，则 ▲ .（用>、<、=填空）．‎ ‎【答案】＞。‎ ‎【考点】二次函数的性质和图象上点的坐标特征。119281‎ ‎【分析】根据已知条件求出二次函数的对称轴和开口方向，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系：‎ ‎∵二次函数y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，‎ ‎ ∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大。‎ ‎∵点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2）是二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上的两点，且﹣7＞﹣8，‎ ‎∴y1＞y2。‎ 三、解答题 ‎1. （2012北京市7分）已知二次函数在和时的函数值相等。‎ （1） 求二次函数的解析式；‎ （2） 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点A，求m和k的值；‎ （3） 设二次函数的图象与x轴交于点B,C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B,C间 的部分（含点B和点C）向左平移个单位后得到的图象记为C，同时将（2）中得到的直线向上平移n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围。‎ ‎【答案】解：（1）∵二次函数在和时的函数值相等，∴二次函数图象的对称轴为。‎ ‎∴，解得。‎ ‎∴二次函数解析式为。‎ ‎（2）∵二次函数图象经过A点，‎ ‎∴，A（－3，－6）。‎ 又∵一次函数的图象经过A点，‎ ‎∴，解得。‎ ‎（3）由题意可知，二次函数在点B，C间的部分图象的解析式为 ‎，，‎ 则向左平移后得到的图象C的解析式为，。‎ 此时一次函数的图象平移后的解析式为。‎ ‎∵平移后的直线与图象C有公共点，∴两个临界的交点为与。‎ ‎∴当时，，即；‎ 当时，，即。‎ ‎∴‎ ‎【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质。‎ ‎【分析】（1）由二次函数在和时的函数值相等，可知二次函数图象的对称轴为，从而由对称轴公式可求得，从而求得二次函数的解析式。‎ ‎ （2）由二次函数图象经过A点代入可求得，从而由一次函数的图象经过A点，代入可求得。‎ ‎（3）根据平移的性质，求得平移后的二次函数和一次函数表达式，根据平移后的直线与图象C有公共点，求得公共点的坐标即可。‎ ‎2. （2012广东佛山8分）(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2＋bx＋c的解析式；‎ ‎ ①y随x变化的部分数值规律如下表：‎ x ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎0‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎ ‎ ‎ ②有序数对（－1，0），（1，4），（3，0）满足y=ax2＋bx＋c；‎ ‎ ③已知函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分（如图）．‎ ‎ (2)直接写出二次函数y=ax2＋bx＋c的三个性质． ‎ ‎3. （2012广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．‎ ‎（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．‎ ‎【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，‎ ‎∴。‎ ‎（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。‎ ‎ 设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。‎ ‎∵d=|x1﹣x2|，‎ ‎∴d2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4 x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=（p﹣2）2+4。‎ ‎∴当p=2时，d 2的最小值是4。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。‎ ‎【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。‎ ‎ 【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】‎ ‎（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。‎ ‎4. （2012浙江杭州8分）当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．‎ ‎【答案】解：∵当开口向下时函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k取最大值 ‎∴k﹣1＜0，解得k＜1。‎ ‎∴当k=﹣1时函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k有最大值，当k=1，2时函数没有最大值。‎ ‎∴当k=﹣1时，函数y=﹣2x2﹣4x+6=﹣2（x+1）2+8。‎ ‎∴最大值为8。‎ ‎【考点】二次函数的最值。‎ ‎【分析】首先根据函数有最大值得到k的取值范围，然后判断即可。求最大值时将函数解析式化为顶点式或用公式即可。‎ ‎5. （2012江苏徐州8分）二次函数的图象经过点（4，3），（3，0）。‎ ‎ （1）求b、c的值；‎ ‎ （2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；‎ ‎ （3）在所给坐标系中画出二次函数的图象。‎ ‎【答案】解：（1）∵二次函数的图象经过点（4，3），（3，0），‎ ‎ ∴，解得。‎ ‎ （2）∵该二次函数为。‎ ‎ ∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，－1），对称轴为x=1。‎ ‎ （3）列表如下：‎ x ‎···‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎···‎ y ‎···‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎···‎ ‎ 描点作图如下：‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，描点作图。‎ ‎【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（4，3），（3，0）代入得关于b、c的方程组，解之即得。‎ ‎ （2）求出二次函数的顶点式（或用公式法）即可求得该二次函数图象的顶点坐标和对称轴。‎ ‎ （3）描点作图。‎ ‎6. （2012湖北荆州12分）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．‎ ‎①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．‎ ‎【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点。‎ 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，‎ 令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0．‎ ‎△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。‎ 综上所述，k的取值范围是k≤2。‎ ‎（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1。‎ 由题意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1（*），‎ 将（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。‎ 又∵x1+x2=，x1x2=，∴2k•=4•，‎ 解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）。∴所求k值为﹣1。‎ ‎②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣）2+，且﹣1≤x≤1，‎ 由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=时，y最大=。‎ ‎∴y的最大值为，最小值为﹣3。‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。‎ ‎【分析】（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0。‎ ‎（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值。②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值。‎ ‎7. （2012山东淄博8分）已知：抛物线．‎ ‎（1）写出抛物线的对称轴；‎ ‎（2）完成下表；‎ x ‎…‎ ‎−7‎ ‎−3‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎−9‎ ‎−1‎ ‎…‎ ‎（3）在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象．‎ ‎【答案】解：（1）抛物线的对称轴为x=－1。‎ ‎ （2）填表如下：‎ x ‎…‎ ‎−7‎ ‎－5‎ ‎−3‎ ‎－1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎−9‎ ‎－4‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎−1‎ ‎－4‎ ‎－9‎ ‎…‎ ‎ （3）描点作图如下：‎ ‎【考点】二次函数的图象和性质。‎ ‎【分析】（1）直接根据顶点式写出抛物线的对称轴。‎ ‎ （2）根据抛物线的对称填表。‎ ‎ （3）描点作图。‎ ‎8. （2012黑龙江牡丹江6分）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，－4）和（－2，5），请解答下列问题：‎ ‎ (1)求抛物线的解析式；‎ ‎ (2)若与轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C．在该抛物线上是否存在点D,使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由 注：抛物线的对称轴是