2020届二轮复习导数的应用学案（全国通用）

2020届二轮复习导数的应用学案（全国通用）

培优点五 导数的应用 ‎1．利用导数判断单调性 例1：求函数的单调区间 ‎【答案】见解析 ‎【解析】第一步：先确定定义域，定义域为，‎ 第二步：求导：‎ ‎，‎ 第三步：令，即，‎ 第四步：处理恒正恒负的因式，可得，‎ 第五步：求解，列出表格 ‎2．函数的极值 例2：求函数的极值．‎ ‎【答案】的极大值为，无极小值 ‎【解析】‎ 令解得：，的单调区间为：‎ 的极大值为，无极小值．‎ ‎3．利用导数判断函数的最值 例3：已知函数在区间上取得最小值4，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】思路一：函数的定义域为，．‎ 当时，，‎ 当时，，为增函数，所以，，矛盾舍去；‎ 当时，若，，为减函数，若，，为增函数，‎ 所以为极小值，也是最小值；‎ ‎①当，即时，在上单调递增，所以，‎ 所以（矛盾）；‎ ‎②当，即时，在上单调递减，，‎ 所以；‎ ‎③当，即时，在上的最小值为，‎ 此时（矛盾）．‎ 综上．‎ 思路二：，令导数，考虑最小值点只有可能在边界点与极值点处取得，因此可假设，，分别为函数的最小值点，求出后再检验即可．‎ 对点增分集训 一、单选题 ‎1．函数的单调递减区间为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的导数为，令，得，‎ ‎∴结合函数的定义域，得当时，函数为单调减函数． 因此，函数的单调递减区间是．故选A．‎ ‎2．若是函数的极值点，则（ ）‎ A．有极大值 B．有极小值 C．有极大值0 D．有极小值0‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为是函数的极值点，所以，，，．当时，；当时，，因此有极大值，故选A．‎ ‎3．已知函数在上单调递减，且在区间上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为函数在上单调递减，‎ 所以对于一切恒成立，得，，‎ 又因为在区间上既有最大值，又有最小值，‎ 所以，可知在上有零点，‎ 也就是极值点，即有解，在上解得，‎ 可得，，故选C．‎ ‎4．函数是上的单调函数，则的范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】若函数是上的单调函数，只需恒成立，‎ 即，．故选C．‎ ‎5．遇见你的那一刻，我的心电图就如函数的图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，其定义域为，即，，‎ 则函数为奇函数，故排除C、D，‎ ‎，则函数在定义域内单调递减，排除B，故选A．‎ ‎6．函数在内存在极值点，则（ ）‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】若函数在无极值点，则或在恒成立．‎ ‎①当在恒成立时，时，，得；时，，得；‎ ‎②当在恒成立时，则且，得；‎ 综上，无极值时或．∴在在存在极值．故选A．‎ ‎7．已知，，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】因为，函数在区间上单调递减，‎ 所以在区间上恒成立，‎ 只需，即解得或，故选D．‎ ‎8．函数在定义域内可导，其图像如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由图象知和上递减，因此的解集为．‎ 故选A．‎ ‎9．设函数，则（ ）‎ A．在区间，内均有零点 B．在区间，内均无零点 C．在区间内有零点，在区间内无零点 D．在区间内无零点，在区间内有零点 ‎【答案】D ‎【解析】的定义域为，在单调递减，单调递增，，‎ 当在区间上时，在其上单调，，，故在区间上无零点，‎ 当在区间上时，在其上单调，，，故在区间上有零点．‎ 故选D．‎ ‎10．若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】，，‎ 函数既有极大值又有极小值，‎ 有两个不等的实数根，‎ ‎，，则或，故选D．‎ ‎11．已知函数的两个极值点分别在与内，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数，求导，‎ 的两个极值点分别在区间与内，由的两个根分别在区间与内，，‎ 令，转化为在约束条件为时，求的取值范围，‎ 可行域如下阴影（不包括边界），‎ 目标函数转化为，由图可知，在处取得最大值，在处取得最小值，可行域不包含边界，的取值范围．本题选择A选项．‎ ‎12．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间 上，则称函数在区间上为“凹函数”，已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，∴，∴，‎ ‎∵函数在区间上为“凹函数”∴，‎ ‎∴在上恒成立，即在上恒成立．‎ ‎∵在上为单调增函数，∴，∴，‎ 故选D．‎ 二、填空题 ‎13．函数在区间上的最大值是___________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】，已知，‎ 当或时，，在该区间是增函数，‎ 当时，，在该区间是减函数，‎ 故函数在处取极大值，，又，故的最大值是8．‎ ‎14．若函数在，上都是单调增函数，则实数的取值集合是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，‎ 函数在，上都是单调增函数，‎ 则，即，解得，，即，解得，‎ 则实数的取值集合是，故答案为．‎ ‎15．函数在内不存在极值点，则的取值范围是___________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】函数在内不存在极值点在内单调函数或在内恒成立，‎ 由在内恒成立，，即，‎ 同理可得，故答案为或．‎ ‎16．已知函数，‎ ‎① 当时，有最大值；‎ ‎② 对于任意的，函数是上的增函数；‎ ‎③ 对于任意的，函数一定存在最小值； ‎ ‎④ 对于任意的，都有．‎ 其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】由函数的解析式可得：，当时，，，单调递增，且，‎ 据此可知当时，，单调递增，函数没有最大值，说法①错误；‎ 当时，函数，均为单调递增函数，则函数是上的增函数，说法②正确；‎ 当时，单调递增，且，‎ 且当，据此可知存在，‎ 在区间上，，单调递减；‎ 在区间上，，单调递增；‎ 函数在处取得最小值，说法③正确；‎ 当时，，‎ 由于，故，，说法④错误；‎ 综上可得：正确结论的序号是②③．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数 ‎（1）讨论函数在上的单调性；‎ ‎（2）证明：恒成立．‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，‎ 在上单调递减；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1），‎ 当时，恒成立，所以，在上单调递增；‎ 当时，令，得到，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减．‎ 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（2）证法一：由（1）可知，当时，，‎ 特别地，取，有，即，所以（当且仅当时等号成立），‎ 因此，要证恒成立，只要证明在上恒成立即可，‎ 设 ，则，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增．‎ 所以，当时，，即在上恒成立．‎ 因此，有，又因为两个等号不能同时成立，所以有恒成立．‎ 证法二：记函数，则，‎ 可知在上单调递增，又由，知，在上有唯一实根，‎ 且，则，即（*），‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增，‎ 所以，结合（*）式，知，‎ 所以，‎ 则，即，所以有恒成立．‎ ‎18．已知函数，其导函数为．‎ ‎（1）当时，若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设，点是曲线上的一个定点，是否存在实数使得成立？并证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）或；（2）不存在，见解析．‎ ‎【解析】（1）当时，，，，，‎ 由题意得，即，‎ 令，则，解得，‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增，‎ ‎，‎ 当时，，当时，，‎ 则或时，在上有且只有一个零点．‎ ‎（2）由，得，‎ 假设存在，则有，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，，，‎ 令，则，‎ 两边同时除以，得，即，‎ 令，，‎ 令在上单调递增，且，‎ 对于恒成立，即对于恒成立，‎ 在上单调递增，，‎ 对于恒成立，不成立，‎ 同理，时，也不成立，‎ 不存在实数使得成立．‎