2020-2021学年新初三数学上册知识点讲解 二次函数专题详解

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2020-2021 学年新初三数学上册知识点讲解 二次函数专题详解 专题 02 二次函数 ....................................................................................................................... 错误!未定义书签。 22.1 二次函数基本性质 .................................................................................................................................... 2 知识框架 ..................................................................................................................................................... 2 一、基础知识点 ......................................................................................................................................... 2 知识点 1 二次函数的概念 ................................................................................................................ 2 知识点 2 二次函数 y=ax2的图像和性质 .......................................................................................... 3 知识点 3 二次函数 y=a（푥 − ℎ）2 + k（a ≠ 0）的性质 ............................................................... 4 知识点 4 用配方法求y = ax2 + bx + c（a ≠ 0） ........................................................................... 5 知识点 5 二次函数性质总结 ............................................................................................................ 6 二、典型题型 ............................................................................................................................................. 8 题型 1 运用抛物线的对称性解题..................................................................................................... 8 题型 2 二次函数的图像 .................................................................................................................... 8 题型 3 由抛物线的图形确定系数的符号 ....................................................................................... 16 题型 4 二次函数的平移 .................................................................................................................. 19 题型 5 求二次函数的解析式 .......................................................................................................... 20 三、难点题型 ........................................................................................................................................... 29 题型 1 二次函数与面积 .................................................................................................................. 29 题型 2 二次函数全等问题 .............................................................................................................. 32 题型 3 二次函数与角度 .................................................................................................................. 34 22.2 二次函数与一元二次方程 ...................................................................................................................... 37 知识框架 ................................................................................................................................................... 37 一、基础知识点 ....................................................................................................................................... 37 知识点 1 二次函数图像与一元二次方程的关系 ........................................................................... 37 二、典型题型 ........................................................................................................................................... 39 题型 1 二次函数与判别式 .............................................................................................................. 39 题型 2 二次函数与不等式 .............................................................................................................. 40 题型 3 一元二次方程的近似解....................................................................................................... 41 三、难点题型 ........................................................................................................................................... 43 题型 1 图像信息题 .......................................................................................................................... 43 题型 2 抛物线与直线交点问题....................................................................................................... 44 题型 3 二次函数与一元二次方程的综合应用 ............................................................................... 46 22.1 二次函数基本性质 知识框架 { 基础知识点 { 二次函数概念 二次函数 y = ax2的图像和性质 二次函数 y = a(x − h)2 + k（a ≠ 0）的性质 用配方法求y = ax2 + bx + c（a ≠ 0） 二次函数的性质总结 典型题型 { 运用抛物线的对称性解题 二次函数的图像及性质 { 顶点、对称轴 位置 最值 比较大小 由抛物线的图形确定系数的符号 二次函数的平移 求二次函数的解析式 { 二次函数解析式的形式{ 一般式 顶点式 交点式 点与解析式 { 待定系数法 已知解析式，求点坐标 已知对称轴或顶点 隐藏对称轴或顶点 几何图形与解析式{ 面积 其他几何条件 难点题型 { 二次函数与面积{ 铅垂法 割补法 平移法 二次函数全等问题 二次函数与角度{ 利用角度构造全等三角形 利用角度关系转化为坐标关系 一、基础知识点 知识点 1 二次函数的概念 1）形如 y=ax2 + bx + c（a≠0）的函数叫作二次函数。 注：①a、b、c 为常数，且 a≠0，即二次项必须有，一次项和常数项可以没有 ②二次函数为函数的一种，满足函数的所有性质。即在定义域内，自变量 x 有且仅有唯一应变量 y 与之对应 例 1.下列各项中，y 一定是 x 的二次函数的有： ①y=√2x2 − x + 5； ② y=（푚 − 1）x2 + x + 1（m 为常数）； ③y=2x2 + 4x − m（m 为常数）； ④ y=(2푥 + 1)(3푥 − 2) − 6x2 【答案】①、③ 【解析】①是二次函数，二次项系数不为 0； ②不一定，当 m=1 时，二次项系数为 0，则不是二次函数； ③是二次函数，二次项系数不为 0； ④化简得：－x－2，因此不是二次函数 例 2.已知 y=（푘 + 3）x푘2+푘−4是二次函数，求 k 的值。 【答案】k=2 【解析】∵y=（k + 3）xk2+k−4是二次函数 ∴二次项系数不为 0，即：k+3≠0 二次项的次数为 2，即：k2 + k − 4 = 2 解得：k=2 知识点 2 二次函数 y=퐚퐱ퟐ的图像和性质 1）y=ax2（a≠0，b=0，c=0，即一次项和常数项皆为 0）的图形如下： ①形状：图形为抛物线形状 ②开口：a>0，开口向上；a<0，开口向下 ③顶点：原点（0，0），顶点纵坐标为函数最大值或最小值（由 a 的正负决定） ④对称轴：关于 y 轴对称，即关于 x=0 对称 ⑤开口大小：|a|越大，开口越小，即上升或下降越快 ⑥增减性：a＞0 时，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大。 a＜0 时，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞0 时，y 随 x 的减小而减小。 注：①关于 y 轴对称的前提条件是：函数定义域关于 y 轴对称； ②抛物线图形的性质都与顶点坐标有关系，顶点坐标需要牢记，其他性质通过画草图来分析，不可 强记。 例 1.根据抛物线 y=ax2（a≠0）的性质回答下列问题； （1）抛物线的开口向上，则 a： （2）当 x＜0 时，抛物线 y 值随 x 的增大而减小，则 a： （3）除顶点外，抛物线上的点都在 x 轴的下方，则 a： （4）当 x＞0 且 a＜0 时，则抛物线的 y 值随 x 的增大而： 【答案】（1）a＞0 （2）a＞0 （3）a＜0 （4）减小 【解析】（1）∵抛物线开口向上 ∴a＞0 （2）∵当 x＜0 时，抛物线 y 值随 x 的增大而减小 ∴抛物线开口向上 ∴a＞0 （3）∵除顶点外，抛物线上的点都在 x 轴的下方 ∴抛物线开口向下 ∴a＜0 （4）∵a＜0 ∴抛物线开口向下 ∵x＞0 ∴y 随 x 的增大而减小 例 2.如图所示的四个二次函数的图像分别对应：（1）y=ax2；（ 2）y=bx2；（ 3）y=cx2；（ 4）y=dx2，求 a、b、 c、d 的大小关系： 【答案】a＞b＞c＞d 【解析】根据 y=ax2的图像开口方向的性质可知： a＞0，b＞0，c＜0，d＜0 根据二次函数开口大小的性质（|a|越大，开口越小）可知： |a|＞|b|，|d|＞|푐| 综上得：a＞b＞c＞d 知识点 3 二次函数 y=a（퐱 − 퐡）ퟐ + 퐤（퐚 ≠ ퟎ）的性质 1）二次函数y = ax2 + bx + c通过配方，可得 y=a（x − h）2 + k的形式 ①形状：抛物线形状 ②开口：a>0，开口向上；a<0，开口向下 ③顶点：（h，k），顶点纵坐标 y=k 为函数最值（最大值或最小值） ④对称轴：关于 x=h 对称 ⑤开口大小：|a|越大，开口越小 ⑥增减性：a＞0 时，当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大。 a＜0 时，当 x＜h 时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞h 时，y 随 x 的减小而减小。 ⑦关系：当 h=0，k=0 时，y=a（x − h）2 + k即为 y=ax2形式 即：y=a（x − h）2 + k通过平移可得到 y=ax2（形状不变，开口不变） 在图形平移过程中，可以通过特殊点（如顶点）分析平移过程：向左或右平移|h|，向上或下平移|k|。 其中，“左加右减，上加下减”。无需记忆，通过画图，利用特殊点判断。 例 1.已知 y=－2（x + 1）2 − 3 （1）抛物线 y=－2（x + 1）2 − 3的顶点坐标是： ，对称轴方程是： ，y 有最 值， 为 ； （2）将二次函数 y=−2x2的图像向 平移 个单位，再向 平移 个单位，可得二次 函数 y=－2（x + 1）2 − 3的图像。 【答案】见解析 【解析】（1）顶点坐标是：（－1，－3） 对称轴方程是：x=－1 y 有最大值，为－3 （2）向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位 例 2.抛物线 y=（x + 3）2 − 2时由抛物线由抛物线 y=x2经过平移得到的，求其平移过程。 答案：向左平移 3 个单位，向下平移 2 个单位 知识点 4 用配方法求퐲 = 퐚퐱ퟐ + 퐛퐱 + 퐜（퐚 ≠ ퟎ） 1）y = ax2 + bx + c利用配方法，化简得：y = a（x + b 2a ） 2 + 4ac−b2 4a 故以顶点式的形式来看：h=－ b 2a ，k=4ac−b2 4a ①形状：抛物线形状 ②开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下 ③顶点：（－ b 2a ，4ac−b2 4a ），顶点纵坐标 y=4ac−b2 4a 为最值（最大值或最小值） ④对称轴：关于 x=－ b 2a 对称 ⑤开口大小：|a|越大，开口越小 ⑥增减性： a＞0 时，当 x＜－ b 2a 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞－ b 2a 时，y 随 x 的增大而增大。 a＜0 时，当 x＜－ b 2a 时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞－ b 2a 时，y 随 x 的减小而减小。 注：建议学会配方法，若实在无法掌握，则需记住一般式的顶点坐标，在解题过程中直接使用结论即可。 例 1.用配方法写出下列抛物线的对称轴方程和顶点坐标。 （1）y = 2x2 − 4x + 1； （2）y = − 1 2 x2 + x − 4 【答案】（1）对称轴方程为：x=1，顶点坐标为：（1，－1） （2）对称轴方程为：x=1，顶点坐标为：（1，− 7 2 ） 【解析】（1）y = 2x2 − 4x + 1 =2（x2 −2x）+1 =2（x2 − 2푥 + 1）－2×1+1 =2（푥 − 1）2 − 1 ∴抛物线的对称轴方程为：x=1，顶点坐标为：（1，－1） （2）方法一：配方法 y = − 1 2 x2 + x − 4 =− 1 2 (x2 − 2푥) − 4 =− 1 2 (x2 − 2푥 + 1) + 1 2 − 4 =− 1 2 （푥 − 1）2 − 7 2 ∴抛物线的对称轴方程为：x=1，顶点坐标为：（1，− 7 2 ） 方法二：直接用结论 在函数y = − 1 2 x2 + x − 4中 a=− 1 2 ，b=1，c=－4 顶点坐标为：（－ b 2a ，4ac−b2 4a ），即：（－ 1 2∙（−1 2） ，4∙（−1 2）∙（−4）−12 4∙（−1 2） ） 化简得顶点坐标为：（1，− 7 2 ） ∴对称轴为：x=1 知识点 5 二次函数性质总结 1）二次函数图像性质总结如下： ①形状：抛物线形状 ②开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下 ③开口大小：|a|越大，开口越小 y=ax2 y=a（x − h）2 + k y = ax2 + bx + c ④顶点 （0，0） （h，k） （− b 2a ，4ac−b2 4a ） ⑤函数最值：{a＞0，开口向上，函数有最小值 a＜0，开口向下，函数有最大值 ⟹最值为顶点纵坐标 即： y=0 y=k y=4ac−b2 4a ⑥对称轴：x=顶点横坐标 即： x=0（y 轴） x=h x=− b 2a ⑦增减性：根据图像性质和判断，具体步骤为： （1）根据 a 判断开口方向； （2）根据顶点横坐标求出对称轴，判断增减性的分界点； （3）画图判断增减性 i．a＞0，x=n ii．a＜0，x=n 即：i.a＞0，对称轴为 x=n，则{x＜n，y 随 x 的增大而减小 x＞n，y 随 x 的增大而增大 ii.a＜0，对称轴为 x=n，则{x＜n，y 随 x 的增大而增大 x＞n，y 随 x 的增大而减小 补充： ⑧对称性点性质：P1（x1，y1）与P2（x2，y2）是抛物线上的点，且关于对称轴 x=n 对称。则 {x1 + x2 = 2n y1 = y2 ⑨与 y 轴交点为（0，c） 二、典型题型 题型 1 运用抛物线的对称性解题 解题技巧：抛物线上纵坐标相同的两点是对称点，利用抛物线的对称性可以快速的解决一些问题。 ①抛物线上有两点 A（푥1，푦1）， B（푥2，푦2），若푦1 = 푦2，则 A、B 两点是抛物线上的对称点，则抛物线的 对称轴为 x=푥1+푥2 2 ②若 A（푥1，푦1）， B（푥2，푦2）两点关于对称轴 x=m 对称，则푦1 = 푦2，且푥1+푥2 2 = 푚 例 1.已知点 A（4，푦1）， B（√2，푦2）， C（－2，푦3）都在二次函数 y=（푥 − 2）2 − 1的图像上，求푦1、푦2、 푦3的大小关系。 【答案】y3＞y1＞y2 【解析】二次函数 y=（x − 2）2 − 1的对称轴为：x=2 题干中的 A、B、C 三点分布在对称轴的两侧，我们利用对称的性质，将这三个点转化到同一侧，则可利用 同一侧函数的增减性判断大小。 点 A 在对称轴的右侧，点 B、点 C 在对称轴的左侧，将点 A 利用对称性转化到对称轴左侧 设 A（4，푦1）关于对称轴 x=2 对称的点퐴1（푥，푦1） ∴4+푥 2 = 2，解得：x=0 ∴퐴1（0，푦1） ∵a=1＞0，∴抛物线开口向上 ∴在 x＜2 的范围内，函数值 y 随 x 的增大而减小 ∵－2＜0＜√2 ∴y3＞y1＞y2 例 2.已知 A（푥1，2015）， B（푥2，2015）时二次函数y = ax2 + bx + 5的图像上的两点，则当 x=푥1+푥2时， 求二次函数的值。 【答案】5 【解析】∵A，B 两点的纵坐标相同 ∴A，B 两点横坐标关于对称轴 x=− 푏 2푎 对称 ∵푥1+푥2 2 = − 푏 2푎 ∴x=x1+x2=− 푏 푎 ，代入方程得： y=a（ − b a ） 2 + b（ − b a ） + 5=5 题型 2 二次函数的图像 二次函数的图像及性质 { 顶点、对称轴 经过的象限 最值 比较大小 一、顶点、对称轴 解题技巧：二次函数不同形式，其顶点求法不同： （1）顶点式 y=a（x − h）2 + k中，可直接读出顶点坐标为（h，k），对称轴为 x=h。在顶点式中，h 前 面的符号是“－”，这点需要额外关注。 （2）一般式y = ax2 + bx + c中，顶点坐标为（− b 2a ，4ac−b2 4a ），对称轴为 x=− b 2a 。在一般式中，需要注意若 题干中的形式不是一般式，需要先边形成一般式，再利用顶点坐标公式。 注：①建议牢记一般式的顶点坐标，用配方法也可推导，但在解题过程中比较耗时，不推荐； ②对称轴无需额外记忆，无论是何形式的二次函数，对称轴为：x=顶点横坐标。 例 1.求抛物线 y=2（푥 + 3）2 + 5的顶点坐标和对称轴。 【答案】（－3，5）； x=－3 【解析】抛物线是顶点式，顶点坐标为（h，k） 在二次函数 y=2（푥 + 3）2 +5 中，h 前面的符号为“+”，因此 h=－3。在函数中，k=5 顶点坐标为（－3，5） ∴对称轴为：x=－3 例 2.已知抛物线 y=− 1 2 푥2 − 3푥 − 5 2 ，求顶点坐标和对称轴。 【答案】（－3，2）； x=－3 【解析】抛物线是一般式，顶点坐标为（− b 2a ，4ac−b2 4a ） 其中，a=− 1 2 ，b=−3，c=− 5 2 顶点坐标为：（－ b 2a ，4ac−b2 4a ），即：（－ −3 2∙（−1 2） ，4∙（−1 2）∙（−5 2）−（−3）2 4∙（−1 2） ） 化简得顶点坐标为：（－3，2） ∴对称轴为 x=－3 二、位置 解题技巧：判断二次函数经过的象限，通过绘制草图进行分析，其中主要关注： ①开口方向（a 的正负）； ②顶点的位置（（− 푏 2푎，4푎푐−푏2 4푎 ）） ③与 y 轴的交点（（0，c）） 通过上述 3 个条件，即可绘制出图形的草图。 例 1.已知二次函数 y=1 2 푥2 + 6푥 + 10，试确定其图像经过哪几个象限。 【答案】抛物线过一、二、三象限 【解析】抛物线中，a=1 2 ，b=6，c=10 ∵a＞0，∴抛物线开口向上 顶点坐标为：（− 푏 2푎，4푎푐−푏2 4푎 ），即：（−6，－8） 与 y 轴的交点为：（0，c），即：（0，10） 根据上述 3 条信息，二次函数草图如下： 根据草图得：函数进过一、二、三象限 例 2.设 a 为实数，且 a≠0，确定二次函数y = 푥2 − 2푎2푥 − 푎4的图像经过哪几个象限。 【答案】抛物线过一、二、三、四象限 【解析】抛物线中，a=1，b=−2푎2，c=−푎4 ∵a＞0，∴抛物线开口向上 顶点坐标为：（− 푏 2푎，4푎푐−푏2 4푎 ），即：（푎2，−2푎4） 与 y 轴的交点为：（0，c），即：（0，−푎4） 根据上述 3 条信息，二次函数草图如下： 根据草图得：函数进过一、二、三、四象限 例 3.已知抛物线 y=a푥2 − （푎 + 푐）푥 + 푐（其中 a≠c）的图像不经过第二象限。求这条抛物线的顶点所在的 象限。 【答案】第一象限 【解析】∵二次函数函数不经过第二象限 ∴二次函数的草图如下： 其中： a＜0 与 y 轴的交点在 y 轴负半轴或为原点 ∴c≤0 顶点坐标为：（푎+푐 2푎 ，4푎푐−（푎+푐）2 4푎 ） 则：푎+푐 2푎 ＞0，4푎푐−（푎+푐）2 4푎 ＜0 ∴顶点经过第一象限 三、最值 解题技巧：最值即最大值或最小值。在二次函数中，最值会出现在 3 处位置，下面以y = ax2 + bx + c（a ＜0），取值范围为 m＜x＜n，求函数最大值为例分析，则 a＞0 时，最小值有相同的分析方法。 注：若二次函数不是一般式，而是顶点式式，分析方法类似。下述分析中，主要是分析顶点处的情况，则 顶点式一样，也是分析顶点处情况。即：x=h（x=− 푏 2푎）；最值：y=k（y=4푎푐−푏2 4푎 ） （1）当对称轴 x=− 푏 2푎在取值范围内，即 m＜− 푏 2푎＜n 时，如下图所示，则最大值为顶点纵坐标，y=4푎푐−푏2 4푎 。 （2）当对称轴 x=− 푏 2푎在取值范围左侧，即− 푏 2푎 ＜푚，如下图所示，则顶点处的最大值不在函数取值范围 内。根据图像，在 m＜x＜n 的范围内，函数值随 x 的增大而增大，则最大值为当 x=m 时。 （3）当对称轴 x=− 푏 2푎在取值范围右侧，即− 푏 2푎 ＞푛，如下图所示，则顶点处的最大值不在函数取值范围 内。根据图像，，在 m＜x＜n 的范围内，函数值随 x 的增大而减小，则最大值为当 x=n 时。 在求最值问题时，题干若未明确给出对称轴与取值范围的关系，我们需要分上述 3 中情况进行分析讨论。 若题干已明确对称轴与取值范围关系，则根据关系，可明确为上述 3 中情况中的一种，直接可求解出最值。 技巧：在选填题中，我们知道，最值必定在上述 3 处中得出，我们可以直接求出上述 3 处的值，然后比 较这 3 个值的大小，从而得出最值。 例 1.二次函数 y＝2（푥 − 3）2 －6（ ） A．最小值为－6 B．最大值为－6 C．最小值为 3 D．最大值为 3 【答案】A 【解析】二次函数 a＞0，开口向上，则函数有最小值 题干中未限定取值范围，则最小值为当 x=3 时，最小值为顶点纵坐标，即 y=－6 ∴答案为 A 例 2.二次函数 y＝－푥2－2x＋c 在－3≤x≤2 的范围内有最小值－5，则 c 的值是（ ） A．－6 B．－2 C．2 D．3 【答案】D 【解析】对称轴 x=− −2 2×(−1) = 1，对称轴在取值范围内。 但因为二次函数 a＜0，则开口向下，顶点为最大值，不满足题意。 则最值在 x=－3 或 x=2 处取得（具体分析思路在比较大小题型中列举），此处，我们按照小技巧的方式， 分别求出 x=－3 和 x=2 处的值，比较二者的大小，从而得出最小值。 当 x=－3 时，y=－（－3）2－2×（－3）＋c=－3+c 当 x=2 时，y=－22－2×2＋c=－8+c 因为－3+c＞－8+c 所以最小值为当 x=2 时，y=－8+c 则－8+c=－5 解得：c=3 例 3.已知 y=（1+m）푥푚2+푚是关于 x 的二次函数，当 m 为何值时，抛物线有最高点？ 【答案】m=－2 【解析】∵抛物线有最高点 ∴开口向下，即（1+m）＜0，m＜－1 ∵y=（1+m）xm2+m是关于 x 的二次函数 ∴m2 + m = 2 解得 m=－2 例 4.已知关于 x 的二次函数 y＝（x − h）2＋3，当 1≤x≤3 时，函数有最小值 2h，则 h 的值为（ ） A． 3 2 B．3 2 或 2 C．3 2 或 6 D．2、3 2 或 6 【答案】C 【解析】函数的对称轴为 h，此题不确定 h 是否在取值范围内，因此要分 3 类进行讨论。 情况一：当 h 在取值范围内，即 1≤h≤3 时，函数的最小值为顶纵坐标，为：3. 则 3=2h，解得：h=3 2 ∵h=3 2 满足 1≤h≤3 ∴h=3 2 成立 情况二：当 h 在取值范围左侧时，即 h＜1，根据前面分析值：函数最小值为当 x=1 时 当 x=1 时，最小值 y=（1 − h）2＋3 则 y=（1 − h）2＋3=2h 一元二次方程解得：h=2 ∵h=2 不满足 h＜1 ∴h=2 不成立，舍去 情况三：当 h 在取值范围右侧时，即 h＞3 时，函数最小值为当 x=3 时 当 x=3 时，最小值 y=（3 − ℎ）2＋3 则 y=（3 − ℎ）2＋3=2h 一元二次方程解得：ℎ1=2，ℎ2=6 ℎ1=2 不满足 h＞3，舍去；ℎ2=6 满足 h＞3，成立 综上得：当 h=3 2 或 h=6 时，条件成立 ∴答案为：C 例 5.已知二次函数 y＝푥2－2hx＋h，当自变量 x 的取值在－1≤x≤1 的范围中时，函数有最小值 n．则 n 的 最大值是 __________ ． 【答案】1 4 【解析】对称轴 x=− −2ℎ 2×1=h 情况一：当－1≤h≤1 时，对称轴在取值范围内，则最小值为顶点纵坐标 即 y=4푎푐−푏2 4푎 = 4×1×ℎ−（−2ℎ）2 4×1 =−ℎ2 + ℎ = 푛 二次函数−ℎ2 + ℎ开口向下，最大值为顶点纵坐标，即当 h=− 1 2×(−1) = 1 2 时 而 h=1 2 在取值范围－1≤h≤1 内，求得当 h=1 2 时，−ℎ2 + ℎ=1 4 所以当－1≤h≤1 时，n 的最大值为1 4 情况二：当 h＜－1 时，对称轴在取值范围左侧，则函数最小值为当 x=－1 时 当 x=－1 时，y=（－1）2－2h×（－1）＋h=3h+1=n 3h+1 为一次函数，最大值为当 h=－1 时，求得最大值 n=－2 情况三：当 x＞1 时，对称轴在取值范围右侧，则函数最小值为当 x=1 时 当 x=1 时，y=12－2h×1＋h=－h+1=n －h+1 为一次函数，最大值为当 h=1 时，求得最大值 n=0 综合上述 3 中情况，则 n 能够取到的最大值为 n=1 4 四、比较大小 解题技巧：在二次函数中，函数值随 x 的变化与开口方向和对称轴位置有关系，下面以y = ax2 + bx + c（a ＜0），比较 A（푥1，푦1）， B（푥2，푦2）， C（푥3，푦3）三点中 y 值的大小为例。则 a＞0 时，大小比较有相 同的分析方法。 解题步骤： （1）判断抛物线开口方向：因为 a＜0，则抛物线开口向下 （2）求对称轴位置：对称轴 x=− 푏 2푎 ，则函数草图如下： （3）求 A、B、C 三点与对称轴距离： A 与对称轴的距离푑1 = |− 푏 2푎 − 푥1| B 与对称轴的距离푑2 = |− 푏 2푎 − 푥2| C 与对称轴的距离푑3 = |− 푏 2푎 − 푥3| （4）比较三个距离的大小：假设푑1＞푑2＞푑3 （5）判断 y 值的大小：如草图，函数开口向下，则对称轴处取得最大值，离对称轴距离越远，则 y 值越小。 因为푑1＞푑2＞푑3，所以푦1＜푦2＜푦3 例 1.已知 A（－1，푦1）， B（2，푦2）是抛物线 y=－（푥 + 2）2 + 3上的点，则푦1、푦2之间的大小关系为： 【答案】푦1＞푦2 【解析】∵a=－1 ∴抛物线开口向下 对称轴为 x=－2 A 与对称轴距离푑1 = |−2 − （ − 1）| = 1 B 与对称轴距离푑2 = |−2 − 2| = 4 ∴푑2＞푑1 ∵开口向下，所以在对称轴处取得最大值，则离对称轴越远，取值 y 越小 ∴푦1＞푦2 例 2.在抛物线 y=a푥2 − 2푎푥 − 3푎上有 A（－0.5，푦1）， B（2，푦2）， C（3，푦3）三点，若抛物线与 y 轴的 交点在正半轴，则푦1，푦2和푦3的大小关系为（ ） A. 푦3＜푦1＜푦2 B. 푦3＜푦2＜푦1 A.푦2 ＜푦1＜푦3 A. 푦1＜푦2＜푦3 【答案】A 【解析】∵抛物线与 y 轴的交点在正半轴上 ∴c=－3a＞0，即 a＜0，开口向下 对称轴 x=− −2푎 2푎 =1 A 与对称轴距离푑1 = |1 − （ − 0.5）| = 1.5 B 与对称轴距离푑2 = |1 − 2| = 1 C 与对称轴距离푑3 = |1 − 3| = 2 ∴푑2＜푑1＜푑3 ∵开口向下，则在对称轴处有最大值，离对称轴越远，则取值 y 越小 ∴푦3＜푦1＜푦2 题型 3 由抛物线的图形确定系数的符号 解题技巧：通过抛物线的图形判断系数的符号题型中，通常关注图形中的一下几点： ①抛物线开口的方向可确定 a 的符号：抛物线开口向上，a＞0； 抛物线开口向下，a＜0 ②对称轴可确定 b 的符号：对称轴在 x 轴负半轴，则 x=− b 2a ＜0，即 ab＞0； 对称轴在 x 轴正半轴，则 x=− b 2a ＞0，即 ab＜0 ③与 y 轴交点可确定 c 的符号：与 y 轴检点坐标为（0，c），交于 y 轴负半轴，则 c＜0； 交于 y 轴正半轴，则 c＞0 其他辅助判定条件： ④顶点坐标（－ b 2푎 ， 4푎푐−b2 4푎 ） ⑤与 x 轴交点（푥1/푥2，0）确定对称轴：对称轴 x=푥1+푥2 2 ⑥韦达定理：푥1 + 푥2 = − 푏 푎 ，푥1푥2 = 푐 푎 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。 例 1 二次函数y = ax2 + bx + c的图像如图所示，则点 M（b，푐 푎 ）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】∵开口向下，∴a＜0 ∵与 y 轴的交点在 y 轴正半轴上，∴c＞0 ∵对称轴大于 0，∴− b 2a ＞0，∴b＞0 ∴M（b，c a ）在第四象限 ∴答案为：D 例 2.已知二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：其中正确的个数是（ ） ①a、b 同号；②当 x=1 和 x=3 时，函数值相等； ③4a+b=0；④当 y=-2 时，x 的值只能取 0. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0 ∵与 y 轴交点在 y 轴负半轴（0，－2），∴c=－2 ∵对称轴大于 0，∴− b 2a ＞0，即 b＜0 ∴①错误； ∵抛物线与 x 轴交点为（－1，0），（ 5，0） ∴抛物线对称轴为：x=5+（−1） 2 =2 ∵x=1 和 x=3 关于 x=2 对称 ∴②正确 ∵抛物线与 x 轴交点为（－1，0），（ 5，0） ∴代入得：{ 0 = 푎 − 푏 − 2 0 = 25푎 + 5푏 − 2，解得{ 푎 = 2 5 푏 = − 8 5 ∴③正确 ④错误。因为当 y=－2 时，作 y=－2 的直线，与抛物线有 2 个交点，即有 2 个值 例 3.已知二次函数y = ax2 + bx + c的图象与 x 轴交于点(－2，0)、(푥1，0)，且 1<푥1<2，与 y 轴的正半轴的交 点在点(0，2)的下方．下列结论：①a0；③4a+c0，其中正确结论的个数 为( ) A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D．4 个 【答案】D 【解析】 ∵抛物线与 x 轴两交点为（-2，0），（ 푥1，0），且 1＜푥1＜2 ∴对称轴 x=−2+푥1 2 = − 푏 2푎 ∵1<푥1<2 ∴− 1 2 ＜ − 푏 2푎 ＜0 ∵抛物线与 x 轴的交点为(－2，0)、(푥1，0)，与 y 轴交点在 y 轴正半轴 ∴抛物线一定开口向上，∴a＜0 解不等式− 1 2 ＜ − 푏 2푎 ＜0得：a＜b＜0 ∵抛物线与 y 轴的正半轴上，∴c＞0 ∴a＜b＜c，①正确； 根据韦达定理：－2∙ 푥1=푐 푎 ∴－4＜푐 푎 ＜－2 ∴2a+c＞0，4a+c＜0． ∴②③正确 ∵抛物线过（-2，0），∴4a-2b+c=0 ∵c＜2，∴4a-2b+2＞0，即 2a-b+1＞0．④正确． ∴答案为：D 例 4.二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线 x=1.下列结论： ①abc﹤0；②3a+c﹥0；③（푎 + 푐）2 − b2＜0；④a+b≤m(am+b)(m 为实数). 其中结论正确的个数为（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C 【解析】∵二次函数开口向上，∴a>0 ∵对称轴为 1，∴− b 2a = 1＞0，∴b＜0 ∵抛物线与 y 轴的交点在 y 轴负半轴，∴c＜0 ∴abc>0，①错误 由图像可知 x=－1 时，y>0，∴代入得：a－b+c>0 当 x=1 时，y<0，∴代入得： a+b+c<0 ∴(a－b+c)(a+b+c)=（a + c）2 − b2＜0，③正确 ∵对称轴为 1，∴− b 2a = 1，∴b=－2a ∵a－b+c>0，将 b=－2a 代入得： 3a+c＞0，∴②正确 ∵ 当 x=1 时,y 最小=a+b+c，又当 x=m 时，y=a푚2+bm+c ∴a+b+c≤a푚2+bm+c，得 a+b≤m(am+b)，④正确 2. (2018 湖北荆州)二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列 结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程 a（x+5）（ x﹣1）=﹣1 有两个根푥1和푥2，且푥1＜푥2，则﹣5 ＜푥1＜푥2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1 有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】∵抛物线的开口向上 ∴a>0， ∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a）， ∴﹣ 푏 2푎 =﹣2， 4푎푐−b2 4푎 =﹣9a， ∴b=4a，c=-5a， ∴抛物线的解析式为y = ax2+4ax﹣5a， ∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确， 5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误， ∵抛物线y = ax2+4ax﹣5a 交 x 轴于（﹣5，0），（ 1，0）， ∴若方程 a（x+5）（ x﹣1）=﹣1 有两个根푥1和푥2，且푥1＜푥2，则﹣5＜푥1＜푥2＜1，正确，故③正确， 若方程|ax2+bx+c|=1 有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误， 故答案为：B． 题型 4 二次函数的平移 解题技巧：二次函数平移的具体方法如下： 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减” 注：左右移动时针对“x”，函数中的所有 x 值都要相应变化。 例 1.抛物线 y=－（푥 − 2）2向右平移 2 个单位得到抛物线的解析式为（ ） A.y=－푥2 B.y=－（푥 − 4）2 C.y=－（푥 − 2）2 + 2 D.y=－（푥 − 2）2 − 2 【答案】B 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2 y=ax 2+ky=ax2 【解析】向右平移 2 个单位，则针对 x 减 2 即 y=－（푥 − 2 − 2）2 =－（푥 − 4）2 例 2.把抛物线 y＝2푥2先向下平移 1 个单位，再向左平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式是 ___ _ 【答案】y＝2（푥 + 2）2 − 1 【解析】先将函数向下平移 1 个单位，即针对 y 减 1 得：y=2푥2 − 1 再向左平移 2 个单位，即再针对 x 加 2 得：y=2（푥 + 2）2 − 1 例 3.若将抛物线 y＝푥2先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，就得到抛物线（ ） A.y=（푥 − 1）2 + 2 B.y=（푥 − 1）2 − 2 C.y=（푥 + 1）2 + 2 D.y=（푥 + 1）2 − 2 【答案】A 【解析】将抛物线向右平移 1 个单位，即针对 x 减 1 得：y=（푥 − 1）2 再向上平移 2 个单位，即针对 y 加 2 得：y=（푥 − 1）2 + 2 例 4.已知抛物线 C1：y＝（푥 − 1）2－4 和 C2：y＝푥2，如何将抛物线 C1 平移得到抛物线 C2？ 【答案】先将 C1 向左平移 1 个单位，再将函数向上平移 4 个单位。 【解析】要想将 C1 变为 C2 形式，则 x 处需要变化，后面的“－4”也需去掉 首先先变 x，需要加 1，则将函数向左平移 1 个单位 然后需要针对 y 加 4，即将函数向上平移 4 个单位 题型 5 求二次函数的解析式 一、二次函数解析式的形式 二次函数解析式的形式{ 一般式 顶点式 交点式 二次函数解析式的形式有： ①一般式：y = ax2 + bx + c（a，b，c 为常数，a≠0）； ②顶点式：y=a(x − h)2 + k（a，h，k 为常数，a≠0）； ③两根式：y=a（x−푥1）（ x−푥2）（ a≠0，푥1，푥2是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有 抛物线与 x 轴有交点，即푏2 − 4푎푐 ≥ 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三 种形式可以互化。 （1）一般式 解题技巧：若题干告知坐标点为非特殊点，则通常用一般式。二次函数y = ax2 + bx + c有 3 个未知数，所 以需要 3 个方程，即需要 3 个点。若题干中告知了 a（b 或 c）的值，那么久只有 2 个未知数，所需 2 个方 程，即需要 2 个点即可。 例 1.已知二次函数的图像经过（1，－1），（0，1），（－1，13）三点，求次二次函数的解析式。 【答案】y = 5x2 − 7x + 1 【解析】告知的点为非特殊点，用一般式 设二次函数的解析式为y = ax2 + bx + c 代入 3 点得：{ −1 = 푎 + 푏 + 푐 1 = 푐 13 = 푎 − 푏 + 푐 解得：{ 푎 = 5 푏 = −7 푐 = 1 ∴二次函数为：y = 5x2 − 7x + 1 （2）顶点式 解题技巧：若题干告知顶点坐标，则利用顶点式求解解析式，只需在告知 1 个点的坐标即可。一般式需要 3 个点信息，而顶点式中，只需顶点坐标和另 1 个点信息，可理解为顶点横、纵坐标分别表示 1 个需要的信 息。 注：若题干告知与顶点坐标相关的信息，也可以考虑用顶点式，如：对称轴（顶点横坐标），最值（顶点 纵坐标）等。 例 2.已知某二次函数在 x=1 处有最大值－6，且其图像经过点（2，－8），求次二次函数的解析式。 【答案】y=−2(x − 1)2 + 6 【解析】∵告知了最值与对称轴，即告知了顶点坐标 ∴用顶点式求解析式 设二次函数解析式为：y=a(x − 1)2 + 6 将经过点（2，－8）代入得：－8= a(2 − 1)2 + 6 解得 a=－2 所以二次函数解析式为：y=−2(x − 1)2 + 6 （3）交点式 解题技巧：已知抛物线与 x 轴的两个交点为 A（푥1，0）， B（푥2，0），则此抛物线可表示为：y=a（x－푥1）（ x －푥2），其中 a 为不为 0 的常数。 已知抛物线与 x 轴的两个交点，用交点式，还只需要知道一个点的坐标即可。 注：此类题型，用一般式也可解决，但交点式计算量小一些。 例 3.已知二次函数的图像交 x 轴于点 A（－2,0）， B（3,0），且函数经过点（2，－4），求函数解析式。 【答案】y=（x+2）（ x－3） 【解析】∵已知与 x 轴的两交点坐标 ∴用交点式 设函数解析式为：y=a（x+2）（ x－3） 将点（2，－4）代入得： －4=a（2+2）（ 2－3） 解得：a=1 ∴函数解析式为：y=（x+2）（ x－3） 二、点与解析式 点与解析式 { 待定系数法 已知解析式，求点坐标 已知对称轴或顶点 隐藏对称轴或顶点 （1）待定系数法 解题技巧：设二次函数为一般式：y=a푥2 + 푏푥 + 푐，将已知点代入，联立方程求解。 例 1.已知点 A（－1，1）、 B（4，6）在抛物线 y=a푥2 + 푏푥上。求抛物线的解析式。 【答案】y=1 2 푥2 − 1 2 푥 【分析】：题干中函数为一般式，且仅有 2 个未知数 a，b 所以仅需要 2 个点，列写 2 个方程即可。 将 A（－1，1）、 B（4，6）代入抛物线，可得方程 {1 = a × （－1）2 + 푏 × （－1） 6 = a × 42 + 푏 × 4 解得：{ 푎 = 1 2 푏 = − 1 2 ∴函数为：y=1 2 푥2 − 1 2 푥 例 2.已知抛物线 y＝a푥2＋2x＋c 与 x 轴交于 A(－1，0)、B(3，0)两点，求抛物线的解析式 【答案】y=−푥2 + 2푥 − 3 【解析】已知与 x 轴的 2 个交点，可用交点式 ∵题干已帮我们设了一般式，∴此题直接用一般式完成待定系数法 将 A（－1，0）、 B（3，0）代入抛物线，可得方程 {0 = a × (－1)2 + 2 × (－1) + 푐 0 = a × 32 + 2 × 3 + 푐 解得：{푎 = −1 푐 = −3 所以函数为：y=−푥2 + 2푥 − 3 （2）已知解析式，求点坐标 解题技巧：该类题型，题干会告知函数的解析式，我们需要根据题干内容求出相应点的坐标。最常见的题 型是求函数与 x 轴的交点，则与 x 轴的交点即为当 y=0 时，x 的值，转化为求一元二次方程。另外，求与 y 轴的交点，则该点的横坐标为 0，代入即可求解出对应纵坐标。或根据函数图像特点，与 y 轴的交点坐标为 （0，c） 例 3.已知抛物线 y＝1 2 푥2 + 푚푥 − 2푚 − 2（m≥0）与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左边，与 y 轴交于 点 C．当 m＝1 时，求点 A 和点 B 的坐标。 【答案】A（－4,0）， B（2,0） 【解析】当 m=1 时，抛物线为 y＝1 2 푥2 + 푥 − 4 求与 x 轴的交点，则交点纵坐标为 0，即求1 2 푥2 + 푥 − 4 = 0 根据一元二次方程的十字相乘法，化简为：（x－2）（ x+4）=0 解得：푥1 = 2，푥2 = −4 ∵点 A 在点 B 的左边 ∴A（－4,0）， B（2,0） 例 4.在平面直角坐标系中，抛物线 y=1 2 푥2经过点 A(푥1，푦1)、C(푥2，푦2)，其中푥1、푥2是方程푥2－2x－8 的两 根，且푥1＜푥2，过点 A 的直线 l 与抛物线只有一个公共点。求 A、C 两点的坐标 【答案】A（－2,2）、 B（4,8） 【解析】∵푥1、푥2是方程푥2－2x－8 的两根 先求解푥2－2x－8=0 化简得：（x+2）（ x－4）=0 解得：푥1 = −2，푥2 = 4 将푥1 = −2代入函数，求得푦1 = 1 2 × （ − 2）2 = 2 ∴A（－2,2） 将푥2 = 4代入函数，求得：푦2 = 1 2 × 42 =8 ∴B（4,8） 例 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝푥2＋(1－m)x－m 交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边）， 交 y 轴负半轴于点 C。当 m＝3 时，直接写出 A，B，C 三点的坐标 【答案】A（－1,0）、 B（3,0）、 C（0，－3） 【解析】当 m=3 时，抛物线为：y＝푥2－2x－3 A，B 两点为抛物线与 x 轴的交点，则纵坐标为 0 即：푥2－2x－3=0 化简得：（x－3）（ x+1）=0 解得：푥1 = 3，푥2 = −1 ∵点 A 在点 B 的左边 ∴A（－1,0）、 B（3,0） 点 C 的坐标为与 y 轴的交点，即（0，－3） （3）已知对称轴或顶点 解题技巧：已知顶点（h，k）用顶点式：y=a(x − h)2 + k。相当于知道了两个未知数，仅还需一个点就可确 定抛物线方程。 其他与顶点相关条件： ①抛物线最大值/最小值为 m，相当于顶点纵坐标 k：m=4ac−b2 4a ②抛物线关于 x=n 对称，相当于顶点横坐标 h：n=− b 2a 例 6．抛物线 y=a푥2 − 4푎푥 + 푐的最大值为 1，其图像经过点（－2，－15），求二次函数的解析式。 【答案】y=−푥2 + 4푥 − 3 【解析】∵抛物线的最大值为 1 ∴4ac−b2 4a = 4ac−（−4푎）2 4a = 1 ∵抛物线过点（－2，－15），代入 y=a푥2 − 4푎푥 + 푐得： －15=a× （ − 2）2 − 4푎 × （ − 2） + 푐 联立 2 个方程得：a=－1，c=－3 ∴抛物线解析式为：y=−푥2 + 4푥 − 3 例 7．抛物线 L：y＝－푥2＋bx＋c 经过点 A(0，1)，与它的对称轴直线 x＝1 交于点 B。直接写出抛物线 L 的 解析式 【答案】y=−푥2 + 2푥 + 1 【解析】∵已知对称轴 x=1 ∴− b 2a = − b 2×(−1) = 1，解得：b=2 再将点 A（0,1）代入方程得：1＝c ∴函数为：y=−푥2 + 2푥 + 1 （4）隐藏对称轴或顶点 解题技巧：此类题型虽然未告知顶点坐标，但会有关于顶底或对称轴的一些隐含条件，我们需要根据函数 的性质，挖掘分析这个条件，将这个条件转化为方程，最终求解出函数。 常用到的性质有： ①对称性：P1（x1，y1）， P2（x2，y2），关于 x=m 对称，则{x1 + x2 = 2m y1 = y2 ②韦达定理：P1（x1，0）， P2（x2，0）为抛物线与 x 轴交点，则{ x1 + x2 = − 푏 푎 x1x2 = 푐 푎 例 8.已知抛物线 y=a（푥 + 2）2 − 1交 x 轴于 A、B 两点（A 点在 B 点的左边），且 AB=2，求解析式。 【答案】y=（푥 + 2）2 − 1 【解析】函数有一个未知数 a，但未直接告知点的坐标，仅告知 AB=2 ∴需要根据这个条件挖掘出一个条件，并列写出一个方程 函数的对称轴 x=−2 ∵A、B 两点交于 x 轴 则 A、B 两点关于对称轴对称，且两点到对称轴的距离都是：2 2 = 1 ∴A（－3,0）， B（－1,0） 将点 A 的坐标代入函数得：0=a（ − 3 + 2）2 − 1 解得：a=1 ∴函数为：y=（푥 + 2）2 − 1 例 9.已知：二次函数 y=a푥2 −(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4，10)，交 x 轴于퐴(푥1, 0)，퐵(푥2,0)两点(푥1 < 푥2)， 交 y 轴负半轴于 C 点，且满足 3AO=OB．求二次函数的解析式。 【答案】y=2푥2－4x－6 【解析】如图 ∵抛物线交 x 轴于点 A(푥1，0)，B(푥2，O)，则푥1·푥2=3<0 ∵푥1<푥2 ∴푥2>O，푥10 ∆=0 ∆<0 图像 与 x 轴交点 2 个（2 解） 1 个（1 解） 0 个（无解） 方程的解 푥1 = 푚，푥2 = 푛 푥1 = 푥2 = 푚 无 解 例 1.同一坐标系中有函数y = x2 + x − 2，y = x2 − 6x + 9及y = x2 − x + 1，请填写下表。 二次函数 函数图像与 x 轴的交点 一元二次方程的解 判别式∆的情况 y = x2 + x − 2 y = x2 − 6x + 9 y = x2 − x + 1 【答案】见解析 【解析】如下表所示 二次函数 函数图像与 x 轴的交点 一元二次方程的解 判别式∆的情况 y = x2 + x − 2 （－2,0），（ 1,0） 푥1 = −2，푥2 = 1 ∆＞0 y = x2 − 6x + 9 （3,0） 푥1 = 푥2 = 3 ∆= 0 y = x2 − x + 1 无交点 无解 ∆＜0 例 2.已知一元二次方程2x2 − 3푥 − 5 = 0的两个根为5 2 ，－1，则抛物线 y=2x2 − 3푥 − 5与 x 轴的交点坐标 是多少？ 【答案】（5 2 ，0）和（－1，0） 【解析】一元二次方程的解即对应二次函数与 x 轴交点的横坐标 ∴二次函数与 x 轴交点的横坐标为：（5 2 ，0）和（－1，0） 二、典型题型 题型 1 二次函数与判别式 解题技巧：抛物线与 x 轴的交点情况与判别式△ （푏2 − 4푎푐）的符号有关，△ { ＞0,2 个交点 = 0,1 个交点 ＜0，无交点 注：如二次函数与一元二次方程形式不同时，需要先将二次函数边形成相同形式，才可利用根与函数交 点的关系。 例 1.抛物线 y=−3푥2 − 푥 + 4与 x 轴的交点个数是 个。 【答案】2 【解析】要求抛物线与 x 轴的交点个数，只需判断△的正负即可 △=푏2 − 4푎푐 = (−1)2 − 4 × (−3) × 4 = 49＞0 ∴函数与 x 轴的的交点有 2 个 例 2.若抛物线 y=푥2 + 4푥 + 푘的顶点在 x 轴上，求 k 的值。 【答案】k=4 【解析】∵抛物线的顶点在 x 轴上 ∴抛物线与 x 轴的交点是 1 个 ∴△=푏2 − 4푎푐 = 0，即：42 − 4푘 = 0 解得：k=4 例 3.已知函数 y=（k－3）푥2 +2x+1 的图像与 x 轴有交点，求 k 的取值范围。 【答案】k≤4 【解析】需要讨论函数是否是二次函数，有 2 种情况 情况一：当 k－3=0 时，一次函数与 x 轴有交点，符合 情况二：当 k－3≠0 时，则△≥0，即22 − 4(푘 − 3) ≥ 0 解得 k≤4，且 k≠3 综上得：k≤4 例 4.下列关于二次函数 y=푎푥2 − 2푎푥 + 1（a＞1）的图像与 x 轴交点的判断，正确的是（ ） A.没有交点 B.只有一个交点，且它位于 y 轴右侧 C.有两个交点，且它们位于 y 轴左侧 D.有两个交点，且它们均位于 y 轴右侧 【答案】D 【解析】△=（ − 2a）2 − 4a = 4a（a − 1） ∵a＞1 ∴4a（a − 1）＞0 ∴函数与 x 轴有两个交点，设为（x1，0），（ x2，0） 根据韦达定理：则x1 + x2 = 2＞0，x1x2 = 1 a ＞0 ∴x1＞0，x2＞0 ∴答案为 D 例 5.已知函数 y=（m－1）푥2 − 푚푥 − 푚的图像如图所示，求 m 的取值范围。 【答案】0＜m＜ 4 5 【解析】∵函数与 x 轴无交点 ∴△=（ − m）2 − 4(m − 1) ∙ (−푚)＜0 ∵函数开口向下，∴a=m－1＜0 ∵对称轴在负半轴，∴− 푏 2푎 = − −푚 2∙(m−1) ＜0 ∵函数交 y 轴于负半轴，∴c=－m＜0 综上解得：0＜m＜ 4 5 例 6.抛物线 y＝a푥2＋bx＋c 经过点 A(－3，0)、B(4，0)两点，则关于 x 的一元二次方程 a（푥 − 1）2＋c＝b －bx 的解是___________ 【答案】{푥1 = −2 푥2 = 3 【解析】一元二次方程 a（푥 − 1）2＋c＝b－bx 化简得： a（푥 − 1）2＋b（x－1）+c＝0 该一元二次方程形式是二次函数向右平移 1 个单位所得 原抛物线对应一元二次方程的根为{푥1 = −3 푥2 = 4 将原方程的根向右平移 1 个单位即为 a（푥 − 1）2＋c＝b－bx 的解 为{푥1 = −2 푥2 = 3 题型 2 二次函数与不等式 解题技巧：二次函数y = ax2 + bx + c的图像在 x 轴下方的自变量取值范围就是ax2 + bx + c＜0的解集；在 x 轴上方的自变量的取回范围就是ax2 + bx + c＞0的解集。 此类题型，往往还需要结合二次函数的增减性对不等式进行判断。 例 1.已知抛物线 y= ax2＋bx＋c（a＜0）的部分图像如图所示，求不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集。 【答案】−4＜푥＜2 【解析】∵二次函数的对称轴是：x=－1 又∵二次函数与 x 轴的交点 A（2，0） ∴二次函数与 x 轴的另一个交点为 B（－4，0） ∴函数在 x 轴上部分的取值范围为：−4＜푥＜0 ∵ax2＋bx＋c＜0 的解集即函数在 x 轴上部分的取值范围 ∴不等式的解集为：−4＜푥＜2 例 2.如下图所示是二次函数 y= ax2＋bx＋c（a≠0）图像的一部分，其对称轴为直线 x=1，与 x 轴交点 A（3， 0），则根据图像，求不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集。 【答案】−1＜푥＜3 【解析】∵二次函数的对称轴是：x=1 又∵二次函数与 x 轴的交点 A（3，0） ∴二次函数与 x 轴的另一个交点为 B（－1，0） ∴函数在 x 轴下部分的取值范围为：−1＜푥＜3 ∵ax2＋bx＋c＜0 的解集即函数在 x 轴下部分的取值范围 ∴不等式的解集为：−1＜푥＜3 题型 3 一元二次方程的近似解 解题技巧：一元二次方程的根即为对应二次函数与 x 轴交点的横坐标，近似根即函数值比较接近 0 处横坐 标的值。如图，通过题干信息，找出与 x 轴交点 M 前后 2 点 A（푥1，m）， B（푥2，n）的横坐标，则一元二 次方程的根满足：푥1＜푥＜푥2。其中，一定存在푥1푥2＜0关系式。 注：如果要求在一个取值范围内更进一步确定根的近似值，则通过判断点与 x 轴的距离，与 x 轴距离越 近，则这个点的横坐标越接近方程的根。 例 1.二次函数 y=ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c 是常数）中，自变量 x 与函数值 y 的对应值如下表： x －1 − 1 2 0 1 2 1 3 2 2 5 2 3 y －2 − 1 4 1 7 4 2 7 4 1 − 1 4 −2 求一元二次方程 ax2＋bx＋c=0（a≠0，a，b，c 是常数）的两个根푥1，푥2的取值范围（ ） 【答案】− 1 2 ＜x1＜0；2＜x2＜5 2 【解析】根据表格可知： ①二次函数是开口向下的图像 ②函数与 x 的的交点在− 1 2 ＜푥＜0和 2＜x＜5 2 之间 ∵函数与 x 轴的交点即为对应一元二次方程的解 ∴− 1 2 ＜x1＜0；2＜x2＜5 2 例 2.下表是一组二次函数 y=x2+3x﹣5 的自变量 x 与函数值 y 的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程 x2+3x﹣5=0 的一个近似根是（ ） A. 1 B. 1.1 C. 1.2 D. 1.3 【答案】C 【解析】观察表格得，可得：方程的根取值范围为：1.1＜x＜1.2 ∵当 x=1.1 时，y=－0.49，即与 x 轴的距离为 0.49 当 x=1.2 时，y=0.04，即与 x 轴的距离为 0.04 ∵0.04＜0.49，即 x=1.2 的点离 x 轴更近 ∴x≈1.2 ∴答案为 C 三、难点题型 题型 1 图像信息题 解题技巧：解读图像中关键点与解析式 a，b，c 的联系，从而推导正确结论。 例 1.如图，二次函数 y=푎푥2 + 푏푥 + 푐（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（0,1）和（－1,0），下列结 论正确的有： ①ab＜0；②푏2＞4푎푐；③0＜a+b+c＜2； ④0＜b＜1；⑤当 x＞－1 时，y＞0 【答案】①、②、③、④ 【解析】由图形可知：c=1，a－b+1=0 ∴b=1+a ∵抛物线开口向下 ∴a＜0 ∵对称轴在 x 轴正半轴 ∴− 푏 2푎 ＞0 ∴b＞0 ∴ab＜0，①正确 ∵抛物线与 x 轴有两个不同交点 ∴b2 − 4ac＞0，②正确 当 x=1 时，代入得 y＞0,，即 a+b+c＞0 ∵a+b+c=2+2a＜2，则③正确 ∵b=a+1＜1，且 b＞0，则④正确 y 也可以小于等于 0，则⑤不正确 例 2.如图，已知顶点为（－3，－6）的抛物线 y=a푥2 + 푏푥 + 푐经过点（－1，－4），则下列结论正确的有： ①푏2＞4푎푐；②a푥2 + 푏푥 + 푐 ≥ −6； ③若点（－2，m），（－5，n）在抛物线上，则 m＞n； ④关于 x 的一元二次方程a푥2 + 푏푥 + 푐 = −4的两根为－5 和－1 【答案】①、②、④ 【解析】∵抛物线与 x 轴有 2 个交点 ∴b2 − 4ac＞0 ∴①正确 抛物线开口向上，顶点坐标为（－3，－6） ∴最小值为－6 ∴②正确 ∵x=－2 离对称轴 x=－3 的距离为 1；x=－5 例对称轴 x=－3 的距离为 2, ∴n＞m，即③错误 ax2 + bx + c = −4的两个根即抛物线与直线 y=－4 的连个交点横坐标 由图像知分别为－5 和－1，即④正确 题型 2 抛物线与直线交点问题 解题技巧：通过联立方程，求解二元一次方程组来找出交点，从而解决问题。 例 1.已知直线 y=ax+b 过抛物线 y=−푥2 − 2푥 + 3的顶点 P，如图所示。 （1）顶点 P 的坐标是。 （2）若直线 y=ax+b 经过另外一点 A（0,11），求出该直线的表达式。 （3）在（2）的条件下，若有一条直线 y=mx+n 与直线 y=ax+b 关于 x 轴对称，求直线 y=mx+n 与抛物线 y=−푥2 − 2푥 + 3的交点坐标。 【答案】（1）P（－1，4） （2）y=7x+11 （3）（ 7，60）或（－2，3） 【解析】（1）y=−x2 − 2x + 3化简为 y=−(푥 + 1)2 + 4 ∴P 的坐标为（－1，4） 2）将点 P（－1，4）， A（0，11）代入 y=ax+b 中得： {−푎 + 푏 = 4 푏 = 11 ，解得：{ 푎 = 7 푏 = 11 直线解析式为：y=7x+11 （3）∵直线 y=mx+n 的解析式为 y=－（7x+11） 联立{y = －（7x + 11） y = −x2 − 2x + 3 得：{ 푥 = 7 푦 = −60或{푥 = −2 푦 = 3 ∴交点坐标为（7，60）或（－2，3） 例 2.如图，点 P 是直线 l：y=－2x－2 上的点，过点 P 的另一条直线 n 交抛物线 y=푥2于 A，B 两点。 （1）若直线 n 的解析式为：y=− 1 2 푥 + 3 2 ，求 A，B 两点的坐标。 （2）求证：对于直线 l 上任意一点 P，在抛物线上都能找到两个点 A，使得 PA=AB 成立。 【答案】（1）A（− 3 2 ， 9 4 ），点 B（1，1） （2）见解析 【解析】（1）由题意得：{ y = x2 y = − 1 2 x + 3 2 解得：{푥1 = 1 푦1 = 1或{ 푥2 = − 3 2 푦2 = 9 4 ∴点 A（− 3 2 ， 9 4 ），点 B（1，1） （2）如下图所示，过点 P，B 分别作点 A 平行 x 轴的直线的垂线，垂足分别为点 G，H。设 P（a，－ 2a－2）， A（m，푚2） ∵PA=PB ∴△PAG≌△BAH ∴AG=AH，PG=BH ∴B（2m－a，2푚2 + 2푎 + 2） 将点 B（2m－a，2푚2 + 2푎 + 2）代入y = x2得： 2푚2 + 2푎 + 2 = （2m－a）2 化简得：2푚2 − 4푎푚 + 푎2 − 2푎 − 2=0 ∵△=16푎2 − 8（푎2 − 2푎 − 2）=8＞0 ∴无论 a 取何值，总有两个点满足：PA=PB 题型 3 二次函数与一元二次方程的综合应用 解题技巧：此类题型，多需要结合图形进行分析。我们通常将函数中的字母当作常数进行计算，求解出函 数值后，再根据题干特殊条件来求解字母的值或取值范围。 例 1.已知关于 x 的二次函数 y=a푥2 + (푎2 − 1)푥 − 푎的图像与 x 轴的一个交点坐标为（m，0）。若 2＜m＜3， 则 a 的取值范围是 【答案】1 3 ＜푎＜ 1 2 或－3＜a＜－2 【解析】因为函数与 x 轴交于点（m，0），可将点直接代入函数中得： 0=a푚2 + (푎2 − 1)푚 − 푎 解得：{ 푚1 = 1 푎 푚2 = −푎 情况一：当푚1 = 1 푎 时函数与 x 轴检点横坐标时，则 2＜1 푎 ＜3 解得：1 3 ＜푎＜ 1 2 情况二：当푚2 = −푎时函数与 x 轴检点横坐标时，则 2＜−푎＜3 解得：－3＜a＜－2 综上得：1 3 ＜푎＜ 1 2 或－3＜a＜－2 例 2.已知抛物线 y＝a푥2＋bx＋c（a＜0）的对称轴为 x＝－1，与 x 轴的一个交点为(2，0)．若关于 x 的一元 二次方程 a푥2＋bx＋c＝p（p＞0）有整数根，则 p 的值有（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【解析】因为函数的对称轴 x＝－1，与 x 轴的一个交点为(2，0) 所以与 x 轴的另一个交点为（－4,0） 则函数草图如下 a푥2＋bx＋c＝p 有整数解，即当 y=p 时，函数 x 为整数 如上图，x 为整数的点有 x=－3（x=1）、 x=－2（x=0）、 x=－1 则 3 个点 所以 p 的值有 3 个 例 3.将函数 y＝푥2﹣2x（x≥0）的图象沿 y 轴翻折得到一个新的图象，前后两个图象其实就是函数 y＝푥2﹣ 2|x|的图象，关于 x 的方程푥2﹣2|x|＝a，在﹣2＜x＜2 的范围内恰有两个实数根时，a 的值为（ ） A．1 B．0 C.− 1 2 ． D．﹣1 【答案】D 【解析】草图如下 在﹣2＜x＜2 的范围内，要想方程푥2﹣2|x|＝a 恰有 2 个根 则必须要求函数 y＝푥2﹣2|x|与 y=a 的横线交点为 2 个 则如图所示，a=－1