【数学】2020届一轮复习北师大版合情推理与演绎推理课时作业
合情推理与演绎推理
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,则a1=1,Sn=n2an,试归纳猜想出Sn的表达式为
( )
A.Sn= B.Sn=
C.Sn= D.Sn=
【解析】选A.Sn=n2an=n2(Sn-Sn-1),
所以Sn=Sn-1(n≥2,n∈N*),S1=a1=1,则S2=,S3==,S4=.
所以猜想得Sn=.
2.(2018·武汉模拟)演绎推理“因为对数函数y=logax(a>0且a≠1)是增函数,而函数y=lox是对数函数,所以y=lox是增函数”所得结论错误的原因是
( )
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.大前提和小前提都错误
【解析】选A.因为当a>1时,y=logax在定义域内单调递增,当0
tanB
C.sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC
D.sinA+sinB+sinC,所以A>-B,
因为y=sin x在上是增函数,
所以sin A>sin =cos B,
同理可得sin B>cos C,sin C>cos A,
所以sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.
二、填空题(每小题5分,共10分)
8.(2018·咸阳模拟)观察下列式子:<2,+<,+
+<8,+++<,…,根据以上规律,第n(n∈N*)个不等式是________. 导学号
【解析】根据所给不等式可得第n个不等式是++…+<.
答案:++…+<
9.在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),其中λ>0,{an}的通项公式是________. 导学号
【解析】a1=2,a2=2λ+λ2+(2-λ)·2=λ2+22,
a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)·22=2λ3+23,
a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)·23=3λ4+24.
由此猜想出数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n.
答案:an=(n-1)λn+2n
三、解答题
10.(15分)在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于点D,求证:=+,那么在四面体A-BCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由.
【解析】如图所示,由射影定理得AD2=BD·DC,
AB2=BD·BC,
AC2=BC·DC,
所以=
==.
又BC2=AB2+AC2,
所以==+.
猜想,四面体A-BCD中,AB,AC,AD两两垂直,AE⊥平面BCD,
则=++.
证明:如图,连接BE并延长交CD于F,连接AF.
因为AB⊥AC,AB⊥AD,
AC∩AD=A,
AC⊂平面ACD,
AD⊂平面ACD,
所以AB⊥平面ACD.
因为AF⊂平面ACD,所以AB⊥AF.
在Rt△ABF中,AE⊥BF,
所以=+.
在Rt△ACD中,AF⊥CD,
所以=+,
所以=++.
(20分钟 40分)
1.(5分)若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:a∈R,结论是:a2>0,那么这个演绎推理出错在 ( )
A.大前提 B.小前提
C.推理过程 D.没有出错
【解析】选A.要分析一个演绎推理是否正确,主要观察所给的大前提、小前提和推理形式是否都正确,只有这几个方面都正确,才能得到这个演绎推理正确.本题中大前提:任何实数的平方都大于0,是不正确的.
2.(5分)如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是 ( )
【解析】选A.依照该五角星连续呈现阴影的两个角按逆时针方向旋转的规律性知,下一个呈现出来的图形是A.
【变式备选】如图所示是由长为1的小木棒拼成的图形,其中第n个图形由n个正方形组成:
观察图形,根据第1个、第2个、第3个、第4个图形中小木棒的根数,得出第n个图形中,小木棒的根数为______.
【解析】观察题干中图形可得,第1个、第2个、第3个、第4个图形中小木棒的根数分别为4,7,10,13,而4=3×1+1,7=3×2+1,10=3×3+1,13=3×4+1,由归纳推理得,第n个图形中,小木棒的根数为3n+1.
答案:3n+1
3.(5分)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在 中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这可以通过方程=x确定x=2,则1+= ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.1+=x,即1+=x,
即x2-x-1=0,解得x=,
故1+=.
4.(12分)祖暅是我国南北朝时的数学家,是祖冲之的儿子.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.设由椭圆+=1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图),课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法,请类比此法,求出椭球体体积. 导学号
【解析】椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,现构造两个底面半径为b,高为a的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,根据祖暅原理得出椭球体的体积V=2(V圆柱-V圆锥)=2(π×b2a-π×b2a)
=πb2a.
5.(13分)已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长,分别交对边于A′,B′,C′,则++=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”:
++=++==1.
请运用类比思想猜想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论,并用“体积法”证明.
导学号
【解析】结论:在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长,分别交四个面于E,F,G,H点.
则+++=1.
证明如下:在四面体O-BCD与V-BCD中,设其高分别为h1,h,
则===.
同理,=;=;=,
所以+++=
==1.
