高考数学试题分类汇编——集合与逻辑

高考数学试题分类汇编——集合与逻辑

‎2009年高考数学试题分类汇编 一 集合与逻辑 函数 一、填空题 ‎1.(2009年广东卷文)已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，得，则,选B.‎ ‎2.（2009浙江理）设，，，则( ) ‎ A． B． C． D． ‎ 答案：B ‎ ‎【解析】 对于，因此．‎ ‎3.（2009浙江理）已知是实数，则“且”是“且”的 ( ) ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ 答案：C ‎ ‎【解析】对于“且”可以推出“且”，反之也是成立的 ‎4.（2009浙江文）“”是“”的（ ）. ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ A 【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．‎ ‎【解析】对于“”“”；反之不一定成立，因此“”是“”的充分而不必要条件．‎ ‎5.（2009北京文）设集合，则 （ ）‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎∵，‎ ‎∴ ，故选A.‎ ‎6.(2009山东卷理)集合,,若,则的值为( )‎ A.0 B‎.1 C.2 D.4‎ ‎【解析】:∵,,∴∴,故选D.‎ 答案:D ‎【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.‎ ‎7.（2009广东卷理）已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个 ‎【解析】由得，则，有2个，选B.‎ ‎8.（2009安徽卷理）若集合则A∩B是 ‎ ‎ （A） (B) （C） (D) ‎ ‎[解析]集合，∴选D ‎9.（2009安徽卷文）“”是“且”的 ‎ ‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 ‎ ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【解析】易得时必有.若时，则可能有，选A。‎ ‎【答案】A ‎10.（2009江西卷文）下列命题是真命题的为 ‎ A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 ‎ 答案：A ‎【解析】由得,而由得,由,不一定有意义,而得不到 故选A. ‎ ‎11.(2009湖北卷理)‎ 已知是两个向量集合，则 A．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为代入选项可得故选A.‎ ‎12.（2009辽宁卷文）已知集合M＝﹛x|－3＜x5﹜,N＝﹛x|x＜－5或x＞5﹜，则MN＝‎ ‎(A) ﹛x|x＜－5或x＞－3﹜ (B) ﹛x|－5＜x＜5﹜‎ ‎(C) ﹛x|－3＜x＜5﹜ (D) ﹛x|x＜－3或x＞5﹜‎ ‎【解析】直接利用并集性质求解,或者画出数轴求解.‎ ‎【答案】A ‎13.（2009陕西卷文）设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则为 ‎（A）[0，1） （B）（0，1） （C）[0，1] （D）（-1，0] ‎ 答案：A. ‎ 解析:,则,故选A.‎ ‎14.（2009天津卷理）命题“存在R，‎0”‎的否定是. ‎ ‎（A）不存在R, >0 （B）存在R, 0 ‎ ‎（C）对任意的R, 0 （D）对任意的R, >0‎ ‎【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。‎ 解析：由题否定即“不存在，使”，故选择D。‎ ‎15.(2009年广东卷文)若函数是函数的反函数，且，则 ‎ A． B． C． D．2 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的反函数是,又,即,‎ 所以,,故,选A.‎ ‎16.（理科做）(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是 ‎ A. B.(0,3) C.(1,4) D. 21世纪教育网 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,令,解得,故选D ‎17.（2009北京文）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （ ）‎ ‎ A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ‎ B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ‎ C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ‎ D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ‎【答案】C ‎.w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ A．，‎ B．，‎ C．，‎ D．.‎ 故应选C.‎ ‎18. (2009山东卷理)函数的图像大致为( ).‎ ‎1 ‎ x ‎ y ‎ ‎1 ‎ O ‎ A ‎ x ‎ y ‎ O ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ B ‎ x ‎ y ‎ O ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ C ‎ x ‎ y ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ D ‎ O ‎ ‎【解析】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. ‎ 答案:A.‎ ‎【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.‎ ‎19. (2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（3）的值为( )‎ A.-1 B. ‎-2 C.1 D. 2‎ ‎【解析】:由已知得,,,‎ ‎,,故选B.‎ 答案:B. ‎ ‎【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.‎ ‎20.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( )‎ A.-1 B. ‎0 C.1 D. 2‎ ‎【解析】:由已知得,,,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,,‎ 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.‎ 答案:C.‎ ‎【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.‎ ‎21.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ). ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【解析】:因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,,,又因为在R上是奇函数， ,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D. ‎ 答案:D.‎ ‎【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题. ‎ ‎22.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=(x0)的反函数是 ‎ （A）（x0） （B）（x0）‎ ‎ （B）（x0） （D）（x0） ‎ 答案：B 解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数x0可知AC错,原函数y0可知D错，选B.‎ ‎23.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=的图像 ‎ （A） 关于原点对称 （B）关于主线对称 ‎ （C） 关于轴对称 （D）关于直线对称 答案：A 解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。‎ ‎24.（2009全国卷Ⅱ文）设则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案：B 解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=lge, 作商比较知c>b,选B。‎ ‎25.（2009广东卷理）若函数是函数的反函数，其图像经过点，则 A. B. C. D. ‎ ‎【解析】，代入，解得，所以，选B.‎ ‎26.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是 A. 在时刻，甲车在乙车前面 ‎ B. 时刻后，甲车在乙车后面 C. 在时刻，两车的位置相同 D. 时刻后，乙车在甲车前面 ‎【解析】由图像可知，曲线比在0～、0～与轴所围成图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A. ‎ ‎27.（2009江西卷文）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为 A．　　　 B．　　 　C．　　　 　D．‎ 答案：C ‎【解析】,故选C.‎ ‎28.（2009江西卷）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ‎ A．或 B．或 C．或 D．或 答案：A ‎【解析】设过的直线与相切于点，所以切线方程为 即，又在切线上，则或，‎ 当时，由与相切可得，‎ 当时，由与相切可得，所以选.‎ ‎29.（2009江西卷理）函数的定义域为 A．　　　B．　　　C．　　　　D．‎ 答案：C ‎【解析】由.故选C ‎30.（2009江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 A．　　　B．　　　C．　　　　D．‎ 答案：A ‎【解析】由已知，而，所以故选A ‎31.（2009天津卷文）设，则 A a‎ 的是 A．= B. = C .= D ‎ ‎【答案】：A ‎[解析]依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。‎ ‎38. （2009辽宁卷文）已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23) 且3＋log23＞4‎ ‎ ∴＝f(3＋log23)‎ ‎ ＝‎ ‎39.（2009辽宁卷文）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是 ‎（A）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，）‎ ‎【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)‎ ‎ ∴得f(|2x－1|)＜f(),再根据f(x)的单调性 ‎ 得|2x－1|＜ 解得＜x＜‎ ‎【答案】A ‎40.（2009陕西卷文）函数的反函数为 ‎ ‎（A） (B) ‎ ‎（C） (D)学科 答案：D. 解析:令原式 则 ‎ ‎ 故 故选D.‎ ‎41.（2009陕西卷文）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ 答案:A. ‎ 解析:由等价，于则在上单调递增, 又是偶函数,故在单调递减.且满足时, , ,得,故选A.‎ ‎42.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数满足：对任意 的，有.‎ 则当时,有 ‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (C) (D) ‎ 答案：C ‎43.（2009四川卷文）函数的反函数是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，又因原函数的值域是，‎ ‎∴其反函数是 ‎44.（2009全国卷Ⅰ文）已知函数的反函数为，则 ‎（A）0 （B）1 （C）2 （D）4‎ ‎【解析】本小题考查反函数，基础题。‎ 解：由题令得，即，又，所以，故选择C。‎ ‎45.(2009湖南卷理)若a＜0，＞1，则 (D)‎ A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜‎0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜0‎ ‎【答案】：D ‎【解析】由得由得，所以选D项。‎ ‎46.（2009天津卷理）已知函数若则实数的取值范围是 ‎ A B C D ‎ ‎【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。‎ 解析：由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。‎ ‎47.（理科做）（2009四川卷理）已知函数连续，则常数的值是 Ａ.２　　 Ｂ.３　　 　Ｃ.４　　 　Ｄ.５ ‎ ‎【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。‎ 解析：由题得，故选择B。‎ 解析2：本题考查分段函数的连续性．由，，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知，可得．故选B．‎ ‎48.（2009福建卷文）定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是 A．‎ B. ‎ C. ‎ D．‎ 解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在上单调递减，注意到要与的单调性不同，故所求的函数在上应单调递增。而函数在上递减；函数在时单调递减；函数在（上单调递减，理由如下y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增，显然符合题意；而函数，有y’=-<0(x<0),故其在（上单调递减，不符合题意，综上选C。‎ 二、填空题 ‎1.（2009年上海卷理）已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________ . . ‎ ‎【答案】a≤1 ‎ ‎【解析】因为A∪B=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a≤1。‎ ‎2.（2009重庆卷文）若是小于9的正整数，是奇数，是3的倍数，则 ．‎ ‎【答案】 . ‎ 解法1，则所以，所以 解析2，而 ‎3.（2009重庆卷理）若，，则 ．‎ ‎【答案】（0，3）‎ ‎【解析】因为所以 ‎4.（2009北京文）设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.‎ ‎【答案】6‎ ‎.w【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.‎ ‎ 什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：‎ 因此，符合题意的集合是：共6个.‎ ‎ 故应填6.‎ ‎5.（2009陕西卷文）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人。‎ 答案：8. ‎ 解析:由条件知,每名同学至多参加两个小组,‎ 故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组, 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为,则. . ‎ ‎,‎ 由公式 易知36=26+15+‎13-6-4‎- 故=8 即同时参加数学和化学小组的有8人.‎ ‎6.（2009湖南卷文）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 .‎ 解: 设所求人数为，则只喜爱乒乓球运动的人数为，‎ 故. 注：最好作出韦恩图！‎ ‎7.（理科做）（2009辽宁卷文）若函数在处取极值，则 ‎ ‎【解析】f’(x)＝‎ ‎ f’(1)＝＝‎0 Þ a＝3‎ ‎【答案】3‎ ‎8.（2009重庆卷理）若是奇函数，则 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解法1‎ ‎9.（2009上海卷文） 函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由y＝x3+1，得x＝，将y改成x，x改成y可得答案。‎ ‎10.（2009北京文）已知函数若，则 . ‎ ‎.w.w.k.s.5【答案】‎ ‎.w【解析】5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ 由，无解，故应填.‎ ‎11.（2009北京理）若函数 则不等式的解集为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ （1）由.‎ ‎ （2）由.‎ ‎ ∴不等式的解集为，∴应填.‎ ‎12.（2009江苏卷）函数的单调减区间为 . ‎ ‎【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。‎ ‎，‎ 由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。‎ ‎13.（2009江苏卷）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . ‎ ‎【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。 ‎ ‎，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）‎ ‎14.（2009江苏卷）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 . ‎ ‎【解析】考查指数函数的单调性。 ‎ ‎，函数在R上递减。由得：m0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .‎ ‎【解析】: 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是 答案: ‎ ‎【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.‎ ‎17.（理科做）（2009福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.‎ ‎【答案】：‎ ‎ 解析：由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，‎ 所以。‎ ‎18.（2009重庆卷文）记的反函数为，则方程的解 ．‎ ‎【答案】2‎ 解法1由，得，即，于是由，解得 解法2因为，所以